核心素養視域下數學命題課的教學研究

夏玉梅

摘 要：數學命題教學是學生學習和教師教學的重難點，也是發展學生數學核心素養的重要教學載體.研究從數學命題教學的現狀出發，提出基于核心素養數學命題課的設計原則，在此基礎上以“一元二次方程根與系數的關系”為支點，展示核心素養視域下命題教學的實踐探索.

關鍵詞：數學核心素養;數學命題教學;根與系數的關系

課程目標是數學課程育人價值的集中體現，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）將“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”確定為數學課程的育人指向，即數學核心素養^［1］.回顧近年來關于核心素養的研究，較多指向理論研究，且關于教學策略的研究也以說理為主，研究操作性不強.命題教學作為培養和發展學生核心素養的優質載體，往往容易被教育工作者所忽視.研究基于核心素養提出數學命題課的設計思想，以蘇科版“一元二次方程根與系數的關系”這一具體案例為支點，嘗試探究出數學核心素養在數學命題課的落腳點、生長點和發展點.

1 基于核心素養的數學命題課的設計思想

1.1 基于認知，理解數學核心素養

《標準》指出初中數學核心素養主要表現為抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識^［1］.實際上，中學教師并不缺乏核心素養的理論知識，也熟悉數學核心素養的定義，但對其內涵的理解還不夠深入，這不利于教師將數學核心素養內化為設計教學的依據.近年來，眾多教育研究者就數學核心素養提出了自己的見解，如有研究者在整合數學核心素養相關研究的基礎上，認為數學核心素養是個體從數學的角度觀察事物，并借助數學知識與思想方法解決數學學習或者現實生活情境中相關問題的綜合能力以及個體所持有的數學情感態度、價值觀等^［2］.教師不應該故步自封，應嘗試領略教育研究者的學術爭鳴，結合自身的認知及教育經驗，深入理解數學核心素養的內涵，逐步形成自己獨到的見解.

1.2 研讀教材，明確數學核心素養

數學核心素養的形成不是一蹴而就的，它往往以數學知識為依托，在學生的數學學習過程中慢慢生長.教師作為數學教材與學生之間的傳話者，開發出教材中涵蓋的數學核心素養對進一步在教學中培養學生的數學核心素養起著舉足輕重的作用.

數學命題學習主要是學習數學中的公理、定理、公式、法則等內容，學習內容比較抽象，教師對命題教學中蘊含的數學核心素養的挖掘也普遍出現難點.實際上，一個單元或一堂課，不可能只涉及一個數學核心素養，邏輯推理和數學運算幾乎在所有的數學課中都有體現^［3］.教師應以教育研究者研究教材的視角看問題，在此基礎上學習優秀教師如何挖掘命題課中的數學核心素養，嘗試以高觀點的視角審視、反思自己的挖掘情況，從而明確教材中核心素養的體現之處.

1.3 合理設計，落實數學核心素養

數學命題教學相較于數學概念而言，往往更具抽象性、邏輯性.傳統的命題教學往往是灌輸式的，部分教師在教學中普遍會出現“直接給出數學命題，再讓學生反復練習即可”的情況，這有礙于學生數學核心素養的生成.數學命題的教學設計要力求凸顯本節課的核心法則、典型思維，教師應努力踐行在教學中培養學生的數學核心素養.一方面，教師可以以多個優秀教師的教學設計為學習對象，嘗試以他人的視角審視、反思自己的教學設計，初步設計出能培養學生數學核心素養的教學過程；另一方面，教師可以根據學生的層次，設計恰當的情境作為學生命題學習的載體，讓他們親身去經歷命題的發現、探索過程，在課堂中真正落實數學核心素養.

為了讓核心素養視域下的命題教學更具實踐性，研究以“一元二次方程根與系數的關系”為支點，結合設計思想分析該課的教學背景，在此基礎上再進行教學案例設計.

2 教學背景分析

在課程準備階段，教師應根據學生的原有基礎，結合課程蘊含的數學核心素養，明晰學生應達到的素養目標層次.

2.1 素養分析

蘇科版教材從問題情境入手，通過讓學生觀察具體方程及相應根的關系，結合適當的提示語，鼓勵學生提出猜想，培養學生的數學抽象能力，進一步引導學生證明猜想，鍛煉學生的推理與運算能力，最后在適當時機提供針對性的例題，幫助學生強化知識.

2.2 學生診斷分析

本課的教學對象是初中三年級學生，他們較好地儲備了用多種方法解一元二次方程等數學知識，了解了由特殊到一般的思想方法.該階段的學生更偏向于從直觀、形象的角度認識事物，雖然他們可能有一定的學習基礎和推理興趣，但更關注問題應用.

2.3 素養目標分析

借助喻平教授關于核心素養的評價框架^［3］，確定該節課的數學核心素養達成的各水平表現，具體如表1所示.

在實際教學中，教師可以基于學生的原有水平，確定學生所應達到的數學核心素養目標層次，再根據目標逆向設計教學過程.

3 教學案例設計

本節課是一節數學命題課，設計思路主要采用問題解決模式，即以“問題情境—引入命題—命題證明—命題應用”為主線建構教學，在實現數學核心素養落地課堂的同時，也力求還原命題該有的“味道”.

環節1 知識回顧，導入新知

問題1：前面我們已經學習了如何求一元二次方程的根，回顧一下有哪些方法呢？

問題2：對于ax²+bx+c=0（a≠0），當判別式大于等于0時，你能說出一元二次方程的求根公式嗎？求根公式揭示了一元二次方程的兩根與系數間的直接關系，那么一元二次方程的根與系數間是否還有更深一層的聯系呢？這就是本節課我們要繼續研究的問題——一元二次方程的根與系數的關系.

設計意圖：通過開放性問題1幫助學生復習舊知，讓不同層次的學生均能夠參與其中，同時也為本節課的探索之路做預熱練習.根據學生的回答，教師進行引導、跟進提出問題2.利用問題2讓學生明白前后所學知識有必然聯系，但是沒有告訴學生是怎樣的聯系，激發學生的探究興趣，同時引出本節課要研究的內容.

環節2 合作探究，探索新知

小組合作 將學生分為A，B，C，D，E五個組，讓其按順序分別對應完成下面5個方程的求解，見表2.

問題3：觀察表2，你能發現方程的根與系數之間有什么關系嗎？（若學生找不出關系，教師則展示整理后的數據表，見表3）

設計意圖：當學生不能注意到根與系數的關系時，教師給予適當暗示，幫助學生建立最近發展區.此外，教師故意將這五個方程的二次項系數均設置為1，1作為分母時通常會省略，容易導致學生得出：“兩根之積與常數項相等，兩根之和與一次項系數互為相反數”這樣的錯誤猜想，教師順勢提出問題4，提醒學生注意根與系數的關系與方程的二次項系數相關.

問題4：利用得出的猜想，嘗試驗證之前提出的猜想是否正確？（注意可以關注之前沒有涉及到二次項系數.）

⑥ 2x²-5x-3=0；

⑦ 3x²-7x+4=0.

設計意圖：方程①～⑤得出的錯誤猜想，在方程⑥和⑦中被推翻.在這個過程中，讓學生明白進行猜想時不能只參考特殊的例子，應該聚焦于更一般的例子，培養學生會猜想、能合理猜想的能力，進而發展學生的教學抽象能力.

幾何畫板演示：教師用幾何畫板演示更多案例（見圖1），讓學生從最直觀的角度驗證猜想的合理性.隨著一元二次方程各項系數的改變，根與系數的關系都滿足猜想.

素養培養：教師將課堂交給學生，以小組合作的方式，使學生發現規律、描述規律，經歷從特殊到一般的學習過程，進而獲得思維的碰撞、能力的提升、情感的交流、思維的延伸，逐步培養學生的抽象能力、推理能力.

環節3 驗證猜想，得出定理

問題5：既然有了猜想，就需要驗證猜想的正確性.我們由求根公式發現了根與系數之間存在著聯系，你能從這個角度來證明猜想嗎？

素養培養：教師引導學生證明猜想，幫助學生養成嚴謹的數學態度，培養學生的推理論證及運算能力.同時在證明時，指導學生從不同視角理解、分析、解決同一問題，發散了學生的思維.最后再借助課下思考題培養學生獨立思考的能力.

環節4 例題講解，強化新知

例1 若x₁、x₂是下列方程的兩根.嘗試不解方程，求出兩根之和與兩根之積.

（1） x²+2x-5=0；

（2） 2x²+x=1.

反思：想一想：求出兩根之和以及兩根之積的關鍵是什么？

例2 若方程2x²-mx-9=0的一個根為-3，求另一根及m的值.（教師可以適當提示學生，如圖2）

例3 小明、小華、小亮分別求出了方程9x²+6x-1=0的根，請判斷誰的答案正確？

設計意圖：例1例3幫助學生鞏固了一元二次方程根與系數的關系，考查了學生靈活運用知識解決問題的能力，讓學生體會根與系數的關系在解題中的巧妙運用.在解題時也讓學生注意到利用韋達定理之前，需要先將方程轉化為一般形式，以便找準系數，熟練公式的結構，為后面解決難度系數較高的題目打實根基.

環節5 師生互動，課堂小結

總結1 本節課，我們學習了哪些內容？教師展示圖3.

總結2 我們是如何研究本節課的知識的？教師展示圖4.

設計意圖：總結1讓學生在互動中歸納總結、理順知識，進一步突出了學習內容的重難點，幫助學生構建知識網絡，培養他們優良的數學思維品質、數學學習習慣.總結2通過流程圖讓學生領悟知識點涵蓋的思想方法，滲透由特殊到一般的認識事物的規律.

環節6 課后閱讀，拓展延伸

課外閱讀：公元前1800～1600年的古巴比倫時期，數學泥板上就記載關于給定兩數的和與積，求兩數的問題；三國時期，趙爽（約公元182～250）在研究勾股弦三邊互求的方法中，也提到已知兩數的和與積，分別求兩個數.16世紀，意大利數學家卡丹（1501～1576）、法國數學家佩勒蒂耶（1517～1582）、意大利數學家邦貝利（1526～1572）均發現方程的根與系數之間存在聯系.1591年，法國數學家韋達（1540～1603）正式以定理的形式給出方程的根與系數的關系.1629年，荷蘭數學家吉拉爾將定理推廣到一元ｎ次方程，并對正根、負根、虛數根以及重根都成立，且發現冪和公式.

設計意圖：了解韋達定理的歷史發展過程，使學生領略數學的精髓，激發學生的學習興趣，啟發學生的認知發展，提高學生對知識的理解和對數學價值的認識.

4 結束語

核心素養指向課程的育人目標，它強調培養人的正確價值觀、必備品格和關鍵能力.研究對核心素養視域下數學命題的教學提出相應的設計思想，并在此基礎上以“一元二次方程根與系數的關系”為例進行具體分析，為教師提供了可操性強、目標指向明確的教學設計依據.新課程理念下，如何將課程目標落實到具體教學、讓核心素養的培養生根落地并轉化為課堂教學行動力，還需要更多的實踐探討.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部，義務教育數學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 呂世虎，吳振英.數學核心素養的內涵及其體系構建［J］.課程.教材.教法，2017，37（9）：1217.

［3］ 喻平.數學核心素養評價的一個框架［J］.數學教育學報，2017，26（2）：1923+59.