點評 互評 賞評
——采用多元評價主體的數學文化寫作案例分析

陳文陽

(廣東省廣州市華僑外國語學校 510095)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出“數學承載著思想和文化”“是表達和交流的語言”[1]1,“欣賞數學美,提高學習數學的興趣”是課程目標之一[1]11．近年來,筆者在初中教學中積極開展數學文化寫作活動,使學生感受數學的文化價值,提高學生學習數學的興趣以及數學交流素養．評價是數學文化寫作的必要環節,但實踐中發現,單一主體的教師評價在調動學生的寫作積極性,提高學生的寫作能力,促進師生之間、生生之間、家長和學生之間的數學交流等方面效果不佳．于是,筆者采用多元評價主體的方式對數學文化寫作進行評價,以增強數學寫作活動的實效,構建班級、家庭數學學習新生態．下面以九年級數學文化寫作活動“平分太極圖”為例,從教師點評、學生互評、家長賞評三個方面分析多元評價主體在數學文化寫作評價中的積極作用．

1 數學文化寫作活動設計

數學文化寫作指學生從數學文化的視角探究數學知識、數學思想和方法的應用,把所思、所悟以書面形式表達出來,展現數學的應用價值和人文價值．本文中的數學文化寫作活動包含三個環節:一是數學欣賞,即欣賞與數學相關的傳統文化;二是數學寫作,即結合數學欣賞的內容開展寫作;三是作品評價,包含教師點評、學生互評和家長賞評．以下是數學文化寫作活動“平分太極圖”的具體設計．

1.1 數學欣賞

中國著名的“太極圖”(圖1),是以黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案,俗稱“陰陽魚”．實際上,它是把一個圓分成陰(黑)陽(白)兩部分,因而具有“陰”和“陽”對立統一的深刻含義．太極是中國古代的哲學術語,意為派生萬物的本源,該詞最早出現在《易傳·系辭上》中．它后來發展成中國民族圖案所特有的“美”的結構,如“喜相逢”“鸞鳳和鳴”“龍鳳呈祥”等都是這種以一上一下、一正一反的形式組成生動優美的吉祥圖案,在民間極受喜愛．如圖2,太極圖形在現代建筑(南海明珠島)中展現了一種互相轉化又相對統一的形式美、和諧美．

圖1 圖2 圖3

太極圖的畫法是:如圖3,在一個大圓內以其半徑為直徑,作兩個相外切且都內切于大圓的小圓,然后擦掉虛線所示的兩個半圓,就畫成了一個太極圖．太極圖是一個中心對稱圖形,面對著這個神奇的圖案,試想:我們能夠引一條直線把太極圖上陰陽兩個部分的面積都平分嗎?[2]

1.2 數學寫作

寫作要求:(1)請畫出一個如圖1所示的太極圖;(2)作一條直線把圖1中所畫的太極圖上陰陽兩個部分的面積都平分;(3)說明(2)中的作圖步驟和原理,用數學的眼光觀察太極圖,談談你的理解和體會;(4)文章題目自擬,內容有新意．

1.3 作品評價

學生互評 同學們好!大家都認真思考并解決了“平分太極圖”問題,寫出了自己的理解和感悟,老師也對大家的作品進行了評價．請同學們閱讀老師推薦的優秀作品,并在“互評本”上對你最喜愛的作品進行評價．

家長賞評 家長,您好!孩子通過閱讀文獻,了解太極圖的奧秘,欣賞太極圖的數學之美,學習了太極圖的作圖,探究了用一條直線平分太極圖上陰陽兩個部分的面積的作法及其原理,學會了用數學的眼光觀察太極圖,并書寫了個人的理解和體會．請您閱讀和欣賞孩子的作品,并給予書面評價,感謝您的參與!

1.4 活動實施

教師印制數學欣賞和數學文化寫作紙,以周末作業的形式在任教班級布置以上寫作活動．學生完成寫作后,教師對全班作品逐份批閱,并在教室的宣傳欄和家長微信群展示優秀作品．學生利用課余時間閱讀同學的作品,然后在班級“寫作互評本”上對最喜愛的作品進行評價．同時,學生將自己的作品帶回家,給家長閱讀,與家長交流,請家長對作品給出書面評價．

2 作品節選以及教師點評

2.1 作品1——太極圖中的數學思想

這是學生甲的作品．如圖4,與直徑CD夾角為45°的直線AB平分太極圖上陰陽兩個部分的面積,理由如下:

圖4

作圖步驟:先作直徑CD的垂直平分線EF,再作平分CD和EF的夾角的直線AB,則直線AB為所求．

畢達哥拉斯說,在一切平面圖形中,圓是最美的圖形．古人誠不欺我也!從一個在數學作業中“悲情掙扎”的學生的角度而言,圓簡直是太美了!轉化的思想在圓中被展現得淋漓盡致．如本題中,我們就能把求面積的問題轉化為對半徑、角度的探究．太極圖是多個圓的組合排列,因此具有對稱美與曲線美,并有一種動態的美感．我想這也是圓經常被用于圖標設計的原因吧．或許,下次的寫作主題可以設計成用一條直線平分校徽(圖5)的綠色部分(圖5中左右對稱的2塊類似葉片形狀的深色區域)．

圖5

教師點評 作品圖文并茂,語言風趣,令人賞心悅目．能清楚地說明作圖步驟以及作圖的原理,能分析轉化思想在解決問題中的運用．通過寫作,感悟了太極圖中所蘊含的對稱美,并能聯想到平分校徽的綠色部分,開拓思維,富有創意．若能對平分校徽圖案有進一步的探討,將帶給讀者更多的啟發．

2.2 作品2——對稱中的數學美

想要平分太極圖,我們就要先了解太極圖．如圖6,兩個小圓內切于大圓,兩個小圓也外切,我們有以下結論:大圓與小圓的兩個內切點、兩個小圓的外切點、兩個小圓的圓心五點共線;①與②、③與④、⑤與⑥成中心對稱．可推出①+③+⑤與②+④+⑥成中心對稱,即太極圖上陰陽兩個部分成中心對稱,因此過對稱中心且平分一個部分的直線也必平分另一個部分．

圖6 圖7

如圖7,設兩個小圓與大圓內切于A,B兩點,大圓圓心O是兩小圓的外切點．作OC⊥AB交⊙O的左側于點C,則OC平分半圓ACB,即S扇形OAC=S扇形OBC．設平分陰陽兩個部分的直線為OD,則S①+S扇形OAC-S扇形OCD=S扇形OBC+S扇形OCD-S②,可得2S扇形OCD=S①+S②．因為S①=S②,所以S扇形OCD=S①=S②．

因此,我們只需要在弧AC上作點D,使∠COD=45°,那么直線OD將同時平分太極圖上陰陽兩個部分．

生活中處處有數學美,太極圖就蘊含了對稱中的數學美,愿每個人都能有一雙善于發現數學美的眼睛!

教師點評 “太極圖的陰陽兩個部分成中心對稱”的推導直觀明了,發現的結論“平分陰部分的直線也必平分陽部分”是作圖的關鍵原理．能利用圓的對稱性轉化圖形面積,探究所求直線需滿足的條件,并從中感悟到太極圖中的對稱美,很棒!若文章對問題解決中所用的主要知識與方法加以歸納,作品將更完美．

2.3 作品3——太極圖的秘密

我們都知道,太極圖是以黑白兩個魚形紋組成的圖案,它向我們展現了一種對稱的美．有沒有一條可以把太極圖上陰陽兩個部分的面積都平分的直線呢?答案是肯定的．

圖8

其實,要想平分太極圖并不難．我們面對這個問題時,應有整體思想,可將大圓的面積看作1,再根據已知條件找到部分(扇形)和整體(大圓)之間的關系,便能輕松得出答案．這就是太極圖的秘密．

教師點評 文章語言簡潔,推理思路清晰,所得結論“所求直線必經過圓心”是作圖的重要依據．靈活運用整體思想,使得解決問題的思路簡單明了,讓人輕易理解作圖方法．若文章開頭增加對太極圖的對稱性的分析,文末拓展介紹整體思想在其他數學問題中的遷移運用,內容會更為豐富．

3 多元評價主體作用分析

《課標2022》指出,評價方式應具有多元化的特征,包括評價形式的多元化、評價維度的多元化及評價主體的多元化[1]89-90．多元評價主體是指由教師、學生、家長等根據評價內容以不同的結構形式聯結而成的,對學生學習后的基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗以及情感、態度與價值觀各方面獲得發展進行價值判斷的有機整體．在數學文化寫作評價中,發揮多元評價主體的作用,有利于激發學生的學習興趣和寫作動力,促進師生之間、生生之間、家長和學生之間的交流,促使教、學、評有機銜接,形成育人合力．

3.1 教師點評,關注亮點,給予激勵和指導

教師是數學文化寫作活動的設計者與實施者,最為清楚評價的目的和要求．相對其他評價主體而言,教師具有更為專業的評價知識與理論,能夠客觀、科學地評價學生的寫作．

首先,教師點評要關注學生作品的亮點．評價中,教師要善于發現學生寫作中的“閃光點”,留下欣賞性的評語．例如,對于作品1,教師指出其版面設計和語言表達優美,肯定學生對轉化思想的靈活運用,贊賞學生結合生活實際、發散思維、聯想到平分校徽圖案的創意;對于作品2,教師認同學生證明太極圖中心對稱性的嚴謹推理,肯定學生發現“平分陰部分的直線也必平分陽部分”的重要性,表揚學生發現了對稱中的數學美;對于作品3,教師贊揚學生能用簡潔的數學語言進行推理,對學生在解決問題過程中能靈活運用整體思想給予贊賞．

其次,教師點評要注意對寫作策略的指導．教師要客觀指出學生作品需要改進之處,提出合理的修改建議,幫助學生提高寫作技巧．如指導學生學會對數學思想方法進行總結與反思、拓展與延伸等,使文章的思想得到升華．

教師點評是師生交流的渠道,是鼓勵和指導學生寫作的有效方式．不管肯定優點還是指出不足,教師都應讓學生感受到教師對自己的認可和幫助,讓學生因有老師的賞識而更加自信,更加喜歡數學文化寫作．

3.2 學生互評,引導欣賞,促進交流和學習

學生互評有助于學生傾聽與理解他人的思路,提高數學交流與表達的能力．本次寫作活動中,要求學生閱讀和評價同學的作品,引導學生相互欣賞、相互學習,營造了良好的班級學習氛圍．例如,對于作品1,學生有如下評價:

學生1我最為欣賞的就是甲同學的作品．首先,她介紹了作圖的原理和步驟,很好地運用圓的有關知識分析和解決了問題．接著,她以畢達哥拉斯的名言引出對圓和太極圖的評論,用風趣幽默的語言將自己的思想表露無遺．最后,她舉一反三,提出“如何用一條直線平分校徽綠色部分的面積”,拉近了數學與生活的距離．對比她的寫作,我感受到了差距,意識到自己對數學圖形的理解不夠．我要向她學習,特別要學習她那有趣的語言和理性的思考．

學生2在滿墻的數學作文中,最吸引眼球的就是甲同學的作品了．從整體上看,排版清晰,圖文并茂,賞心悅目;從內容上看,甲同學詳細地分析了自己平分太極圖的思路,解題方法簡潔,易于理解;從表達上看,她能引用名言,且語言風趣,使一篇看似枯燥的文章變得十分生動．她的文章充分體現了優秀傳統文化以及數學文化對我們生活的影響,這一點我要向她學習．

學生3群星薈萃中,甲同學的作品無疑是十分亮眼的．總的來說,使之脫穎而出的是工整的字跡與精美的圖畫,這能吸引讀者認真閱讀文章的內容;讀后發現,作品并非徒有其表,其文字內容也十分豐富且條理清晰,可謂是“漂亮的皮囊”與“有趣的靈魂”并存．甲同學這種圖文并茂的展示讓人嘆為觀止,值得我們學習．

學生互評為他們提供了數學交流的平臺,使學生在交流中學會分析、鑒賞,相互取長補短,不斷提高數學寫作水平．案例中,學生認真閱讀并理解甲同學的作圖步驟及其數學原理,發現和欣賞甲同學作品的優點,如優美的版面設計、生動的文字語言、嚴謹的邏輯推理、新穎的數學問題等．同時,學生能從甲同學的作品中得到啟發,獲得改進寫作的方法．

3.3 家長賞評,增進了解,激發情懷和期待

家長賞評是校內評價的延伸與互補,是家長助力校內教學的重要途徑,主要體現在以下四個方面．

第一,能增進家長對孩子學習的了解．比如,有家長這樣評價:“在評價之前,我讓孩子給我復述了她的解題思路,發現她確實有認真思考題目中的問題,也充分理解了老師的意圖,值得表揚．希望能繼續打開思路,多角度、多方法深入探索,發現數學的奇妙,發現數學的美!”也有家長這樣評價:“通過孩子的作品,我重溫了這幅起源于華夏上古時期的太極圖,并去思考這道題的解法．然后,發現自己不會做,哈哈……所幸,孩子通過自己的努力,把作圖的思路表述得清晰明了．于是,我看懂了平分太極圖上陰陽兩個部分的面積的直線的畫法．非常同意孩子最后的總結,即合理運用多方面知識,積極思考,層層推理,才能最終找到答案．”以上案例中,家長閱讀了孩子的作品,與孩子深度交流,能發現孩子勤于思考的精神、巧妙解題的智慧和富有邏輯性的表達,會用欣賞的眼光看待孩子的學習,將激起孩子善于感悟、樂于表達的寫作熱情．

第二,能激起家長對孩子數學學習的期待．比如,有家長這樣評價:“孩子從貌似很不規則的太極圖中找到簡單的平分方法,核心依據是小圓的一半等于大圓的八分之一,整個推斷邏輯嚴密,環環相扣,體現了較高的數學素養．從數學方面看,這篇文章對于一個中學生來講是難能可貴的,但對于孩子我還是想從其他方面找一些不足,以利于孩子以后的成長．一是太極圖可以加一些色彩渲染,線條可采用虛實線表示,可視性會更好,也更加形象;二是文字書寫要工整一些．總之,希望孩子再接再厲,發揚長處,努力彌補不足,一步一個腳印地前進．”以上案例中,家長對孩子的數學寫作提出了合理的建議,同時也對孩子提出殷切的期待,能促進孩子養成積極進取的學習態度．

第三,能引發家長參與數學學習的互動．比如,有家長這樣評價:“孩子能利用整體思想分析和解決問題,值得表揚．但推理過程缺少必要的數據支持,解答需要邏輯清晰,讓別人更容易看懂,可以按如下作答．

圖9

以上案例中,家長在肯定孩子積極思考的同時,也提出了中肯的寫作建議,并主動向孩子分享了自己的解法,這將促進孩子更勤于思考、更熱愛數學．

第四,能激發家長的數學情懷．家長對孩子數學文化寫作的評價過程,是一個欣賞與反思的過程,能在家長的心中掀起數學情感的波瀾．比如,有家長這樣評價:“我常跟女兒提到,我們現在 學到的數學知識是人類經過幾千年的探索和積累而獲得的,因此對于數學知識我們要多幾分尊敬和熱愛．今日抽空看了女兒有關‘平分太極圖’的文章,頗有幾番感受,用一首詩來表達我的感 受吧——

在你我之間,隔著多少粒子?

就像五指和星辰之間,隔著多少位數字．

在漣漪和指紋之間,有多少的相似和相離?

就像兩人的軌跡,有多少的同行和背馳．

一個方程是否有解?在虛與實之間讓人無所適從．

如果每一次選擇是不同的結局,搜尋一個函數就可能耗盡一生．”

以上案例中,學生的作品勾起了家長對數學的深情思考,家長通過創作詩歌的形式表達了自己對數學的理解,能啟發孩子發現數學的真、善、美,提高孩子學習數學的熱情．

與其他評價不同,家長在對孩子數學文化寫作的評價過程中經歷了對數學文化的欣賞、對數學知識的回顧與思考,能激起家長對數學的重新認識,促進了親子交流,有助于發揮家長在學生成長中的作用,構建和諧的家庭數學學習生態．

4 結語

基于欣賞的數學文化寫作活動,能促進學生了解優秀傳統文化、體驗數學的文化價值,讓數學變得生動、有趣和有用．數學文化寫作評價是寫作活動的必要環節.教師點評,目的是激發學生的寫作熱情、提高學生的寫作能力;學生互評,目的是促進學生之間的數學交流,營造良好的班級學習生態;家長賞評,目的是增進家長與學生的了解,引起家長對孩子數學素養發展的更多關注,發揮家長的學習助力．可見,多元評價主體能從不同的角度促進數學文化寫作活動的高效開展,構建新型數學學習共同體．