千淘萬漉尋靈感 三斟三酌定文章
——一道模擬試題的命制歷程與思考

劉洪志 王 瑩

(江蘇省句容高級中學 212400) (江蘇省句容市第三中學 212400)

考試是對學生能力進行評價的一種重要方式,測試試題是從事教育測量的量尺,命制一道恰當的試題是考量學生水平發揮的關鍵所在.高三學生要參加很多考試,高三教師要根據學情命制不同難度的試題,現將個人命制一道解析幾何問題的過程與感悟記錄如下,與同行分享.

1 命題立意

《中國高考評價體系》提出的“一核、四層、四翼”為學科命題提供了準則和標尺,《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等學科核心素養內容及其不同水平的劃分為命題提供了目標和依據.其強調的“考查內容應圍繞數學主干內容、聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用,強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法,淡化技巧”[1]又為學科命題指明了方向和要求.

高考中解析幾何問題一般是以考查直線與橢圓和直線與拋物線為主,對圓和雙曲線鮮有涉及,為了預防學生的賭徒心態,筆者命制了一道以雙曲線為背景的問題,通過熟悉的背景考查共軛雙曲線、直線與雙曲線相切、弦長公式等相關知識,突出綜合性、基礎性和創新性.

2 命題過程

2.1 選定母題

2.2 探究母題

圖1

通過研究一般性,我們可以獲知切線與漸近線交點的橫、縱坐標均為定值,且切點為交點連線段的中點.

2.3 初出茅廬,稍顯稚嫩

(1)求雙曲線C的標準方程;

因為第二問需要確定T為線段中點,故而降低第一問難度,給第二問的求解留下更充裕的時間.

解 (1)x2-y2=1.

此題取到最值的情況比較特殊,容易被猜到答案,而且綜合性較弱,缺少壓軸題的味道,需要做進一步的思考.共軛雙曲線有共同的漸近線,這條切線與其共軛雙曲線相交能有什么樣的性質呢?筆者保留了等軸雙曲線,放棄切線與漸近線相交這一背景,讓這條切線與其共軛雙曲線相交,轉而研究以坐標原點和交點為頂點的三角形的面積問題,通過證明,發現這個面積是一個定值,命題的第二稿就此產生.

2.4 潛心修煉,再出江湖

(1)求雙曲線C的標準方程;

(2)設雙曲線C的共軛雙曲線為C′,點T為C上一點,過點T的雙曲線C的切線l與C′交于A,B兩點,求證:△AOB的面積為定值.

解 (1)雙曲線C的方程為x2-y2=1,雙曲線C′的方程為y2-x2=1.

圖2

綜上所述,△AOB的面積為定值.

在研究二稿的解答時,筆者作出了雙曲線、共軛雙曲線還有它們共同的漸近線,突然想到這里的切點能否也平分直線與共軛雙曲線形成的這條弦呢?于是先用等軸雙曲線進行了特例檢驗然后再通過GeoGebra進行演示,發現這是個正確的命題,證明一般情況后發現猜想正確,也就是過雙曲線C上任意一點T作切線,點T既是切線與漸近線交點的中點,也是切線與其共軛雙曲線交點的中點.帶著這樣的想法筆者保留直線與雙曲線相切的背景,對問題進行了較大幅度的改編.

2.5 見賢思齊,日臻完善

(1)求雙曲線C′的標準方程;

(2)若過點M的C的切線與C′以及兩條漸近線自上而下依次交于點A,E,F,B,求證:AE=BF.

圖3

第三稿試題的表述更加簡潔,解法更能突出解析幾何中變量選擇的多樣性,考查了化歸與轉化思想,將證明兩條線段相等轉化為證明中點重合,如果直接解決會陷入比較復雜的數式運算,這種問題能夠鍛煉學生思維的靈活性,起到較好的能力評價效果.

3 命題感想

《中國高考評價體系》提出,試題要以必備知識、關鍵能力、學科素養為考查目標,全面體現考查的基礎性、綜合性、應用性和創新性,站在學科整體高度創設數學建構、數學知識習得、數學運算演練、數學推理學習、數學分析、數學探索、數學實驗等熟悉的課程學習情境[2].要盡量以數學教材例習題為載體,以數學中核心概念、性質、法則、定理、定義、公式為背景,引導學生重視必備知識的學習.

原創問題的痛點是無從下手,一般來說教材、高考試題、模擬試題等等都是命題的靈感來源.T8聯考范圍較大,而且都是教育發達的省份和地區,在一定程度上反映高考的趨勢.關注T8聯考中的問題是高三教師的必修課,我們不僅要做好每道題,而且要帶著自己的理解進行深入的思考,發揮聯考試題對高中教學的導向作用.試題的命制不是一個簡單的解題過程,而是將命題引向深入的研究過程.在命制過程中,三易其稿,這其中有簡單的模仿、有徹底的推翻、有深入和繼承,每一次都是思維的發散與聚合的碰撞,極大地提升了命題人的數學功底,同時也提醒自己在平時的教育教學中要注意積累和思考,能用發現的眼睛尋找命題的靈感,用發展的眼光去看待問題的研究方向,用發明的心態去專注命題工作.