一道三角函數試題的多視角探析*

毋曉迪 鞠騰基 曾德揚

(廣西民族大學數學與物理學院 530006)

反思平時機械式的刷題,我們就會發現做高質量的題目,同時悟透一道題目的來龍去脈,要比大量重復做題更有價值.另外用多種方法解決同一問題時,可以從不同側面,多個角度分析、思考同一數學概念和規律,從而提高我們的解題能力.本文從不同視角對一道三角函數模擬試題進行探究和解析,在感悟解答方法多樣的同時,體會變換視角解題的奧秘.

1 試題呈現

2 解法探究

思路1鎖定公式妙變形

分析 解決數學問題的過程,是思維不斷發散的過程,是思維巧妙轉化的過程.若在本問題解決中堅守“角”的主體方向不動搖,那么只能通過三角函數的和差化積以及倍角公式來變形,以期達到求解的目的,但運算量較大.

思路2轉換路徑來破局

分析 《周易·系辭下》有言:“天下同歸而殊途,一致而百慮.”從知識主線來講,方程、函數、不等式本屬于同一主線內容,三者相互聯系和滲透.本題可利用弦、切之間的關系,將所求式子進行等價變換,然后通過構造函數,利用導函數的知識或不等式問題統領最值求解,具體解法如下.

思路3數形結合顯神威

分析 有時候,代數問題抽象晦澀,我們束手無策.若從幾何的角度出發分析問題,從“數”中窺探出“形”,那么問題的解決通常會事半功倍,尤其是構造熟悉的幾何圖形,借助圖形的直觀性解決問題.例如本題求解時可以采取“遇切作高”、最短路徑、向量三角不等式以及構造橢圓等思路來求解,具體解法如下.

圖1

圖2

圖3

評析由三角形中的一邊和該邊上的高是定值為突破口,以邊長為焦距、高的大小為短半軸長巧妙構造橢圓.由橢圓的定義和畫法,根據點與橢圓的位置關系,探索出CA+CB取得最小值的條件,問題便得以解決.

3 解后感悟

鑒于此,在解題過程中,想要打破現實中存在的低層次試題重復練習和高強度試題無效訓練的桎梏,把練習的題量變“薄”,必須重視通性通法的積累,探析解題的本質規律,淡化特殊解題技巧.此外,要養成解題后再反思的習慣,需要厘清并悟透試題中所蘊含概念的內涵,真正做到概念明了、知識清晰、方法熟識、應用自如,通過解題完善內化自身的知識網絡,對比出最優的解題思路.