探究橢圓離心率取值的求解方法

陳鋌

【摘 ?要】??橢圓離心率問題是高考的常見題型，本文通過對幾種方法的研究與歸納，幫助學生理解此類問題.除了對解題方法的了解，也應該掌握該類問題相關的知識點，夯實基礎，從而觸類旁通.

【關鍵詞】 ?高中數學；橢圓離心率；解題方法

圓錐曲線是高中數學的核心知識點，而在高考中，對于離心率的求解和范圍的求取一直都是高頻考點，離心率，要求離心率，就要根據題目所給的條件得出之間的關系.而得出三者關系的方法多種多樣，所以求離心率也有多種方法.下面，筆者將結合例題詳細探究橢圓離心率取值的求解方法.

1 ?巧用定義法求解

離心率問題可以利用橢圓的定義來求解，根據橢圓的定義，分別確定c和a的值，再求值，在此類題目中往往給出了橢圓中的一些線和角之間的關系，需要通過一定的轉化得出的值，最后運用公式求解.

例1直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則求該橢圓的離心率.

（A）. （B）. （C）. （D）.

解析 如圖1，在橢圓中，其中一個焦點為F，對應的短軸的一個頂點為B，橢圓中心O到直線l的垂線的垂足為D，

則有，，

.

在中，，

且，代入解得，

所以橢圓的離心率為，

所以答案選（B）.

設出相應的頂點與焦點，利用題目的條件建立它們之間的關系式，然后運用等面積來進行轉化，進而能夠確定參數c和a的值，最后運用離心率的定義公式來求解出橢圓的離心率.

2??巧用方程求解

根據題目中的條件構造出關于a，b，c的關系，從而得到離心率e的方程，應用此種方法的關鍵是要構造相對應的方程，但解不等式時要注意橢圓離心率的范圍，適時進行取舍.

例2 ?在平面直角坐標系中，橢圓C的標準方程為，右焦點為F，右準線為l，短軸的一個端點為B.設原點到直線BF的距離為，F到l的距離為，若，則求橢圓C的離心率.

解??如圖2所示，由于，

由等面積法可知.

則有，

而根據橢圓的幾何性質知，

那么，

整理得，

兩邊都除以并整理得，

解得或（舍去），

即或（舍去），

故答案為.

利用方程法求解橢圓的離心率問題，關鍵是構造相應的方程，但解方程時要注意對應橢圓離心率的特征，對方程相應的根加以取舍.

3??巧用坐標求解

坐標法就是根據已知條件，將問題中的相關點轉化為坐標點，然后利用相關知識來解答問題的方法，橢圓的離心率問題往往都與坐標軸及坐標有關，適時利用相關點坐標也能求解離心率相關問題.這種方法也是用來求橢圓的離心率的一種常用方法，學生需要熟練掌握坐標的相關知識.

例3 ?F是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于B，C兩點，且，則求橢圓的離心率.

解析??因為，且可以表示出來，

所以可以用向量或斜率等代數知識表示，

根據題意求得點，

又根據，

所以，

解得.

坐標法主要是運用解析幾何的相關代數知識，把相關點的坐標用表示出來，再利用點在曲線上這一條件，建立其關于的等量關系，最終求出橢圓的離心率.

4??結語

橢圓的離心率問題是高考中的一個熱點問題，覆蓋了高中的多個知識點，能夠綜合的考查學生的能力，在遇到一個橢圓離心率問題時，其實本質就是要求出之間的關系，用合適的方法求出三者之間的關系后，就能求出橢圓的離心率.

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