中小銜接中方程教學的研究和思考

陳旸

【摘要】方程是中小學數學中重要的解題工具，也是幫助小學生從算術思維向代數思維跨越的重要工具.因此，小學教師應該重視培養學生的方程思想，進行有效的中小銜接，為學生在中學階段用方程解決問題打下基礎.筆者在對中小學方程教學進行對比研究后提出了小學的方程教學可以從更高的定位來確定教學目標，整合教學內容，采取有效的教學策略，構建起中小學方程教學的橋梁.

【關鍵詞】中小銜接；方程教學；教學策略

方程是學生解決數學問題時經常用到的重要工具，不管是在小學還是初中的數學課程中都占有重要地位.小學生對于方程的學習主要停留在認識簡易方程的階段，能夠列出方程解決一些簡單的實際問題.在小學數學學習中，學生只知道什么樣的等式是方程，但是對方程的本質、方程所體現出的代數思想及數學建模并沒有真正理解透徹.再加上小學階段固有的算術思維，學生還是習慣于列算式解決問題.到了初中階段，隨著代數成了學生學習的主要內容，而且題目中的數量關系趨于復雜，學生對方程也會有重新的認識，會更多地嘗試用方程去解決問題.這兩個學段對于方程的學習內容和學習目標都存在差異，這些差異會使學生從算術思維走向代數思維時存在著很多困難.因此，小學數學教師在中小銜接的過程中應該打破小學數學方程教學的壁壘，站在更高的角度來看方程的教學，改進教學方法，為學生平穩過渡到初中階段打下扎實的基礎.

一、抓住本質，合理定位教學目標

什么是方程？方程是描述生活中數量關系的基本數學模型.《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出，方程的教學要從“數學建模”的角度開展.而在小學階段，以蘇教版教材為例，方程的概念和教材中方程的內容，都與“數學建模”里模型的概念有所不同.小學階段對于方程的定義是“像x+50=150，2x=200這樣含有未知數的等式是方程”.這樣的定義其實只是一個描述性的定義，是對算式思維的一種補充，并未體現出方程的本質特點.教師在教學時，也會經常把教學目標定位為“了解什么樣的等式是方程”“掌握用方程解決問題的一般步驟是什么，學會用規范的書寫格式列方程解決問題”，等等.而且在小學階段，用方程解決的實際問題往往數量關系比較單一、分析起來比較簡單，所以學生還是習慣于直接用算術的方法快速解決.有些小學生還認為用方程解決問題的過程書寫更復雜，步驟也更多.所以在小學數學教學中，學生并沒有體會到用方程解決問題的優勢.其對方程的理解，也只是停留在簡單的認識基礎上.對于方程的本質，學生并沒有深刻的領會.

從方程的本質來看，學習方程的首要目標應該是充分體驗“現實問題→抽象成數學（方程）模型→解決現實問題”這樣一個基本的數學化過程.從這個角度出發，教師在方程教學中應該讓學生充分意識到，做題時可以將問題中涉及的數量看成已知量，并在感受這些數量之間的關系后思考如何建立相等關系，再進一步把這種相等關系抽象成符號語言———方程.只有通過這一過程，學生才能體會到方程的本質是什么，感受到數學的建模思想，也能進一步加強自身用方程解決問題的能力.

中學教材中對于方程的定義是“方程———表達數量之間相等關系的‘天平’，是解決實際問題的有效工具”.這樣的描述更側重于說明方程是反映實際生活中相等關系的一種數學模型，是一種數學思想，同時說明了方程的核心價值在于尋找未知量和已知量之間的聯系，從而建立起等量關系.但是從小學生的思維能力水平來看，他們還不具備獨立自主地從實際問題中抽象出方程模型的能力.所以方程的引入，只能是一種范例式的概念引入，而不是問題解決式的引入.這是小學階段方程教學和初中階段方程教學的本質區別.但是在小學階段學生對方程有了初步的了解后，在教學中，尤其是在中小銜接時期的方程教學時，教師一定要認清方程教學的本質，從數量關系入手進行方程的教學，選擇合適的教學方法.

二、分析教材，有效整合教學內容

（一）刪繁就簡，探尋單元間教學內容整合

蘇教版教材在五年級上冊第八單元“用字母表示數”中其實已經讓學生學會用字母來表示數量關系了，初步培養了學生的符號意識.學生正式進入方程的學習是在五年級下冊第一單元“簡易方程”，教材中先是借助天平構建方程的意義，然后給出等式的基本性質，讓學生運用等式的性質解形如“x±b=c，ax=b，x÷b=c”這樣的基本方程，接著是在用方程解決實際問題的過程中練習形如“ax±b=c，（a±x）×b=c，ax±bx=c”這樣稍復雜方程的求解.教材將解方程和解決問題放在一起進行教學，把算法和運用相結合，一方面會使學生的學習難度增加，另一方面會導致學生在學習時既要嘗試分析題中的數量關系，又要關注解方程的方法習得，很可能會顧此失彼.

蘇教版教材中多以實際問題引入計算的教學，方程部分也是如此.這樣的編排有利于學生對算理的理解，也能讓學生深刻體會數學知識和現實生活的聯系，培養學生的數學應用能力.但是在方程這一部分的實際教學中，學生除了要關注題中的數量關系，還需要學習求解稍復雜的方程，要求較高，學生往往不能二者兼顧.因此，在實際教學中，教師可以嘗試對本單元的教學內容進行整合，如表1.

（二）更新視角，探尋學段間教學內容整合

在小學教學中，學生習慣于用列算式的方法來解決問題.盡管已經學習了方程，但是在實際解決問題時，方程思想并未在學生的解題過程中占據重要地位，這與初中階段方程的重要性形成了很大的對比.因此，在六年級中小銜接的過程中，教師如果有意識地在解決某些數量關系稍復雜的應用題時，要求學生使用算術和方程這兩種不同的方法，進而找出這兩種方法的不同，可使學生在對比中體會用方程解決實際問題在分析數量關系時的便捷性，引導學生進行思維升級.通過多年的教學經驗與教學研究，教師發現學生在用方程的方法解決問題時的主要困難在于：從綜合性的算術思維到分析性的代數思維的心理轉換；從生活語言向形式化的符號語言的轉換.所以在銜接過程中，教師要對小學階段應用題的類型進行歸類整理，并在教學時有意識地指導學生使用方程進行求解，一方面對中小學數學的學習內容進行銜接，一方面為初中解決數量關系稍復雜的應用題打下基礎.因此在六年級的第二輪復習中，教師嘗試對方程的復習進行了中小學段間的教學內容整合，如表2.

三、滲透思想，采取有效的教學策略

在高年級的數學教學中，盡管教師會有意識地滲透方程思想來解決問題，但是實際上，學生對于方程的認識還是僅僅停留在被動的使用階段.如果沒有教師指向性的要求或引導，學生還是會首選列算式的方法來解決問題.因此，在明確了教學目標、確定了教學內容后，教師還要在教學策略上有所研究，用適合的教學方法滲透方程思想.

（一）正確看待“湊方程”，初步建立模型

在五年級初步接觸方程時，教師發現很多學生列出的方程都擁有算式的本質，只是披上了方程的“外衣”.比如用方程解決問題：學校學期初買了10個籃球和1個足球，共用去860元.已知每個足球60元，那么每個籃球多少元？（用方程解決）學生的方法是（860-60）÷10=x.從這里可以明顯看出學生使用的方法依舊是算術的方法，只不過題目要求用方程，便湊了一個“含有字母的等式”.對此，教師可以先給學生梳理用方程解決實際問題的一般步驟，再引導學生認真分析等量關系、列出方程，并要求學生先根據題目的條件表述找等量關系，再根據關系列方程解決問題.學生在經過指導后，再解決問題時明顯沒有了湊方程的痕跡，可以根據題中的數量關系列出思維方式最流暢的方程.

這也引發了教師的思考：學生為什么會“湊方程”呢？這可能是因為學生在用方程的方法解決問題的過程中，已有的學習經驗給學生解題帶來很大的慣性，這種慣性也影響了學生對方程的掌握和運用.只要遇到需要逆向解決的問題，學生就會根據題中已有的條件進行逆向推理.因此，如果教師能夠給學生提供一個扭轉慣性思維的彈性空間，學生可能就會認識到怎樣建構方程才是有意義的.列方程的過程本質上就是建構模型的過程，模型可以幫助人們解決問題.在解決問題時，每道題中都會有數量關系，建立模型就是在建立等量關系.不同的人對于等量關系也會有不同的理解.比如，蘇教版五年級下冊教材中有一道例題，題中所提供的信息是“西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米”，這里包含了兩種方程層面的不同思路的等量關系：一種是“小雁塔的高度×2-22米=大雁塔的高度”，另一種是“小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22米”.學生如果沒有學習過方程，解決這個問題時基本上會想到“（大雁塔的高度+22米）÷2=小雁塔的高度”這種思路.由此可以看出，一道題可能會出現很多種數量關系，選擇哪一種數量關系是由不同的人所選取的不同思維方式決定的.教師在教學時，應該尊重每名學生的思維方式，讓學生通過自己思維的轉變來接受新的學習要求.對于“湊方程”的做法，教師不僅不能回避，而且要讓學生主動展示自己的方法，引導學生進行更加深入的學習，并在這一過程中體會方程的思想方法.

因此，在六年級的第二輪整合復習中，教師也有意識地先對學生進行了順逆問題的對比練習：

下面各組題你覺得哪一題適合用方程解答？

A1：全班有26人是男生，女生比男生少4人，全班有女生多少人？

A2：全班有26人是男生，比女生多4人，全班有女生多少人？

B1：一個足球上黑色皮都是五邊形的，白色皮都是六邊形的，黑色皮共有20塊，白色皮比黑色皮的2倍少4塊.足球上共有多少塊白色皮？

B2：一個足球上黑色皮都是五邊形的，白色皮都是六邊形的，白色皮共有20塊，比黑色皮的2倍少4塊.足球上共有多少塊黑色皮？

這樣順逆情境的實際問題對比可以讓學生充分感受到抓住合適的等量關系對于解決逆向問題的簡單方便，從而形成尋找最本質數量關系的思維習慣.

（二）進行策略教學，掌握解題方法

學生在建立用方程解決問題的意識后，還應該掌握正確運用方程解決問題的方法.進入初中后，應用題不僅閱讀量大，而且涉及的知識內容也很多，導致學生在列方程時出現困難.因此在六年級進行中小銜接的復習教學時，教師就要進行一些策略教學，讓學生掌握一些解題的方法，培養其列方程解決問題的能力.

應用題包含三個部分———敘述部分、關系部分和問題部分.敘述部分是描述題目背景信息和已知數量的文字；關系部分是描述題中量與量之間的關系的文字；問題部分是描述題中需要求出的未知量的文字.列方程解決問題時，關鍵是梳理題中的數量關系，從而形成等量關系，列出方程.在對數量關系進行梳理的時候，解題者要注意的是要把題中所要求的未知量代入進去，這樣才能有效地找到相等關系.

1.直譯法

當題目中的數量關系非常清楚，特別是相等關系顯而易見時，比如題中的數量關系是用“是”“等于”“與……相等”之類的連接詞呈現的，那就可以直接把這樣的相等關系譯成等式.

例1 媽媽買了個數同樣多的蘋果和梨，一家人每天吃3個蘋果和2個梨.過了幾天，蘋果正好吃完，梨還有6個.已經吃了幾天？

教學時，教師可以先帶著學生分析題意，陳述部分：一家人每天吃3個蘋果和2個梨.過了幾天，蘋果正好吃完，梨還有6個.

關系部分：媽媽買了個數同樣多的蘋果和梨.其中連接詞為“同樣多”.

提問部分：已經吃了幾天？

如果設已經吃了x天，那么蘋果的個數是3x個，梨的個數是2x+6個.再依據關系部分的“同樣多”，可以把相等關系直譯成方程：

3x=2x+6，解得x=6.

答：已經吃了6天.

2.扯平法

在一些應用題中，數量之間的關系并不是直接的相等關系，看不到“是”“等于”“與……相等”這類的連接詞，而是“多”“少”這樣的連接詞.教師在教學時就要告訴學生要把“多”“少”的關系“扯平”，化為“相等”關系.具體的方法有：多-少=差；多-差=少；少+差=多.“扯平”的關鍵在于找出誰多、誰少，多多少、少多少.

例2 商店以每雙13元的進價購進一批涼鞋，售價為14.8元，賣到還剩5雙時，除去購進這批鞋子所用的錢外還獲利88元.這批涼鞋共有多少雙？

教學時，教師還是要先帶學生分析題意，陳述部分：商店以每雙13元的進價購進一批涼鞋，售價為14.8元.

關系部分：賣到還剩5雙時，除去購進這批鞋子所用的錢外還獲利88元.

提問部分：這批涼鞋共有多少雙？

需要扯平的數量關系：賣到還剩5雙時所獲得的錢和購進這批涼鞋所需要的錢.

多：賣到還剩5雙時，可以獲得a元.

少：購進這批涼鞋需要b元.

差：88元.

扯平為相等關系：a-b=88.

解：設這批涼鞋共有x雙.根據等量關系列出方程：

14.8（x-5）-13x=88，解得x=90.

答：這批涼鞋共有90雙.

結 語

不管是小學還是初中，實際問題的題型都千變萬化，教師在中小銜接的教學中，要告訴學生，不管題型如何變化，都要由已知量、未知量之間的數量關系尋找出等量關系從而建立方程，在解題時要認真審題，仔細分析，把握問題的切入點，靈活運用解題策略，這樣才能大大提高解題能力.

【參考文獻】

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