基于整體設計的單元起始課
——以“整式的乘除”單元為例*

劉春江

(浙江省杭州市文海中學 310018)

數(shù)學教材因為考慮學生的年齡、認知特點等因素,會依據(jù)課程標準采取螺旋上升的編排方式,將同一主題的知識編排到不同年級.這一處理方式易使學生缺少對相關數(shù)學內容的系統(tǒng)思考,教師也不易將相關數(shù)學內容的關系結構及來龍去脈開發(fā)為有效的教學資源.因此,根據(jù)學生實際情況,對教材內容進行合理化的整合是一線教師繞不開的一個任務.好的開始是成功的一半,在對單元進行結構化整合后,教師必然要聚焦整個單元的起始課進行教學設計,借以發(fā)揮單元起始課對后續(xù)學習的先行組織者作用.本文對“整式的乘除”單元起始課進行基于整體設計的嘗試.

1 內容分析

1.1 對比教材劃定單元結構

在深入研讀《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《2022課標》)的基礎上,明確各版本教材的共同點和差異點,深入分析內在原因,這對設計教學具有重要的指導作用.對比人教版、北師大版、華師大版和浙教版“整式的乘除”“因式分解”以及“分式”等內容的編排位置,整理成表1.

與人教版教材相比,各版教材的編排順序差異不大,不同點主要在于冪的除法運算部分.其中人教版教材將“冪的除法”放在整式的乘法之后,乘法公式之前,這樣的編排按照“冪乘-式乘-冪除-特殊乘”的順序,學生不易體會冪的除法運算的意義;北師大版和華師大版均將冪的除法設置在冪的乘法運算之后,然后再進行整式的乘法,這樣的編排按照“冪乘-冪除-式乘-式除”的順序,可以表述為“按運算對象劃分子單元”,能發(fā)揮冪乘與冪除對后續(xù)式乘和式除的先行組織者作用;浙教版教材則是先將乘法運算完整的邏輯鏈條呈現(xiàn):同底數(shù)冪的乘法-冪的乘方-積的乘方-整式的乘法-乘法公式-整式的化簡,再進入整式的除法運算邏輯:同底數(shù)冪的除法-整式的除法,這樣的編排邏輯可以表述為“按運算類別劃分子單元”,以冪乘為根基,研究式乘時可以化歸為冪乘,再以冪乘-式乘為先行組織者,使得研究式除的邏輯路徑不需要教師傳授,學生可以自行仿照式乘進行．浙教版這樣的順序既賦予了化歸的依據(jù)又賦予了路徑的參照,因此本文選擇浙教版教材的路徑進行單元架構(圖1)．

圖1 “整式的乘除”單元結構圖

1.2 借助模型設定單元起始課學習目標

單元起始課的學習目標是學生通過學習后要達到的預期結果,是中觀層面上的學習目標,是落實課程目標的基本單位.借助KUD模型對本單元起始課進行目標設計,使用概念性視角建設“冪的運算”子單元作為單元起始課來激發(fā)學生思維,并在處理“冪的運算法則”事實性知識的同時能達到“法則的推理論證”,引發(fā)學生協(xié)同思考,獲得概念性理解,提高學習熱情．為了使學生形成“猜想與論證相適應”的觀點,將概念或觀點與現(xiàn)實情境問題聯(lián)系起來,實現(xiàn)更高層次的認知.本子單元的目標設計如表2．

表2 KUD模式的單元起始課學習目標

2 教學實施

單元起始課的設計邏輯采用從整體出發(fā),逐漸分化,從運算實踐出發(fā),經歷算法,歸納算理．具體操作為從整式四則運算的整體結構出發(fā),引導學生從宏觀架構到微觀實踐,自主將研究的問題具體化,通過運算實踐尋找整式乘除的邏輯脈絡,進而構建整體研究的思路,實現(xiàn)自主確定“先行組織者”策略,再按照知識的邏輯順序逐步展開學習．這一設計的核心教學功能是從“概念+運算”的視角確定研究路徑,建構數(shù)學學習的路徑.選取教學實施各任務的核心活動呈現(xiàn)如下:

任務1知識回顧明算理

問題1 我們已經學習了哪些整式及其運算的知識?

追問1 整式加減運算的步驟如何?其實質是什么?依據(jù)是什么?

師生活動 學生回顧單項式及其次數(shù)、多項式及其次數(shù)、整式等概念,用自己寫的整式進行加減運算;在正確運算后回顧運算程序——算法,并指出整式的加減運算實質是合并同類項,并進一步指出由于整式中的字母代表數(shù),故運算的依據(jù)是加法的交換律和結合律——算理．

設計意圖快速確定研究對象,回顧已學知識的內容及學習要求,即做到懂算法、明算理、理解數(shù)式通性,為后續(xù)學習提供支持.

任務2自主命題構路徑

問題2 類比數(shù)的運算,你認為接下來可以研究整式的什么運算?

追問1 你能運用a,b,c,1,2,3這幾個元素構造兩個整式進行乘除運算嗎?

追問2 (小組合作)能把大家寫的兩個整式的運算式進行分類嗎?

追問3 觀察這些算式,你能描述其中的關系并計劃研究的路徑嗎?

師生活動 學生獨立構造整式的乘除運算,再通過小組合作,將大家構造出的整式乘除算式分類,并歸納出整式的乘法包括單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式;類似的,整式的除法包括單項式除單項式、單項式除多項式、多項式除多項式．

首先發(fā)現(xiàn),整式的乘法運算仍是整式,而整式的除法運算可能會產生分式.對于多項式的乘法運算,可以利用分配律轉化為單項式的乘積之和,再利用乘法交換律、結合律進行單項式乘單項式,而單項式的乘法運算中有一個特殊的情況是兩個單項式都含有相同的唯一一個字母,即冪的乘法運算.因此研究路徑可以定為“冪的運算-單項式的運算-多項式的運算”．

設計意圖從整體上勾勒了本單元要研究的主要問題,讓學生初步建構本單元的知識結構．從系統(tǒng)的角度設計基于數(shù)學事實的教學情境,落實單元起始課的一項主要目標．這樣的設計具有整體連貫性,便于學生系統(tǒng)了解知識之間的聯(lián)系,知道新知識從哪里來,將要到哪里去,同時還不失時機地應用了分類的數(shù)學思想,也為繼續(xù)深入研究做好了化歸思想的滲透,在學習知識的同時發(fā)展學生思維能力,豐富學生探究運算封閉性的活動經驗．

任務3聚焦起始再細分

問題3 整式的乘法以單項式乘單項式為基礎,又聚焦到冪的乘法運算.你能從冪的構成要素角度繼續(xù)對冪的乘法運算進行分類嗎?

追問1 能舉例說明如何進行同底數(shù)冪的乘法運算嗎?

追問2 能從冪的概念角度證明運算法則嗎?

師生活動 學生獨立思考冪的要素包含底數(shù)和指數(shù),因此冪的運算應包含同底數(shù)冪的乘法、底數(shù)和指數(shù)都相同的乘法、同指數(shù)的冪的乘法等幾類.教師引導學生聚焦到同底數(shù)冪的乘法運算,再由學生獨立根據(jù)冪指數(shù)形式的數(shù)字乘法運算猜想同底數(shù)冪的乘法法則,最后由教師引導學生將冪還原成相同字母乘積的形式,運用定義證明法則．

設計意圖對冪進行要素分析,并基于要素設計研究類別,積累分類及研究經驗,完整建構單元起始課的主要研究內容;通過數(shù)的運算猜測法則并用回歸定義的方式證明法則,為后續(xù)的起始課內容研究做好先行組織者工作,使學生既能熟練使用算法又能明白算理,強化代數(shù)推理的能力．

任務4積累經驗特殊化

問題4 對于同底數(shù)冪的乘法運算法則,你能設計研究思路嗎?

追問1 通過特殊的數(shù)字形式的運算發(fā)現(xiàn)的規(guī)律一定可靠嗎?

追問2 目前我們有什么工具可以證明同底數(shù)冪的乘法法則?

師生活動 學生獨立思考,嘗試用數(shù)字冪運算發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪的乘法,教師引導學生回歸冪的定義對運算法則進行證明．

設計意圖積累特例是重要的數(shù)學研究經驗,引導學生體會數(shù)學中研究特例的意義:特殊性之中蘊含著一般性及規(guī)律性,在從特例的性質推廣到一般性質的深化過程中體會通過特殊化、分類等方法解決問題的思路,進一步積累代數(shù)推理的經驗．在法則證明環(huán)節(jié)引導學生思維“溯洄從之”尋找依據(jù),發(fā)現(xiàn)此處只能回歸冪的概念,為后續(xù)化歸思想做鋪墊．

任務5延續(xù)路徑再探究

問題5 能猜想同指數(shù)的冪——積的乘方運算法則并論證法則嗎?

追問1 延續(xù)路徑,你有什么困惑與好奇之處嗎?

追問2 能對子單元進行復盤,回顧所學知識與學習路徑嗎?

師生活動 學生獨立對同指數(shù)的冪——積的乘方進行算法探究與算法論證;引導學生繼續(xù)對底數(shù)與指數(shù)均不同的冪的運算進行簡單探究,最后由教師引導學生對冪的運算子單元進行回顧整理．

設計意圖延續(xù)冪的要素分析與運算探究,如果僅停留在特殊情況,學生仍是被教師、教材牽著鼻子走,屬于被動的學習.引導學生繼續(xù)對底數(shù)與指數(shù)均不同的冪乘運算進行探究,將知識點置于知識系統(tǒng)中,使學生真正地實現(xiàn)見樹木更見森林的狀態(tài),提升自主探究的能力．

3 教學說明

3.1 整體設計重組教學單元

新課標指出,數(shù)學教材為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索,是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源[1]．比較各版本教材,根據(jù)具體學情對教材進行重組,在單元的內容關聯(lián)與結構、內容組織與呈現(xiàn)等方面著力進行重組以實現(xiàn)目標．單元內容組織時要特別注重來龍去脈,使教師的引導有邏輯、學生的興趣被激發(fā)、學生的探索有方向,從而形成有利于引發(fā)學生思考、體現(xiàn)核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求的教學任務．在對單元進行加工后發(fā)現(xiàn),本單元冪的幾種運算法則在探究過程、思想方法等方面具有緊密的內在聯(lián)系:法則的探究方法均為由特殊到一般,算理均需回歸冪的概念,過程均為法則得出后進行相關的應用.基于這些一致性,把冪的運算整合為一個學習子單元,并確定為單元的起始課．分步實施確定為:第1課時引導學生猜想、驗證完成同底數(shù)冪的乘法法則探究,形成初步的研究路徑;第2、第3課時延續(xù)路徑,引導學生猜想、驗證完成冪的乘方及積的乘方法則探究,積累特殊化、要素化的經驗,如此既突出整個單元的整體性,又在單元起始課的學習中積累學習方法和研究路徑．

3.2 先行組織發(fā)揮起始課作用

“冪的乘法運算”是整式乘法的邏輯起點,是該單元的起始課,是單元學習的開始,承載著單元知識以及學習方法、研究路徑的引領作用．在教學中應該讓學生理解研究對象得出的必要性和重要性、從哪些方面進行研究、研究的路徑和方法是什么等,從而讓學生明確學習目的,激發(fā)學習興趣,增強主動學習的意識.基于這一教學設計對教材進行創(chuàng)造性加工和跨越式整合.依據(jù)美國教育心理學家奧蘇貝爾“先行組織者”理論,在單元起始課中設計冪的乘法運算為先于學習材料的一個引導性材料,遵循“由特殊到一般的探究過程得到法則,用冪的定義證明法則,然后運用法則進行運算”的學習過程.研究路徑和方法相同,研究對象指向了冪的要素——底數(shù)和指數(shù),第一課時研究同底數(shù)冪的乘法,第二課時研究特例,即底數(shù)和指數(shù)都相同的冪的乘法——冪的乘方,第三節(jié)課則研究底數(shù)不同而指數(shù)相同的情況.教學中還可以根據(jù)學生實際理解情況酌情補充一些底數(shù)和指數(shù)均不相同的冪的運算問題進行思維拓展．以此邏輯構建新舊知識發(fā)生聯(lián)系的橋梁,以便建立有意義學習的心向,讓學生在后續(xù)全章內容的學習中,能站在整體的高度上俯視將要學習的知識,知其然及所以然,更知何由以知其所以然.充分發(fā)揮單元起始課教學的先行組織者作用,更好地促進學生的知識結構化,發(fā)展學生的數(shù)學能力,落實數(shù)學核心素養(yǎng).

3.3 自主探究創(chuàng)建知識建構

作為單元起始課,既要為單元學習構建“先行組織者”,使學生明確單元的學習主線,又要讓學生掌握“冪的乘法法則”．建構主義指出,學習是主體在現(xiàn)實的特定操作過程中對自己的活動過程的性質做反省、抽象而產生的.教學中要落實好知識的發(fā)生發(fā)展過程的建構,加強代數(shù)研究方法的積累,做到潛移默化地從數(shù)學的角度認識問題和解決問題.引導學生通過自主的活動完成對冪運算幾種法則的完整探究,再根據(jù)不同法則之間的探究一致性舉一反三,實現(xiàn)用做數(shù)學的方式學習數(shù)學,突出了數(shù)學思想方法,這是一種以學生為主體,以學生自主、探究、合作為基礎的學習方式．為了讓學生經歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的完整過程,在冪的運算法則的探究過程中,教師可以通過呈現(xiàn)豐富的問題情境,引導學生自主發(fā)現(xiàn)和提出、分析、解決問題,經歷問題解決全過程.

3.4 素養(yǎng)立意發(fā)展代數(shù)推理

數(shù)學教育家波利亞曾指出:數(shù)學家的創(chuàng)造性工作的結果是論證推理,是一個證明,但證明是由合情推理,是由猜想來發(fā)現(xiàn)的[2]．由此可以發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力是數(shù)學教學的重要目標.《2022課標》在內容要求上也明確加強了代數(shù)推理.因此有必要在適當?shù)膯卧訌妼Υ鷶?shù)推理的研究與實施．猜想和論證作為代數(shù)推理的一種典型形式,由猜想到證明,由特殊到一般,從歸納推理到演繹推理,由發(fā)現(xiàn)到論證,逐步提升學生的推理能力．本單元起始課即通過整體的、系列的、一致的猜想-論證活動,逐步提升學生的發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析并解決問題的能力,進而提高推理能力,提升核心素養(yǎng)水平．