一個離散型隨機變量問題的剖析與啟示

曹 輝 程守山 劉天程

(江蘇省常州市北郊高級中學 213031) (江蘇省常州市正行中學 213000)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》將“數(shù)學建模”列為六大核心素養(yǎng)之一,在必修課程、選擇性必修課程和選修課程中均對數(shù)學建模活動作出了具體要求,在核心素養(yǎng)的水平劃分中列出了數(shù)學建模素養(yǎng)三個水平層級的詳細指標[1]．隨機變量是連接隨機現(xiàn)象和實數(shù)空間的一座橋梁,它使我們可以借助有關的數(shù)學工具來研究隨機現(xiàn)象的本質,通過建立不同的概率模型解決有關隨機現(xiàn)象的問題．

教科書通過數(shù)學建模和數(shù)學探究活動或專題(如“建立函數(shù)模型解決實際問題”“建立數(shù)據(jù)模型進行數(shù)字特征分析和統(tǒng)計”等),為學生形成積極主動和多樣的學習方式提供了有利的條件,有助于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣,養(yǎng)成獨立思考和積極探索的習慣．

1 問題及背景

2023年蘇錫常鎮(zhèn)一模第20題:

某小區(qū)有居民2 000人,想通過驗血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者,為此需對小區(qū)全體居民進行血液化驗,假設攜帶病毒的居民占a%,若逐個化驗需化驗2 000次．為減輕化驗工作量,隨機按n個人的血液混合在一起化驗,若混合血樣呈陰性,則這n個人的血樣全部陰性;若混合血樣呈陽性,說明其中至少有一人的血樣呈陽性,就需對每個人再分別單獨化驗一次．假設每位居民的化驗結果呈陰性還是陽性相互獨立．

(1)若a=0.2,n=20,試估算該小區(qū)化驗的總次數(shù);

(2)若a=0.9,每人單獨化驗一次花費10元,n個人混合化驗一次花費n+9元,求n為何值時,每位居民化驗費用的數(shù)學期望最小．(注:當p<0.01時,(1-p)n≈1-np)

本題的重點是如何選擇隨機變量來刻畫檢測方法的優(yōu)劣,難點是學生在確定隨機變量的選擇后,如何建立概率模型解決問題．因此,在教學中應可通過“數(shù)學探究”“數(shù)學建模”等學習活動,讓學生參與到這個探究過程中來,感悟數(shù)學和現(xiàn)實之間的關聯(lián),提高分析和解決實際問題的能力．

上述問題源于蘇教版選擇性必修第二冊第8章“8.2.2 離散型隨機變量的數(shù)字特征”中的例2[2]:

在一個人數(shù)很多的地區(qū)普查某種疾病,由以往經驗知道,該地區(qū)居民得此病的概率為0.1%．現(xiàn)有1 000人去驗血,給出下面兩種化驗方法．

方法1:對1 000人逐一進行化驗．

方法2:將1 000人分為100組,每組10人．對于每個組,先將10人的血各取出部分,并混合在一起進行一次化驗,如果結果呈陰性,那么可以斷定這10人均無此疾病;如果結果呈陽性,那么再逐一化驗．

試問:哪種方法較好?

可以看出,蘇錫常鎮(zhèn)一模第20題與教科書 例2大同小異．例2在待定標準時,難度要大一些．選擇怎樣的隨機變量來刻畫檢測方法的優(yōu)劣是解決問題的關鍵．因此,學生在學習的過程中應加深對教材題目的理解和領悟,同時也要求我們加強對教材例題和課后習題的研究,在教學中滲透建模思想,提高學生的建模能力．

2 多視角探究

由于例2的開放性,學生在探究的過程中給出了自己的觀點:

生1:方法1好,理由是如果該疾病有傳染性,那么方法2有擴散的風險．

生2:方法1好,理由是從患者個體來講,采用方法1每人只需抽血1次,而采用方法2每人至少抽血1次．

生3:方法2好,理由是從醫(yī)院化驗的次數(shù)來講,方法2應該優(yōu)于方法1,具體理由不清楚．

著名數(shù)學家懷特海曾說:“數(shù)學是對模式的探究”．教材是從分組后每組化驗的次數(shù)來建立最佳模型,運用數(shù)學方法進行探索,使問題得到解決．數(shù)學模型的建立有多種方法,怎樣選擇一個最佳模型,這是一個難點,也是嘗試和探索的過程．學生的探究過程,也是關鍵能力培養(yǎng)的過程．為了使問題指向更加明確,我們從化驗次數(shù)的角度來刻畫檢測方法的優(yōu)劣,下面從三個視角嘗試建立模型．

視角1對于方法2,課本上采用分組后每組的化驗次數(shù)X作為隨機變量,X的可能取值為1和11,而且這些人的化驗結果是相互獨立的,所以分組后每組的化驗次數(shù)X的概率分布如下:

X111P(1-0.001)101-(1-0.001)10

因為每組化驗次數(shù)X的均值為E(X)=1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10],所以100組的化驗次數(shù)的均值為100×{1×(1-0.001)10+11×[1-(1-0.001)10]}≈110．方法1的化驗次數(shù)為1 000,因此方法2遠好于方法1．

Y1101110P(1-0.001)101-(1-0.001)10

誤區(qū)1 簡單認為隨機變量Z的取值是100和1 100．從100組陰性和陽性的角度進行分類,即根據(jù)100組陰性,99組陰性1組陽性,98組陰性2組陽性,…,100組陽性,來確定隨機變量Z的取值．也可以歸納為100+10k,k=0,1,…,100,其中k代表k組陽性．

誤區(qū)2 將每人感染的概率和每組感染的概率混為一談,造成了部分學生認為1組感染的概率是0.001．

3 反思與啟示

教材是專家和學者潛心研究并結合多數(shù)學生認知水平編寫出來的,是集體智慧的結晶．不過,它不可能將編者的思考過程完全用文字反映出來,這就需要教師不斷引領學生發(fā)現(xiàn)、挖掘、提煉,力爭獲得其背后所蘊含的知識外延,這恰是命題教師編擬題目的源泉．

無論是哪一階段的建模環(huán)節(jié),學生都需要具備較強的抽象能力作為支撐.但建模能力的培養(yǎng)并不能一蹴而就,需要學生在教師的精心指導和幫助下拾級而上．在教學過程中,教師應有意識地精選典例,引導學生積極開展討論和探索,強化建模思維訓練,達成師生、生生相互學習、共同成長的目標．學生在參與數(shù)學建模和探究的過程中,不斷地擴充個人認知,提升數(shù)學建模和探究能力．