緊跟改革步伐 探索學(xué)科融合
——圖形變換中的數(shù)學(xué)之美

陳 磊

(江蘇省蘇州市滄浪中學(xué)校 215004)

2022年4月,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》正式頒布,國內(nèi)掀起新一輪教學(xué)改革浪潮．課標(biāo)要求學(xué)生在七至九年級感受數(shù)學(xué)在與其他學(xué)科融合中所彰顯的功效,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),逐步形成“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)[1]．2022年12月,筆者參加了蘇州市立達(dá)中學(xué)教育聯(lián)盟舉辦的主題為“探跨學(xué)科主題學(xué)習(xí),育全面發(fā)展時代新人”的“新時代有效教學(xué)研究”展示活動．筆者緊扣學(xué)科融合的主題,將數(shù)學(xué)和美術(shù)相融合,上了一堂公開課,讓學(xué)生動手體會初中階段學(xué)習(xí)的三種圖形變換能創(chuàng)作出美麗的圖案,實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美育價值,也讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)在美術(shù)創(chuàng)作中的作用．

1 教學(xué)實(shí)踐

在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何合理地設(shè)置“問題鏈”是一堂好課的關(guān)鍵．所謂“問題鏈”,指的是以學(xué)生的實(shí)際生活和思維層次為基礎(chǔ),根據(jù)教學(xué)的核心內(nèi)容和目標(biāo)精心設(shè)計,能夠引領(lǐng)學(xué)生積極參與、深度思考的多個問題構(gòu)成的問題序列,這些問題具有明顯的啟發(fā)性、層次性、結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性等特征[2]．對于本節(jié)課而言,圖形的旋轉(zhuǎn)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圖形的平移和翻折以后學(xué)習(xí)的內(nèi)容,因此在提問設(shè)置中筆者會以類比的方式啟發(fā)學(xué)生下一步的研究內(nèi)容．在關(guān)鍵的知識生成處,步步追問,引發(fā)學(xué)生思考．而在本節(jié)課的重點(diǎn)——圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)生成時的提問設(shè)置,則以緊扣觀察—猜想—驗(yàn)證—一般化的方式進(jìn)行．期望學(xué)生在課堂中既有感性的認(rèn)識,又有理性的分析和思考．

1.1 游戲引入,增加興趣

問題1-1:在如圖1所示的俄羅斯方塊游戲畫面中,我們通過什么簡單變換可以消除整行方塊?

圖1 圖2

問題1-2:如圖2,游戲中新增什么圖形變換功能就能使圖形下落后消除整行方塊?

問題2:你還記得在學(xué)習(xí)上述兩類圖形變換時我們研究了哪些內(nèi)容嗎?

設(shè)計意圖在真實(shí)的俄羅斯方塊游戲中是不存在翻折變換的,因此圖2這個情境筆者設(shè)置的問題是“游戲中新增什么圖形變換功能就能達(dá)到下落后消除整行方塊?”在復(fù)習(xí)完圖形的平移和翻折后,筆者帶領(lǐng)學(xué)生回顧了在學(xué)習(xí)圖形變換的過程中涉及的圖形變換的定義、要素和性質(zhì)．而所謂“性質(zhì)”其實(shí)是圖形變換這一運(yùn)動中的不變性,并且研究的角度是宏觀和微觀兩個方面,即宏觀上有圖形的全等,微觀上研究了對應(yīng)點(diǎn)和變換要素的關(guān)系．這些都為下面研究圖形的旋轉(zhuǎn)做好了鋪墊．

1.2 類比舊知,探索新知

·實(shí)物操作,認(rèn)識旋轉(zhuǎn)

問題3:當(dāng)我們遇到如圖3所示的圖形時,對它作什么變換可以使得下落后消除方塊?

圖3

追問:你能在黑板上嘗試著演示一下這個旋轉(zhuǎn)的過程嗎?

再追問:你能用語言描述一下自己的旋轉(zhuǎn)過程嗎?

問題4:我們將實(shí)物抽象成一個幾何圖形,請同學(xué)們觀看動畫,類比圖形平移的定義說說什么是圖形的旋轉(zhuǎn).

·動畫演示,解析旋轉(zhuǎn)

問題5:(觀看了生1的旋轉(zhuǎn)過程后)其他同學(xué)的旋轉(zhuǎn)結(jié)果都和他一樣嗎?有不同的旋轉(zhuǎn)結(jié)果嗎?

追問:這兩位同學(xué)因什么選取的不一樣而導(dǎo)致了旋轉(zhuǎn)結(jié)果的不同?

再追問:你認(rèn)為還有什么會影響旋轉(zhuǎn)的結(jié)果?

設(shè)計意圖圖形旋轉(zhuǎn)是學(xué)生新接觸的知識,很多學(xué)生知道旋轉(zhuǎn)但是不明確旋轉(zhuǎn)的要素,此時讓學(xué)生上黑板實(shí)際操作,并直接用語言描述自己的圖形旋轉(zhuǎn)的行為,學(xué)生能說出繞著哪個點(diǎn)、按照什么方向、轉(zhuǎn)過了多少角度．這正是無意中說出了圖形旋轉(zhuǎn)的定義,同時也明確了圖形旋轉(zhuǎn)的三要素,很好地引出了新知．讓第二位學(xué)生上黑板演示不同的旋轉(zhuǎn)結(jié)果可以讓學(xué)生歸納影響旋轉(zhuǎn)結(jié)果的三個要素．

問題6:我們研究了旋轉(zhuǎn)的定義和要素,接下來研究什么呢?

問題7:你能根據(jù)前面學(xué)習(xí)的圖形的平移和翻折的性質(zhì),直接說出圖形旋轉(zhuǎn)的一條性質(zhì)嗎?

問題8:這顯然是從宏觀角度觀察到了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中的不變性,類比圖形的翻折(從微觀角度),接下來我們要研究什么呢?(研究對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的要素間的關(guān)系)

問題9:請同學(xué)們觀察圖4的旋轉(zhuǎn)動畫過程,找出旋轉(zhuǎn)過程中的旋轉(zhuǎn)中心和各組對應(yīng)點(diǎn)．

圖4 圖5 圖6 圖7

問題9-1:當(dāng)我們把一組對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心相連,你有什么發(fā)現(xiàn)?(如圖5,分別將對應(yīng)點(diǎn)M,N和旋轉(zhuǎn)中心O相連)

問題9-2:若我們把圖4中其他組對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心相連,你有類似的發(fā)現(xiàn)嗎?

問題9-3:你還能找到另一組對應(yīng)點(diǎn)嗎?此時你會怎么做,你又有什么發(fā)現(xiàn)呢?(圖6)

問題9-4:通過以上三位同學(xué)的發(fā)現(xiàn),你能猜想出旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)嗎?(圖7)

問題9-5:對于圖形其他的旋轉(zhuǎn)情況,任取一組對應(yīng)點(diǎn),上述性質(zhì)仍然成立嗎?

設(shè)計意圖顯然,圖形旋轉(zhuǎn)前后全等．而旋轉(zhuǎn)的其他性質(zhì),由于前面鋪墊了要研究對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)要素的關(guān)系,我們也能很順暢地把一組對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心連起來,讓學(xué)生進(jìn)行探索,教師通過幾何畫板度量長度和角度的工具進(jìn)一步印證學(xué)生的發(fā)現(xiàn)(對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、兩組對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線形成的角相等)．值得注意的是,課堂上只是選取了三組對應(yīng)點(diǎn),猜想到了旋轉(zhuǎn)的其他兩條性質(zhì)．為了嚴(yán)謹(jǐn),筆者在幾何畫板中對該圖旋轉(zhuǎn)了任意一個角度,也讓學(xué)生通過任取一組對應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心相連,觀察剛剛發(fā)現(xiàn)的兩條猜想是否仍然成立(圖8、圖9),這是把結(jié)論從特殊推廣到一般的十分重要的過程．

圖8

圖9

1.3 學(xué)科融合,彰顯主題

學(xué)生學(xué)完了這三種圖形變換,就可以通過這些變換將單一圖形變得豐富而優(yōu)美．事實(shí)上,生活中的很多設(shè)計都是采用了其中一種或多種圖形變換．例如,當(dāng)我們畫好了一個簡筆畫小鯨魚,對它作翻折變換,可以得到如圖10的圖形．當(dāng)我們改變變換的要素即對稱軸,可以得到如圖11、圖12的不同效果．在旋轉(zhuǎn)變換中,改變旋轉(zhuǎn)的角度,也會有不同的美,如圖13和圖14．

圖10 圖11 圖12

圖13 圖14

在創(chuàng)作階段,鼓勵學(xué)生大膽嘗試．先讓學(xué)生將自己喜歡的單一圖形在普通A4紙上畫好,通過透明紙的復(fù)制功能,很快可以在透明紙上描出一個與之全等的圖形,接著平移或旋轉(zhuǎn)透明紙再復(fù)制A4紙上的基本圖形即在透明紙上實(shí)現(xiàn)了一次平移或旋轉(zhuǎn)變換．而折疊透明紙并直接復(fù)制透明紙上的基本圖形可以實(shí)現(xiàn)一次翻折變換．

這樣的創(chuàng)作活動引導(dǎo)學(xué)生思考圖形變換的各種要素,讓學(xué)生徜徉在設(shè)計的海洋里,感受數(shù)學(xué)帶來的美．

學(xué)生們一一分享自己的創(chuàng)作成果,挖掘形成圖案美的數(shù)學(xué)要素．而在單一變換的基礎(chǔ)上,如果我們混合使用不同的圖形變換,如綜合使用旋轉(zhuǎn)和平移變換,再加以著色,那效果會更加震撼(圖15)．事實(shí)上,這樣的圖案設(shè)計廣泛應(yīng)用于生活中,如果我們細(xì)心觀察周圍,很多布料的紋樣都蘊(yùn)含了這三種圖形變換(圖16)．而在自然界,龍舌蘭葉片的排列、向日葵果實(shí)的排列、高清鏡頭下的雪花,這些都有旋轉(zhuǎn)的要素在其中.在建筑設(shè)計領(lǐng)域,對稱美也比比皆是,如蘇州園林的花窗(圖17)、故宮的建筑群、法國的盧浮宮(圖18),這些都是很好的例子．

圖15 圖16

2 教學(xué)思考

在學(xué)生的創(chuàng)作階段,筆者呈現(xiàn)的是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂,利用透明紙的可復(fù)制性,學(xué)生根據(jù)自己選擇的交換種類多次復(fù)制自己的基本圖形,達(dá)到圖形變換的目的．學(xué)生能感受到圖形變換給單一圖形帶來的美的豐富性．而事實(shí)上,在學(xué)生使用透明紙實(shí)現(xiàn)圖形變換的過程中,難以在變換的要素上有精確的把控,如平移的距離、對稱軸的選擇、旋轉(zhuǎn)的角度等．這些要素如果換成是用幾何畫板來實(shí)現(xiàn),會精準(zhǔn)很多．設(shè)想一下我們的課堂在機(jī)房,學(xué)生先學(xué)習(xí)幾何畫板三種變換的操作流程,在熟練掌握的基礎(chǔ)上再來創(chuàng)造自己喜歡的圖形．在這個過程中,學(xué)生可以不斷調(diào)整變換的要素來達(dá)到美的效果,甚至還可以使用畫圖軟件進(jìn)行著色,運(yùn)用數(shù)學(xué)與藝術(shù)等多種語言形式表達(dá)自己對美的理解．