解題教學“探究”的四重境界
——以一道習題講評為例*

田秀權

(江蘇省常州市第一中學 213003)

1 問題提出

解題教學是數學課堂教學的重要組成部分,對于高三復習課更可謂是主旋律.波利亞指出[1]:教會學生解題是教會學生思考、培養學生獨立探索的一條有效途徑.遺憾的是,解題教學的現狀與此目標存在一定的差距,很多教師在這方面的意識和能力都存在不足,直接影響了學生數學興趣的激發、創新意識的培養和思維能力的提升.

如何有效開展解題教學?筆者認為“探究”是關鍵.讓解題教學在追求“解法成因”“問題本質”“規律方法”和“思維訓練”的探究中,促進深度學習的發生,實現解題具體操作與解題策略之間的融合.本文以高三二輪復習中一道作業習題的教學為例,談談解題教學“探究”的四重境界.

2 解題探究

(1)求C的方程;

圖1

境界1探“選”方法,明確解題方向

題中涉及的幾何元素多、幾何關系復雜.由于分析問題的能力不足和運算能力的欠缺,大多數學生辨不清“方向”,陷于運算的“泥潭”,最終無功而返.因此解題教學中,尤其是二輪復習階段,應探究、選擇方法,以簡馭繁,以明確解題方向,實現解題的“精準制導”.

部分學生提出由因導果,選擇變量中的關鍵因素(k參或點參)進行推理運算;部分學生提出由果溯因,猜想、探究目標成立的充分條件.這些“可能的”解題方向,優劣點是什么?可行性如何?可通過繪制思維導圖的方式模擬解題過程,助力學生預判和選擇(如圖2～4).

圖2 導圖1

導圖1是“k參”,設而不求,導圖2是“點參”,設而求之,是解析幾何的兩個基本思路,但易想難算(作業中,學生基本上都“折戟”于此);導圖3由果溯因,基于學生的理性分析和解題經驗(要使直線DE過定點,直線AD,AE應該有一定的限制條件),猜測kAD和kAE存在確定的數量關系(難點),基于此猜想的后續運算則得到大大的簡化(可行性更強).因此,解題教學需要在“模擬導航”的探究中明確“方向”(目標結論)、預估“風險”(思維受阻點或運算受阻點),最終選擇最佳“路徑”(解法).

圖3 導圖2

圖4 導圖3

教學思考從思維角度,學生對諸多方法的“選擇”能力的培養,可以幫助他們在更高層面的思維架構中思考問題,提升思維的預見性,優化思維的品質.從應試角度,這種“選擇”能力可以幫助他們避免因盲目嘗試而帶來的時間消耗或選擇錯誤而造成“徒勞無功”.

境界2探“密”難點,破譯“通關密碼”

如果說境界1是探究并確定解題方向,那么境界2就是在探究中“解密”問題難點,破譯問題解決的“通關密碼”.

導圖3中探究分成2個大的邏輯段.邏輯段1:在直線與圓的背景中(圖5)探究kAM(即kAD)和kAN(即kAE)的關系;邏輯段2:在直線與雙曲線的背景中(圖6)證明直線DE過定點;難點是kAD和kAE究竟有沒有確定的數量關系、有怎樣的數量關系.

圖5 圖6

探究1極限探“定”

圖7

探究2動中探“定”

圖8

驗證(因篇幅限制,僅呈現一種方法)

邏輯段2的證明(因篇幅限制,僅呈現一種方法)

教學思考著名數學家華羅庚指出:“善于‘退’,足夠的‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是學好數學的一個訣竅!”“特殊化”“極限化”等思想方法是解題探究“退”的有效途徑.由特殊到一般,以退為進,啟發“數學猜想”,助推“數學發現”.

境界3探“源”本質,感悟思想方法

解題探究若僅僅滿足于“一個問題”而不追求“一類問題”,那這樣的探究是淺層次的,又何談“觸類旁通、格物致知”?對學生學科素養的提升、創新精神的培養以及學習興趣的激發也必定是缺失的.就好比登山止步于半山腰,自然無法領略頂峰的無限風光、無法體會登頂的豪情萬丈!

比如導圖3邏輯段2中,斜率乘積為定值、直線過定點,是必然還是偶然?能否把命題一般化?逆命題是否正確?帶著這些思考,可以探究出以下命題.(可先通過數學軟件GeoGebra展示,讓學生直觀感知,再分小組探究)

把定值t特殊化,得到以下命題.這些命題既與學生已有認知融合呼應、前后聯系(如命題3.1,作為雙曲線的性質研究過但又略有不同),又發展、豐富學生原有的認知結構(如命題3.2、3.3),最終實現對知識的意義建構.

教學思考數學家波利亞說:“好問題類似于采蘑菇,采到一個后還應四處看看,也許還有更多.”[1]解題探究中,通過挖掘問題的內涵價值、拓展問題的外延范圍,在發現“蘑菇群”的同時也實現了問題的追本溯源,讓學生感悟問題的本質和思想方法,收獲探究的“驚喜”,激發探究興趣.

境界4探“誘”聯想,促進知識、方法的遷移

心理學上,將已有知識經驗對新知識的構建影響叫作“遷移”.教育心理學家奧蘇貝爾認為,所有的有意義的學習一定會包含遷移這個過程,因此他提出了“為遷移而教”的觀點.解題探究中,結合知識的聯系、表征的抽象等,誘導、啟發學生積極聯想,理性探究,促進知識、方法的遷移.

導圖3中邏輯段1,以圓為背景,也出現了“類似”命題3的性質,這是必然還是偶然?圓錐曲線是否都有類似性質?

首先根據圓、橢圓、雙曲線方程結構特征的相似性,以及運算原理的一致性,讓學生類比、猜想圓、橢圓的類似性質(把命題3中定點坐標的a2,-b2置換成r2得圓的類似性質,把命題3中定點坐標的-b2置換成b2得橢圓的類似性質),然后再推理驗證和探究拋物線的類似性質.得到以下命題(篇幅限制,命題4～6的一些子命題省略).

教學思考探究過程中,讓學生經歷橫向聯系、觀察分析、表征轉化、模擬運算、類比猜想、推理論證的思維過程,一方面促進學生思維的發散和遷移,另一方面讓學生從新的視角感悟圓錐曲線的和諧美,最終實現解題意境“一覽眾山小”般的通透.

3 感悟

解題探究的四重境界(方法→難點→本質→遷移)既是探究的方向,又是思維層次的四次飛躍:境界1側重思維的整體性、預見性,境界2側重于思維的邏輯性、靈活性,境界3側重于思維的深刻性,境界4側重于思維的發散性和創造性.解題探究中,問題的解決并非唯一目的,讓解題策略在探究中自然獲取,解題境界在探究中自然提升,思維品質在探究中自然優化,這是我們努力的方向!