數學核心素養視域下的教學思考
——以“圓錐曲線”習題課為例

王紅芳 顧燕紅

(江蘇省沙溪高級中學 215421)

文[1]通過對學生的問卷調查和教師的訪談后發現:在解題教學中,由于教師缺失“本質理解”,導致學生缺乏知識的應用與遷移能力．圓錐曲線問題往往將方程、函數、數形結合等知識和方法統一起來,要求學生具有較高的數學抽象、數學運算和數學建模等核心素養．本文以一節圓錐曲線習題課為例,探討數學核心素養視域下的教學設計和教學實踐,為如何在圓錐曲線的教學中提高學生的數學核心素養提出相關的建議．

1 基本情況

1.1 前期準備

在已有相關研究的基礎上,依據教科書,結合課程標準中有關數學核心素養的內容,進行了認真的備課,并與同行交流探討,完成了一份基于數學核心素養的圓錐曲線的教學設計．

1.2 授課對象

學生來自江蘇省四星級高中三年級的一個普通班,數學基礎總體較好,具備一定的數學抽象、邏輯推理、直觀想象等數學學科核心素養．

2 教學過程

2.1 活動1:自主試探

課堂開始,教師向學生展示了一道圓錐曲線的題目,讓學生自主完成并請學生上臺進行展示．

例1在一張紙上有一個圓C:(x+2)2+y2=r2(r>0)與點M(m,0)(m≠-2),折疊紙片,使圓C上某一點M′恰好與點M重合,每次折疊都會留下一條直線折痕PQ．設折痕PQ與直線M′C的交點為T,則下列說法正確的是( )．

A．當-2-r

C．當m=2,1≤r≤2時,點T的軌跡對應曲線的離心率取值范圍為[2,4]

設計意圖本題考查數形結合、函數與方程的思想,也考查數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養．學生通過自主探索發現數形結合在解決圓錐曲線問題中的重要性,同時意識到在解決軌跡問題時要尋找運動中不變的量．

2.2 活動2:例題探究

完成例1后教師進行歸納,說明數形結合在解決圓錐曲線問題中的重要性,同時向學生指出軌跡問題中要尋找不變的量．

(1)求C的方程;(2)點M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,點D為垂足,證明:存在定點Q,使得DQ為定值．

學生分組討論后進行交流．

生1:我們組發現,AD⊥MN,點D為垂足,DQ為定值,問題可以轉化為求直線MN所過的定點,只要求到MN所過的定點,點Q即為點A與此定點的中點．

師:為什么點Q即為點A與此定點的中點?

生1:這個點我們看成點F,△ADF是直角三角形,直角三角形垂足D與斜邊中點F連線的長度是斜邊的一半．

師:所以本題我們轉化為求定點問題,注重形在解析幾何中的應用．

教師板書生1的方法．

數學運算能力需要學生在解題過程中親身經歷而得以提升．因此,在解析幾何的教學中,教師要向學生展示解題的具體過程,幫助學生經歷具體的運算過程．同時,圓錐曲線問題往往與平面幾何內容相關聯,充分利用平幾知識有助于提升幾何直觀素養．

師:還有沒有別的方法?

生2:可通過平移坐標系來簡化運算過程．

師:如何平移,為什么這樣平移?

生2:以點A為原點建立坐標系,直線MN的方程與橢圓的方程聯立,構造齊次式方程解決圓錐曲線,能夠簡化運算過程．

齊次式體現了數學中的對稱美與和諧美,而圓錐曲線就是這兩種美的化身．構造齊次式方程解決圓維曲線問題,不僅新穎別致,而且能簡化運算過程,減元增效．基本轉化法、整體消元法、同構轉化法、齊次處理法實現了設而不求．這幾種方法在解題中相輔相成,學生需要體驗其中的內涵才能提升解題能力．設而不求在解析幾何解題中經常使用,是聯系解析幾何與函數、方程、不等式等相關內容的紐帶和橋梁．將齊次式、整體消元等運算方法介紹給學生有利于提高其數學運算素養．

生3:還可以先求特殊情況再求一般情況．

師:對,我們先求斜率不存在的情況,再過渡到一般情況．

2.3 活動3:變式訓練

圖1

(1)求橢圓C的方程;(2)若點D是線段AP的中點,直線OD與直線FQ相交于點T,求證:點T在一條定曲線上運動．

設計意圖例3考查了定點問題,通過變式訓練,引導學生領悟其中的內涵．

3 教學建議

結合上述教學片段,筆者從邏輯推理、直觀想象和數學運算素養培養三個方面給出相關的教學建議和思考．

(1)圓錐曲線的教學既要符合學生的認知規律,也要強調邏輯推理,這樣才能讓學生順暢地掌握新的知識．教師要將解題思維和解題方法盡可能地展現出來,而不是單純地講解解題過程．如在講解例2時,目標是找到定點Q,需要分析題干中哪些是有效的信息、針對這些信息應該想到哪些知識點、考慮哪些幾何關系,這些都是對學生邏輯推理的培養．

(2)在處理圓錐曲線問題時要讓學生養成作圖的習慣,在圖形中尋找各個變量之間的關系,培養學生數形結合的能力．在具體的解題過程中,學生經常陷入“找到了路”而“走不出路”的尷尬境地,從而導致很多學生對圓錐曲線問題望而生畏,甚至有學生調侃:不被圓錐曲線的運算所虐,不足以談人生．但是,教師清楚地知道:從定義的視角出發,依托平面幾何等知識對題目中的幾何特征進行剖析,即把問題適當地幾何化,讓定義與幾何相結合,往往能使解題思路豁然開朗．具體地說,在解決問題時動中求靜,尋找定點和定值,能避免機械的運算,從而為解題找到一個合理的突破口．

(3)圓錐曲線問題變量多、運算量大,需要不斷地挖掘題目中的不變量(定點、定直線、定值等),發現解決問題的突破口,以簡化運算．數學運算是數學核心素養的重要組成部分,而圓錐曲線是運算訓練的重要載體．在圓錐曲線問題的解決中,不僅僅需要大量的運算,而且需要學生仔細觀察式子的結構特征．其實,在運算過程中,對于每一個關鍵點都要認真地審視式子結構的幾何特征,從而調整運算方向,使問題迎刃而解．