中國(guó)傳統(tǒng)思維中的整體性思想:出入相補(bǔ)

張維忠 邵諾愉

(浙江師范大學(xué)教育學(xué)院 321004)

談到幾何,我們往往只知道歐氏幾何,這是一套邏輯演繹形式的系統(tǒng),標(biāo)志著公理化方法的誕生．與歐氏幾何體系不同,我國(guó)古代數(shù)學(xué)沒(méi)有形成像《幾何原本》那樣的公理化體系,而是更強(qiáng)調(diào)機(jī)械化的程序算法,并形成了風(fēng)格獨(dú)特的另一套幾何體系．我國(guó)古代幾何學(xué)的特色之一,就是在經(jīng)驗(yàn)成果的基礎(chǔ)上,抽象概括出解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法和原理,并將它應(yīng)用到各種問(wèn)題上．出入相補(bǔ)原理就是中國(guó)古代幾何學(xué)中最基本的一條原理．

1 什么是出入相補(bǔ)原理

1.1 出入相補(bǔ)思想的萌芽:《詳解九章算法》

首先,我們來(lái)思考一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題．如圖1,設(shè)點(diǎn)F是矩形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作一組鄰邊的平行線EH,GJ,直線EH分別與邊AB,CD交于點(diǎn)E,H,直線GJ分別與邊BC,AD交于點(diǎn)G,J,那么你能在這個(gè)圖形中找到哪些線段的比例關(guān)系呢?你采用的是什么方法呢?

圖1

楊輝并沒(méi)有用到“三角形的相似性”的知識(shí),但得到了相同的線段比例關(guān)系的結(jié)論,從中能夠看到古代中西方幾何學(xué)方法上的差異性．由于在這個(gè)問(wèn)題中出現(xiàn)的兩個(gè)矩形一個(gè)橫著、一個(gè)豎著,故稱此為“容直容橫原理”．在容直容橫原理中,最關(guān)鍵的是要抓住兩個(gè)矩形面積相等,而如何解釋這個(gè)相等關(guān)系,這其中就蘊(yùn)含了出入相補(bǔ)原理．

1.2 出入相補(bǔ)原理的發(fā)生與發(fā)展

“臣聞昔湯、武以百里昌,桀、紂以天下亡．今楚國(guó)雖小,絕長(zhǎng)續(xù)短,猶以數(shù)千里,豈特百里哉?”這是《戰(zhàn)國(guó)策·楚策四》中莊辛對(duì)楚襄王的規(guī)勸．莊辛說(shuō):“現(xiàn)在楚國(guó)雖小,但是截長(zhǎng)補(bǔ)短,算來(lái)也還有數(shù)千里,哪里只是百里土地呢?”莊辛是怎樣計(jì)算楚國(guó)的國(guó)土面積的呢?不難看出,莊辛采用了“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法．許多先秦文獻(xiàn)中都有諸如此類的一種思想:各部分的量發(fā)生了變化而總量不變．例如,《老子》中的“損有余而補(bǔ)不足”“損不足以奉有余”,有余者和不足者在經(jīng)過(guò)損和補(bǔ)之后,各自的量發(fā)生了變化,但二者之和仍然不變;《禮記·王制》中的“凡四海之內(nèi),斷長(zhǎng)補(bǔ)短,方三千里”;《戰(zhàn)國(guó)策·秦策一》中的“今秦地形,斷長(zhǎng)續(xù)短,方數(shù)千里”;等等．可見(jiàn)這一思想廣泛地存在于一般諸子的說(shuō)辭之中．這充分說(shuō)明:先秦諸子具有認(rèn)識(shí)和應(yīng)用出入相補(bǔ)原理的思維背景．只是在當(dāng)時(shí),它并沒(méi)有被提煉概括為一條一般原理[2]．

魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在注《九章算術(shù)》勾股術(shù)時(shí)曾說(shuō):“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補(bǔ),各從其類,因就其余不移動(dòng)也,合成弦方之冪,開方除之,即弦也．”這就是出入相補(bǔ)原理中“出入相補(bǔ)”四個(gè)字的由來(lái)[2]．當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家吳文俊將出入相補(bǔ)原理用現(xiàn)代語(yǔ)言概括為“一個(gè)平面圖形由一處移置他處,面積不變．又若把圖形分割成若干塊,那么各部分面積和等于原來(lái)圖形的面積,因而圖形移置前后各個(gè)面積的和、差有簡(jiǎn)單的相等關(guān)系,立體的情形也是這樣”[3]．這一原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家依據(jù)面積、體積、測(cè)量這些方面的經(jīng)驗(yàn)成果,總結(jié)提煉成的一般性原理,對(duì)這一原理的認(rèn)識(shí)并不需要高超的推理技巧,一個(gè)平面圖形或立體圖形在移動(dòng)或重組前后的面積或體積相等,這個(gè)道理是不言而喻的．盡管如此,依靠這條簡(jiǎn)明的原理就建立了我國(guó)古代平面多邊形面積理論．同時(shí),它還與另外兩條“簡(jiǎn)明原理”——?jiǎng)⒒赵?、祖暅原?共同建立了我國(guó)古代整個(gè)多面體體積理論,形成了不同于西方的一套獨(dú)特的、富有生命力的幾何體系．

2 出入相補(bǔ)原理的古今應(yīng)用

2.1 出入相補(bǔ)原理與平面多邊形面積理論

回顧平面多邊形面積公式的學(xué)習(xí)歷程,我們最早接觸的面積公式是正方形、長(zhǎng)方形的面積公式,因?yàn)榉叫问撬衅矫鎺缀螆D形中最簡(jiǎn)單、最基本的圖形．中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》也最先在方田章給出方田(長(zhǎng)方形)的面積公式,即長(zhǎng)乘寬,隨后有了圭田(等腰三角形)、邪田(直角梯形)、箕田(等腰梯形)等其他平面幾何圖形的面積公式,但均沒(méi)有論證．劉徽在注《九章算術(shù)》時(shí),將長(zhǎng)方形作為基本圖形,然后采用出入相補(bǔ)原理對(duì)其他平面幾何圖形的面積公式進(jìn)行了論證．

圖2

圖3

對(duì)于箕田(等腰梯形),《九章算術(shù)》箕田術(shù)曰:“并踵、舌而半之,以乘正從．”“踵”指箕田的短底邊,“舌”指箕田的長(zhǎng)底邊,箕田的面積為長(zhǎng)短底邊之和取半乘高．劉徽注術(shù)曰:“中分箕田則為兩邪田,故其術(shù)相似．又可并踵、舌,半正從,以乘之．”將箕田分割成兩個(gè)邪田,就可用邪田術(shù)求其面積,或者求長(zhǎng)短底邊之和取半乘高．劉徽所注的兩種方法均可用出入相補(bǔ)原理,如圖4(1)和 圖4(2)所示．

圖4

劉徽在長(zhǎng)方形面積公式的基礎(chǔ)上,運(yùn)用出入相補(bǔ)原理推出了等腰三角形、直角梯形和等腰梯形的面積公式．還記得我們是如何推導(dǎo)平行四邊形面積公式的嗎?采用的也是類似的方法．在此基礎(chǔ)上,我們還發(fā)現(xiàn),不僅等腰三角形通過(guò)以盈補(bǔ)虛能夠轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形,任意三角形也能夠轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形．而由于平面內(nèi)任意多邊形可以分割成若干個(gè)任意三角形,所以任意多邊形的面積也能夠轉(zhuǎn)化為若干個(gè)長(zhǎng)方形的面積．因此,中國(guó)古代數(shù)學(xué)家僅僅依靠出入相補(bǔ)原理就建立了平面多邊形面積理論．

最后,有一個(gè)值得我們思考的問(wèn)題:任意多邊形能否運(yùn)用出入相補(bǔ)轉(zhuǎn)化為一個(gè)與之面積相等的長(zhǎng)方形呢?在19世紀(jì)30年代,一位匈牙利數(shù)學(xué)家波約和一位德國(guó)軍官格爾文曾探討過(guò)類似的問(wèn)題,形成了波約-格爾文定理:兩多邊形面積相等的充分必要條件是它們剖分相等,剖分相等即將圖形A剖分為有限塊,將它們重新組合后得到圖形B,就說(shuō)A與B剖分相等．此定理也成為了出入相補(bǔ)原理的依據(jù),使得出入相補(bǔ)法更具說(shuō)服力．不同時(shí)代不同國(guó)家的數(shù)學(xué)家對(duì)同一些問(wèn)題的探討實(shí)現(xiàn)了中西方數(shù)學(xué)文化的交融,我們也看到中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在這些問(wèn)題上的貢獻(xiàn)．

2.2 出入相補(bǔ)原理與“開帶從平方”

“開帶從平方”是中國(guó)古代的一種算法,指求形如x2+Bx=A(A>0,B>0)的一元二次方程的正根的一種方法．

如圖5所示,四邊形ABCD是一正方形,在BC,CD邊上分別取兩點(diǎn)H,K,使得CH=CK,并分別過(guò)H,K兩點(diǎn)作對(duì)邊AD,AB的垂線交于點(diǎn)G,E,線段GH,EK交于點(diǎn)F．易知四邊形CHFK和四邊形AGFE為一大一小兩個(gè)正方形,四邊形DKFG和四邊形BEFH為兩全等矩形．所以將矩形DKFG裁下拼接至矩形ICKJ處,能與矩形CBEK構(gòu)成一個(gè)新的矩形IBEJ,且S矩形IBEJ=S正方形CHFK+2×S矩形ICKJ,即CK2+2×IC×CK=S矩形IBEJ．

圖5

2.3 教科書中的出入相補(bǔ)原理

從小學(xué)開始,我們就在不知不覺(jué)中學(xué)習(xí)了出入相補(bǔ)原理,除了三角形、平行四邊形、梯形的面積公式推導(dǎo),出入相補(bǔ)原理同樣能夠用于圓面積公式推導(dǎo)．2022年版人教版小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)教科書給出了圓面積的推導(dǎo)過(guò)程:把圓分成若干(偶數(shù))等份,每一份都近似于等腰三角形,分的份數(shù)越多,每一份就越小,拼成的圖形就會(huì)接近于一個(gè)長(zhǎng)方形(圖6)．透過(guò)出入相補(bǔ)原理,我們體會(huì)到了圓面積在分割和拼補(bǔ)過(guò)程中所滲透的“極限思想”,有助于理解面積公式的來(lái)龍去脈[4]．

圖6

出入相補(bǔ)原理不僅僅只被用來(lái)說(shuō)明圖形面積出入不變,還是“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的重要橋梁!乘法公式是初中階段的重要知識(shí)點(diǎn),接下來(lái),我們結(jié)合出入相補(bǔ)原理,通過(guò)構(gòu)造幾何圖形,來(lái)探究所熟知的兩個(gè)乘法公式的幾何意義．

以前,我們?cè)谡n堂上采用直接的公式推導(dǎo)法,結(jié)合多項(xiàng)式乘法的相關(guān)知識(shí),總結(jié)出形如(a+b)(a-b)和(a±b)2的式子的計(jì)算結(jié)果,作為能夠直接應(yīng)用的計(jì)算工具:平方差公式和完全平方公式．其實(shí),當(dāng)a和b均為正實(shí)數(shù)且a>b時(shí),我們可以構(gòu)造幾何圖形來(lái)驗(yàn)證這兩個(gè)乘法公式．以平方差公式為例,如圖7(1)所示,構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為a+b和a-b的矩形,該長(zhǎng)方形的面積為(a+b)(a-b).在長(zhǎng)方形上剪下一個(gè)長(zhǎng)為a-b、寬為b的矩形,拼接到圖7(2)所示的位置,得到一個(gè)新的圖形,該圖形的面積為a2-b2.由出入相補(bǔ)原理可知,拼補(bǔ)前后圖形面積相等,所以(a+b)(a-b)=a2-b2．這是平方差公式的一種幾何驗(yàn)證方法,細(xì)細(xì)體會(huì)圖形構(gòu)造幾何驗(yàn)證的精妙之處,并完成下面任務(wù):

(1)發(fā)揮你的想象,是否還有其他的構(gòu)造方法來(lái)驗(yàn)證平方差公式?

(2)對(duì)于完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,能否構(gòu)造幾何圖形來(lái)驗(yàn)證?

2.4 中考、高考試題中的“出入相補(bǔ)”

早在2017年,“用出入相補(bǔ)原理推得容直容橫原理”就被作為北京市中考數(shù)學(xué)的考點(diǎn)之一．

試題1(2017年北京市中考第20題)數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長(zhǎng)方形對(duì)角線上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線,則所容兩長(zhǎng)方形面積相等”(圖8)這一推論,他從這一推論出發(fā),利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證．(以上材料來(lái)源于《古證復(fù)原的原理》《吳文俊與中國(guó)數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》)

圖8

請(qǐng)根據(jù)該圖完成這個(gè)推論的證明過(guò)程．

證明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF=S△ABC-(+)．易知,S△ADC=S△ABC,=,=．可得S矩形NFGD=

S矩形EBMF．

該問(wèn)題運(yùn)用出入相補(bǔ)原理,對(duì)圖形面積進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換,兩個(gè)面積相等的圖形分別減去相同的面積,剩余圖形雖然形狀不同,但是面積仍然相等,考查了學(xué)生“等量代換”的思想．時(shí)隔4年,以《海島算經(jīng)》為背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題再次以高考題的形式出現(xiàn)在2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科乙卷中．

試題2(2021年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科乙卷第9題)魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作,其中一題是測(cè)海島的高．如圖9,點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”,則海島的高AB=( )．

該問(wèn)題雖然是高考題,但是卻能夠用初中數(shù)學(xué)相似三角形的相關(guān)知識(shí)解決,這也是歐氏幾何會(huì)采用的一般方法．

圖10

此方法雖然簡(jiǎn)潔明了,但卻不是劉徽的解法.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)這一求島高公式的證明,亦得益于出入相補(bǔ)原理,如圖11所示,是劉徽添加輔助線的方式．

圖11

3 從出入相補(bǔ)原理管窺中國(guó)傳統(tǒng)思維及中西文化差異

3.1 領(lǐng)悟出入相補(bǔ)原理蘊(yùn)含的整體性思維

在前文所舉的例子中,不論是多邊形的面積求解,還是圓的面積公式推導(dǎo),都體現(xiàn)了通過(guò)出入相補(bǔ)將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題求解的思想,這種化未知為已知的思想方法,就是我們常說(shuō)的“化歸思想”.同時(shí),出入相補(bǔ)原理的應(yīng)用往往離不開幾何圖形,比如劉徽對(duì)勾股定理的證明、解勾股形的相關(guān)公式的證明、開帶從平方術(shù)以及乘法公式的本質(zhì)探究,都試圖將代數(shù)問(wèn)題變?yōu)閹缀螁?wèn)題,實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形之間的巧妙轉(zhuǎn)化．因此,應(yīng)用出入相補(bǔ)原理解決問(wèn)題的過(guò)程也蘊(yùn)含了豐富的“數(shù)形結(jié)合思想”.在圓的面積推導(dǎo)中,其實(shí)把一個(gè)圓不論進(jìn)行怎樣細(xì)小的有限次的分割拼補(bǔ),都無(wú)法真正拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,而假如能夠無(wú)限地分下去,那么拼成的圖形的面積就不斷趨向于長(zhǎng)方形的面積,通過(guò)取極限值,能夠說(shuō)明圓的面積就等于無(wú)限次分割拼補(bǔ)后長(zhǎng)方形的面積,這是“極限思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)中最完美的體現(xiàn)．

在用出入相補(bǔ)原理解決問(wèn)題的過(guò)程中,都實(shí)現(xiàn)了從構(gòu)造幾何圖形到證明結(jié)論或推出結(jié)論的過(guò)程,它是將問(wèn)題的條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系作為一個(gè)整體從直覺(jué)上把握,隱含著中國(guó)傳統(tǒng)思維的整體性思想[5]．在乘法公式的幾何意義探究中,根據(jù)圖7(1)所示幾何圖形的特點(diǎn),構(gòu)造了圖7(2)所示的一個(gè)新的幾何圖形,然后根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等推出結(jié)論,從整體把握部分的特征．并且在證明中,僅僅通過(guò)幾何變換,依據(jù)面積的相等關(guān)系,不涉及角度、線線位置關(guān)系等幾何知識(shí),整個(gè)證明過(guò)程是很直觀的,但卻缺少了嚴(yán)格的證明環(huán)節(jié),這種研究方法出自劉徽的勾股定理古證法．所以,與歐氏幾何以結(jié)論作為解題方法的結(jié)論性方法不同,出入相補(bǔ)是過(guò)程性方法,不證自明,它并非公理,也不是證明的起點(diǎn),而是證明的工具[6]．

3.2 感受出入相補(bǔ)原理折射出的中西文化差異

讓人產(chǎn)生疑惑的是,既然我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了直角三角形線段的比例特征,那為什么沒(méi)有認(rèn)識(shí)到相似性概念呢?或許數(shù)學(xué)家當(dāng)時(shí)確實(shí)認(rèn)識(shí)到了直角三角形的相似性,但中國(guó)古代數(shù)學(xué)重視實(shí)踐,考慮的幾乎所有的幾何問(wèn)題都是包括測(cè)量和距離的觀測(cè)在內(nèi)的實(shí)際問(wèn)題,這些問(wèn)題多數(shù)依賴于直角三角形的使用,有關(guān)直角邊的比例問(wèn)題已經(jīng)能用容直容橫原理得到解決,而直角三角形的斜邊問(wèn)題也能用勾股定理得到解決,對(duì)于一般的相似圖形,我們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)它們的實(shí)際用途,所以一般圖形的“相似性原理”并沒(méi)有為中國(guó)古代數(shù)學(xué)所認(rèn)識(shí)和使用[7]．中國(guó)古代數(shù)學(xué)的價(jià)值觀念是技藝實(shí)用,而西方數(shù)學(xué)以用數(shù)學(xué)解釋一切為價(jià)值取向,中西方古代數(shù)學(xué)的價(jià)值取向不同,導(dǎo)致在同一些數(shù)學(xué)問(wèn)題上的不同解法,以出入相補(bǔ)原理為例,我們?cè)趯W(xué)習(xí)中西方數(shù)學(xué)思想時(shí),也應(yīng)兼收并蓄,以理性的態(tài)度去對(duì)待這種差異性．

雖然運(yùn)用出入相補(bǔ)原理解題的程序相對(duì)繁雜,但這其中卻蘊(yùn)含了許多相似性方法所沒(méi)有的數(shù)學(xué)思想,而這些數(shù)學(xué)思想正是現(xiàn)如今我們需要學(xué)習(xí)和掌握的．出入相補(bǔ)原理不僅適用于平面幾何圖形,還適用于立體幾何圖形,我國(guó)古代數(shù)學(xué)家也曾用它來(lái)推導(dǎo)立體的體積公式．請(qǐng)大家查閱相關(guān)資料,循著古人的腳步,進(jìn)一步探究出入相補(bǔ)原理,感悟這其中的數(shù)學(xué)思想方法吧．