八年級學生幾何直觀素養培育的實踐與探索*

劉 佳

(江蘇省宿遷市蘇州外國語學校 223814)

幾何直觀素養是學生必備的一種數學素養,是一種內在的思維品質．《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出:“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣．”[1]8對于復雜的數學問題可以通過幾何直觀使問題變得簡單、清晰,能夠獲得解決問題的新思路．本文立足于課堂教學實踐,通過案例探討提升學生幾何直觀素養的途徑．

1 學情分析與教材分析

1.1 學情分析

八年級是義務教育初中階段承上啟下的一個學年,此階段容易出現學生數學學業成績分化的現象．在教學過程中發現學生的現狀如下:(1)已掌握構成圖形的基本元素,三角形、四邊形等基礎圖形要進一步學習;(2)學生有一定的自主作圖能力,對于較復雜的圖形,有待提升;(3)識別模型一直是學生較為缺失的素養,大部分學生的模型思想意識較為薄弱,不能夠找出基本模型;(4)學生的數形結合能力,尤其是以形解數的能力還需要強化．

1.2 教材分析

蘇科版八年級數學共12章,其中有3章涉及“圖形與幾何”,包括:全等三角形、軸對稱圖形及中心對稱圖形——平行四邊形,這些內容是學生學習幾何的基礎．還有兩個重要的“模型”——一次函數及反比例函數、數與形完美結合的勾股定理,它們是培育學生幾何直觀素養極其重要的內容．

教師在傳授知識的同時,應關注學生核心素養的培養,通過精心設計課堂教學,讓學生學會學習、學會思考,把幾何直觀素養的培育融入到課堂教學中．

2 幾何直觀素養的培育途徑

按照八年級所學知識劃分,“數與代數”(實數、二次根式、分式以及一次函數、反比例函數)、“圖形與幾何”(全等三角形、軸對稱圖形、勾股定理以及中心對稱圖形——平行四邊形)等,培養途徑為感知圖形、自主畫圖、構圖分析、數形結合．

2.1 熟悉基本圖形——培養學生幾何直觀感知能力

幾何的研究對象是圖形,幾何直觀就是利用圖形的這些特點去探究、描述、分析和洞察事物或問題的結構與關聯,感悟事物的本質[2]．讓學生熟悉并熟練掌握基本圖形是培養學生幾何直觀素養的首要目標．

《課標2022》指出:初中階段圖形與幾何,學生將進一步學習點、線、面、角、三角形、多邊形和圓等幾何圖形,從演繹證明、運動變化、量化分析三個方面研究這些圖形的基本性質和相互關系．[1]63與小學階段相比,初中對圖形的研究更重視圖形的基本性質和相互關系．八年級這一階段,學生重點研究的是三角形、平行四邊形等基本圖形,在學習過程中要求學生具備直接感知圖形的能力,為以后的學習及在復雜圖形中尋找基本圖形打下基礎．

案例1等腰三角形的教學設計.

蘇科版數學八年級上冊第2章《軸對稱圖形》 “2.5 等腰三角形的軸對稱性”,本節課的首要教學目標為經歷探索等腰三角形的軸對稱性的過程,進一步體驗軸對稱的特性,培養幾何直觀能力．教學設計如下:

環節1 知識儲備——回顧基礎圖形

如圖1,請說出△ABC的邊、角之間的關系．如圖2,請說出△ABC的邊、角之間的關系．

圖1 圖2

設計意圖從熟悉的“形”的基本元素入手,讓學生熟悉我們要研究圖形就是研究圖形的基本元素．小學時已經學習了簡單的等腰三角形,學生通過知識回顧,看基本圖形,為后面的學習打下基礎．

環節2 動手操作——熟悉基礎圖形

問題1 如何說明你手中的三角形(紙片)是等腰三角形?

問題2 通過操作,你發現等腰三角形具有哪些性質?

設計意圖等腰三角形的軸對稱性,即“等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合”這一性質,學生理解起來較為困難．學生動手操作折紙,使等腰三角形的性質得到具體、形象的呈現,有利于學生加深對圖形的理解,熟悉基本圖形．在課堂教學過程中,學生沿角平分線AD翻折探究性質,運用圖形運動的方法表達結論,相互交流補充,有利于培養幾何直觀素養．

環節3 尺規作圖

如表1,利用尺規作出基本圖形,學生在討論作圖的方法和作圖的依據的過程中充分理解等腰三角形的性質,熟練掌握基本圖形．

表1 尺規作圖

平行四邊形的研究方式與等腰三角形相同,通過折紙、剪拼、尺規作圖等操作活動,充分理解操作過程中的幾何原理,直觀感知圖形的變化,通過對特殊三角形、特殊四邊形的深入研究,不斷積累基本知識,同時進一步發展熟練感知圖形的能力,為幾何直觀素養的培育建立圖形基礎．

2.2 自主畫圖——培養學生幾何直觀操作能力

波利亞指出:畫在紙上的圖形易畫、易看、易記．通過使用一些適當的幾何表示,我們試圖將一切都用圖形語言來表達,將所有類型的題目都歸結為幾何題[3]．在平時解題過程中重視自主畫圖教學,自主畫圖能夠有效提高學生操作能力,培養學生幾何直觀素養．培育幾何直觀素養需要注重圖形的生成過程,讓學生自主畫圖,將圖形重新生成,通過畫圖,將幾何直觀轉化為形象思維,提供解決問題的思路．直接讓學生觀察圖形或許會節省教學過程的很多時間,但當學生滿足于條件所提供的圖形而不習慣自主畫圖時,就不易發現解決問題的方法．

《課標2022》要求“理解和掌握尺規作圖的基本原理和方法”[1]63．八年級的基本尺規作圖包括:已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形以及已知一直角邊和斜邊作直角三角形．其他作圖都是在基本作圖的基礎上復合作圖．

案例2尺規作圖.

蘇科版數學八年級上有一道習題[4]:

如圖3,已知△ABC,用直尺和圓規按下列要求作圖:作△BAC的角平分線AD;作∠CBE=∠ADC,BE交CA的延長線于點E;作AF⊥BE,垂足為F．

圖3

本題學生錯誤率較高,原因為這是一道復合作圖題．第一步作出∠BAC的角平分線AD;第二步“作一個角等于已知角”,即∠CBE=∠ADC;第三步完成“經過直線外一點作已知直線的垂線”,即AF⊥BE．對于復合作圖題,學生首先需要厘清畫圖的基本要求,并能分析出作圖順序,從而畫出符合要求的圖形．尺規作圖是學生畫出標準圖形的依據,學生要熟練掌握五種基本作圖,在平時的學習中,要善于將復合圖形分解為基本圖形,以便提升畫圖能力,培養幾何直觀素養．

幾何直觀發展階段為:看懂基本圖形→能畫基本圖形→由文字、符號或實物畫出基本圖形→從基本圖形中識別基本元素及其關系→從綜合圖形中分解基本圖形,進行邏輯分析．在平時的教學過程中,應幫助學生養成自主畫圖的習慣,在畫圖的過程中培養學生的幾何直觀素養．

2.3 構圖分析——培養學生幾何直觀建模能力

畫圖本身就是一種幾何直觀,而“畫圖—建模”則是對象識別與建立的通用技術,有助于幾何直觀素養層級的提升與轉化,是學生直觀理解概念的思維抓手[5]．學生在解決幾何問題時,不僅需要掌握基本圖形及其性質,還需要能從復雜圖形中分離出基本圖形,并運用所學基本圖形構造模型,以達到解決問題的目的．

案例3蘇科版數學八年級下冊習題1[6]:

已知:如圖4,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且AC=BD,E,F分別是AB,CD的中點,EF分別交BD,AC于點G,H．求證:OG=OH．

圖4 圖5

學生思路 看到E,F分別是AB,CD中點時,直觀感覺是中位線模型,在審題的過程中,初步判斷應該作中位線更加簡潔．分別取BC,AD的中點,發現圖形過于混亂,于是進行了改動,只取了BC邊上的中點M,并連接EM與FM,利用中位線的知識完成證明(圖5)．

案例4蘇科版數學八年級下冊習題2[6]:

在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=8．將矩形紙片折疊,使點B與點D重合(圖6),求折痕GH的長．

圖6

學生思路1

如圖7所示．

圖7

學生思路2 連接BD交GH于點O,因為B,D是對稱點,依據“對稱點的連線被對稱軸垂直平分(垂直平分線模型)”,構造直角三角形求出OH的長度,進而求出GH的長(圖8)．

圖8

著名的代數幾何學家上野健爾在《何為好數學》一文中談到:“初等幾何對于訓練正確的邏輯思維非常重要．但是,初等幾何往往使人頭疼,因為解題并不容易．你經常不得不作輔助線,一旦找到恰當的輔助線,問題便會迎刃而解．這會讓你享受發現的快樂．”[7]輔助線的添加能夠起到呈現基本圖形、生成圖形等作用,讓學生厘清構圖原理及其作用,通過熟悉的模型完成構圖分析,有效培養幾何直觀素養．

2.4 數形結合——培養學生幾何直觀融通能力

案例5反比例函數的學習.

這一類題目屬于函數增減性的應用,利用增減來解決不等式類問題,可以減少錯誤率．

這一題學生難以快速解決,可以將問題轉化為幾何圖形,讓學生自主合作交流,在畫圖過程中主動探索,去直觀感受面積的不變性:△OQM始終是直角三角形,其面積在動點Q變化的過程中不會發生改變．從特殊到一般,讓學生體會|k|的幾何意義．

學生在遇到問題時,很少會從“形”的角度去思考,學生沒有體會到直觀的幾何圖形會給理解問題、尋求答案提供新的思路．

3 結語

“會用數學的眼光觀察現實世界”是《課標2022》提出的核心素養構成之一[1]5．幾何直觀作為數學眼光主要表現方式,從認知層面來看,通過熟練掌握基本圖形,完善基本圖形的概念及性質,提高幾何直觀感知能力．從實踐層面來看,通過自主畫圖,建構基本圖形與復合圖形的關系,能夠在畫圖建模的過程中感受復雜圖形的構成,提高幾何直觀操作能力．從思想方法層面來看,通過數形結合,感受圖形直觀在解題過程中的便利,培養幾何直觀融通能力．從心理學層面來看,通過培養幾何直觀素養,引導學生可以用圖形思考,把握問題的本質,增強解決問題的信心．