感性拼圖 理性思考
——一節(jié)數(shù)學實驗探究課的教學與思考

李琳生

(江蘇省南京市第一中學江北新區(qū)分校 211899)

數(shù)學實驗課就是課堂教學中為探求或驗證某個數(shù)學猜想、解決某類數(shù)學問題、獲得某種數(shù)學理論,運用一定的物質(zhì)技術手段,經(jīng)由數(shù)學思維活動的參與,在典型的環(huán)境中或特定的條件下進行的一種數(shù)學實踐活動[1]．

1 教學實踐

本文基于數(shù)學活動課“拼圖·公式”探索研究數(shù)學實驗課的新教學模式:“先做后思,以思助做”．“先做后思”指的是先感性拼圖,在多次嘗試后總結(jié)拼圖經(jīng)驗,理性思考出快速拼圖的方法,從形的角度快速因式分解．“以思助做”指的是繼續(xù)探索從數(shù)的角度如何快速因式分解,并以此助力快速拼圖．

實驗課流程結(jié)構(gòu)如圖1:

1.1 活動準備,視角鋪墊

1.1.1 活動鋪墊

前測寫出下列圖形(圖2)能夠驗證的等式:

圖2

設計意圖學生會寫出兩類恒等式:(1)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd和(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)ac+ad+bc+bd=(a+b)(c+d)和a2+2ab+b2=(a+b)2．課前完成課堂展示,并分析出現(xiàn)兩類答案的理由,第(1)類是先看整體再看局部,第(2)類是先看局部再看整體.看圖的角度不一樣,得到的恒等式的順序也不一樣,為后面感悟整式乘法與因式分解的意義做鋪墊．

1.1.2 活動材料

如圖3所示的長方形和正方形紙片若干:A型、B型和C型．

圖3

1.2 感性拼圖,感悟本質(zhì)

1.2.1 拼圖與整式乘法

活動1 如果要拼成一個長為(a+2b)、寬為(a+b)的大長方形,需要A型紙片張, B型紙片張,C型紙片張．

設計意圖憑感覺拼圖學生會出現(xiàn)很多拼法．就不同拼法提問,所有拼成的圖有一個共性,即需要A、B、C三種類型紙片的張數(shù)是定值．進而從數(shù)的角度思考為什么是定值,因為(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．活動1旨在從形的角度感悟整式乘法本質(zhì)是一個整體到局部(積化和)的過程．

1.2.2 拼圖與因式分解

活動2 給定1張A型紙片,4張B型紙片,3張C型紙片,若能拼成一個新的長方形,則長方形的長為,寬為.

設計意圖學生以感性拼圖仍然會出現(xiàn)很多拼法,不同拼法的共性是拼成的大長方形的長和寬是定值．基于活動1的經(jīng)驗及拼圖中面積不變得到a2+4ab+3b2=(a+b)(a+3b)這樣一個恒等式．活動2旨在從形的角度感悟因式分解本質(zhì)是一個局部到整體(和化積)的過程．

1.3 理性思考,以形助數(shù)

1.3.1 對比拼法 總結(jié)方法

對比展示幾種不同拼法,如圖4,引導學生思考哪種拼法更好,能夠快速拼圖．

圖4

設計意圖學生的直觀感受是圖4中的第一幅拼圖更好、更整齊．引導學生思考并總結(jié):按照一定順序拼圖可以高效快速拼圖,如圖5,可將平面分成四個區(qū)域,先在A區(qū)將A型紙片定好,因為A型和B型紙片有公共邊,所以接著在左下角和右上角的B區(qū)將B型紙片與A型紙片貼合,最后在C區(qū)補上C型紙片,即可快速高效完成拼圖．這也滲透了分類思想．

圖5

1.3.2 由數(shù)想形 以形助數(shù)

活動3 基于以上活動經(jīng)驗,分解因式: 2a2+5ab+2b2．

設計意圖基于活動經(jīng)驗及拼圖方法的總結(jié),學生再看2a2+5ab+2b2這個多項式時會由數(shù)想形取2張A型,5張B型和2張C型去拼成一個大長方形,如圖6,由圖得2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b)．

圖6

1.4 總結(jié)歸納,以數(shù)輔形

1.4.1 總結(jié)歸納 從特殊到一般

活動4 選取1到6之間的任意整數(shù)填在橫線上:a2+ab+b2,并嘗試對這個多項式分解因式．

設計意圖活動4旨在讓學生在拼圖中體會關于a,b的二次三項式的系數(shù)需要滿足一定的關系才能因式分解．進而引發(fā)思考:滿足什么關系?先采用控制變量法將a2的系數(shù)定為1,對應在A區(qū)取1張A型紙片擺放,接下來考慮ab和b2兩項系數(shù)的關系．基于拼圖,如圖7,引導學生畫圖思考得出ab的系數(shù)是兩個B區(qū)紙片的個數(shù)之和,b2的系數(shù)恰是這兩數(shù)之積．總結(jié)得a2+(m+n)ab+mnb2=(a+mb)(a+nb)．

圖7

1.4.2 利用公式 以數(shù)輔形

活動5 計算:(x+2)(x+3)=;(x+m)(x+n)=．

分解因式:x2+7x+12=;x2+(m+n)x+mn=.

設計意圖活動3是利用拼圖,從形的角度快速分解因式,基于活動4總結(jié)的規(guī)律,在活動5中利用公式a2+(m+n)ab+mnb2=(a+mb)(a+nb)從數(shù)的角度快速分解因式．基于活動1和活動2的感悟,整式乘法和因式分解是一個互逆的過程,從而得出(a+mb)(a+nb)=a2+(m+n)ab+mnb2,利用這個公式也可快速進行整式乘法的運算．當學生能夠利用公式快速因式分解后即可快速將多項式的和轉(zhuǎn)化成積的形式,從而得到大長方形的長和寬,進而以數(shù)輔形,快速拼圖．

2 教學思考

初中數(shù)學實驗是學生通過動手動腦,以“做”為支架的活動方式,是在教師引導下,學生運用有關工具,通過實際操作,在認知與非認知因素參與下進行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論、理解數(shù)學知識、驗證數(shù)學結(jié)論的思維活動[2]．

這節(jié)課的設計旨在探索數(shù)學實驗課的新教學模式:“先做后思,以思助做”．先感性地“做”,再理性地“思”,最后將得到的一般性結(jié)論應用到“做”中,在探索中經(jīng)歷“是什么—為什么—怎么做”這樣一個認識問題的邏輯思維過程．

新課標倡導培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)．數(shù)學實驗課使學生動手動腦,從做數(shù)學再到思數(shù)學,發(fā)展核心素養(yǎng)．在“前測”中,以不同的視角得到不同的公式,培養(yǎng)學生的幾何直觀．活動1與活動2使學生分別從數(shù)和形兩個角度感悟整式乘法與因式分解的意義,培養(yǎng)抽象能力．關于分區(qū)快速拼圖方法的思考培養(yǎng)學生的模型觀念．活動3和活動5應用拼圖快速因式分解培養(yǎng)學生的應用意識．活動4從特殊到一般,從數(shù)的角度思考能夠因式分解的二次三項式的系數(shù)的關系,培養(yǎng)學生的推理能力和創(chuàng)新意識．

值得注意的是,數(shù)學實驗在數(shù)學的研究中不是一種主流方法,因為數(shù)學真理的確定性依賴論證[2]．比如在“拼圖·公式”這節(jié)實驗課的最后需要給學生強調(diào)a,b只能取正數(shù),也就是說拼圖可以幫助我們思考探索新知,但只能算是合情推理,而不是演繹推理,是驗證而不是證明．在“拼圖·公式”這節(jié)關于形的活動課后可以繼續(xù)“十字相乘法因式分解”的教學,從數(shù)的角度嚴格證明a2+(m+n)ab+mnb2=(a+mb)(a+nb)這個公式對任何數(shù)a,b都成立．但是從教育的角度看,把數(shù)學實驗作為一種教學方法引入課堂,具有獨特的教育功能和價值[2]．有了這節(jié)活動課的鋪墊,學生可以更形象地理解為什么十字相乘法因式分解中“畫十字”是交叉的,如圖8,因為每一個區(qū)域的長方形都是縱橫相乘得到,最后把局部面積相加得整體．從數(shù)的角度,整式乘法是用一個括號里的每一項乘另一個括號的每一項,再把所得積相加．這些都解釋了十字相乘中湊中間項時為什么是“交叉相乘再相加”．

圖8