巧用數形結合，培養核心素養

戴國

摘 要：圓的位置關系是初中數學教學的主要內容，需充分關注到點與圓、直線與圓、圓與圓、圓與其他圖形的位置關系，在解決位置關系的問題時，需充分了解其常規的位置關系及其轉化方法，以實現與圓有關的位置關系問題的高效解決.

關鍵詞：核心素養；初中數學；解題教學

圓既是初中數學課堂教學的重點知識，也是中考的必考內容.圓的位置關系通常涉及到三個方面，主要有點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系，其充分體現出了數與形的結合，因此，在對圓的位置關系試題進行解題時，應充分運用數形結合的思想，經過形象思維和抽象思維的有效結合，促進數量關系和位置關系之間的互換，使復雜的數學問題更加簡單，抽象的數學問題更加具體，從而達到數學題優化解決的效果.

1 圓的位置關系概述

設圓的半徑是r，圓心坐標是（a，b），圓心距是d，表達式是：（x-a）²+（y-b）²＝r².

1.1 點與圓的位置關系

點與圓的位置關系有三種：點在圓內、點在圓上、點在圓外，設點P（x₁，y₁）：

（1） （x₁-a）²+（y₁-b）²＞r²，點P在圓外；

（2） （x₁-a）²+（y₁-b）²＝r²，點P在圓上；

（3） （x₁-a）²+（y₁-b）²＜r²，點P在圓內^［1］.

1.2 直線與圓的位置關系

若直線與圓不存在公共點，則直線與圓相離；若直線與圓有且僅有一個公共點，則直線與圓相切，這條直線叫切線，公共點叫切點^［2］.

定理：經過圓的半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑.

推論：經過圓心且垂直于切線的直線經過切點；經過切點且垂直于切線的直線必過圓心.

若一條直線與一個圓存在兩個公共點，即直線與圓相交，直線稱作是圓的割線，兩個公共點稱作為交點^［3］.

直線與圓之間的位置關系有相離、相切、相交三種.

1.3 圓與圓的位置關系

平面內，兩圓的位置關系共有五種：外切、內切、相交、外離、內含；過兩圓圓心的直線，稱作為兩圓連心線，兩圓圓心的距離稱作為圓心距^［4］.

定理：兩圓的連心線是兩圓的對稱軸，且兩圓相切的時候，其切點位于連心線上.

設兩圓的半徑分別為r、R（r＜R），兩圓的圓心距為d.

（1） 兩圓外離：d＞R+r；

（2） 兩圓外切：d＝R+r；

（3） 兩圓相交：|R-r|＜d＜R+r；

（4） 兩圓內切：d＝R-r；

（5） 兩圓內含：d＜R-r.

兩圓公切線：兩圓的兩條外公切線長是相等的；兩圓的兩條內公切線的長是相等的^［5］.

2 初中數學圓的位置關系解題策略

2.1 點與圓的位置關系解題

例1 如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，CM是中線，以點C為圓心，5 cm為半徑作圓，那么A、B、M三點中位于圓外的是________，位于圓上的是________，位于圓內的是________.

解析：本題考查點與圓的位置關系，需判斷A、B、M三點與點C之間的距離和5的大小關系；根據勾股定理，求出AB的長；依據直角三角形斜邊上的中線具備的性質，求CM的長；并對比AC、BC、CM和半徑的大小，以確定點與圓之間的位置關系.

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 cm，BC＝4 cm，∴AB＝AC²+BC²＝25 cm，∵CM是斜邊AB的中線，∴CM＝12AB＝5 cm，∵AC＝2 cm＜5 cm，BC＝4 cm＞5 cm，CM＝5 cm，∴位于圓內的是點A；位于圓外的是點B；位于圓上的是點M.

綜上所述，在解決與圓有關的位置關系問題時，需對圓的位置關系進行總結，準確把握位置具備的特性，并與幾何知識相結合，以實現圓的位置關系問題的高效解決.因此，數學教師在圓的位置關系解題教學中，需注重數形結合，將位置關系轉變成點線、線線、圓圓的位置關系，從而使學生的解題能力實現有效提高.

參考文獻：

［1］ 王亞平.與圓相關的位置關系問題探究［J］.數理天地（初中版），2022（18）：1920.

［2］ 趙國治.初中數學高階思維培養的教學設計研究——以“直線與圓的位置關系”為例［J］.中學數學，2021（18）：4748.

［3］ 張英.基于“四能”目標的初中數學教學設計與反思——以“直線與圓的位置關系”一課的教學為例［J］.中學數學，2021（16）：2728.

［4］ 陳建均.基于核心素養的初中數學日常教學初探——以“直線與圓的位置關系”為例［J］.教育界，2021（22）：3435.

［5］ 施學星.“圓與圓的位置關系”的課程難度變化及其對教學指導的探究［J］.教育教學論壇，2016（9）：159160.