用試錯鋪平高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地之路

季林波

[摘? 要] 當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)，就是幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 如果真正立足對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的關(guān)注，就可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程本質(zhì)上是一個從錯誤走向正確的過程——讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中充分暴露錯誤、分析錯誤，學(xué)生就可以從錯誤走向正確. 試錯可以成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的推動力，教師在教學(xué)過程中不要一味地追求完全正確，要將試錯當(dāng)成重要的教學(xué)策略. 教師可以引導(dǎo)學(xué)生在正確思維的過程中，充分體驗數(shù)學(xué)抽象，進行邏輯嚴密與科學(xué)的推理，同時深刻理解數(shù)學(xué)語言所描述的概念與規(guī)律，如此能夠讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地得到充分保障.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);試錯;落地

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律. 這是《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》對數(shù)學(xué)課程性質(zhì)的基本描述. 在這一版本的課程標準中，核心素養(yǎng)成為貫穿全書的核心概念，是體現(xiàn)國家立德樹人教育意志的重要載體. 將核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征結(jié)合起來，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)，就是幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，因此高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程就可以理解為促進學(xué)生核心素養(yǎng)落地的過程.

既然核心素養(yǎng)的落地是一個過程，那么這一過程與學(xué)生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與運用就一定是高度融合的. 如果說后者是高中數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)的基本取向，那么在后者中尋找前者的落地途徑，就成為高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)及其研究的著力點. 從邏輯關(guān)系的角度來看，要讓核心素養(yǎng)順利落地，就必須為學(xué)生創(chuàng)設(shè)能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的學(xué)習(xí)情境，比如要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，就要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程;要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，就要讓學(xué)生經(jīng)歷邏輯推理的過程……問題在于學(xué)生的學(xué)習(xí)過程并不完全符合教師的預(yù)設(shè)，由于學(xué)生個體經(jīng)驗和思維方式的差異性，教師也不可能完全預(yù)測到學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的諸多細節(jié). 實際上如果真正立足對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的關(guān)注，就可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程本質(zhì)上是一個從錯誤走向正確的過程——讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中充分暴露錯誤、分析錯誤，學(xué)生就可以從錯誤走向正確. 在結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)中曾經(jīng)出現(xiàn)過的讓學(xué)生試錯的傳統(tǒng)，筆者認為通過充分試錯，可以踏上一條通往核心素養(yǎng)落地的康莊大道. 下文以《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·選擇性必修第一冊（人教A版）》中的“直線的交點坐標與距離公式”為例，來闡述相關(guān)的觀點.

試錯與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育之間的關(guān)系

之所以重視試錯在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值，是因為在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中錯誤總是會發(fā)生的，有識之士也一直呼吁將學(xué)生的錯誤視作重要的教學(xué)資源. 數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，不僅要讓學(xué)生獲得基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，還要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，而良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)的重要體現(xiàn)之一，就是學(xué)生面對錯誤時能夠理性客觀地分析錯誤，然后在錯誤中尋找通往正確的道路. 所以有經(jīng)驗的教師即使不知道試錯的概念，也會在日常教學(xué)中跟學(xué)生強調(diào)“錯誤不可怕，可怕的是遇到錯誤時不改正錯誤，然后重復(fù)犯錯誤”. 那么試錯與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育之間存在著怎樣的關(guān)系呢？筆者通過梳理，發(fā)現(xiàn)了這樣一個基本邏輯：試錯是面向?qū)W生學(xué)習(xí)過程的，而核心素養(yǎng)培育是學(xué)習(xí)后的目標，過程與目標之間的對應(yīng)關(guān)系，使得試錯有可能成為核心素養(yǎng)落地的重要推動力. 當(dāng)然這一邏輯是否成立，還須結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點來梳理.

眾所周知，數(shù)學(xué)知識、問題解決與數(shù)學(xué)思維可以構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]. 其實數(shù)學(xué)知識、問題解決以及數(shù)學(xué)思維之間的關(guān)系是非常密切的：數(shù)學(xué)知識是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)知識建構(gòu)過程中學(xué)生表現(xiàn)出來的思維，問題解決一方面反映著數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，另一方面又是數(shù)學(xué)思維得以存在的載體，在問題解決的過程中，學(xué)生需要調(diào)用已經(jīng)學(xué)到的知識，同時借助數(shù)學(xué)思維來尋找數(shù)學(xué)知識間的邏輯關(guān)系. 無論學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)是多么扎實、思維方式是多么完善，在知識建構(gòu)以及問題解決的過程中，總會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤. 本著錯誤也是一種重要的教學(xué)資源，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)和運用時能夠大膽猜想，主動試錯，將自己的思維品質(zhì)通過問題解決充分展現(xiàn)出來. 此過程中出現(xiàn)的錯誤就是試錯的結(jié)果，當(dāng)學(xué)生認識到錯誤后，原有的認知平衡必然會被打破，從而產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)動力. 這時教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生去審視自己的錯誤，去判斷到底是知識掌握出了問題，還是邏輯運用出了問題. 在這樣的反思過程中，必然要對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程重新進行梳理與判斷，并在此過程中發(fā)現(xiàn)是知識方面的缺陷還是思維方面的缺陷;嘗試建立新的認知結(jié)構(gòu)，并找出更加科學(xué)的問題解決方法. 在此過程中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要素都有可能得到不同程度的體現(xiàn)，尤其是邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等，都會伴隨著學(xué)生對學(xué)習(xí)過程的精加工而變得更加清晰，這意味著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展得以實現(xiàn).

由此可見，試錯可以成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的推動力，教師在教學(xué)過程中不要一味地追求完全正確，要將試錯當(dāng)成重要的教學(xué)策略.

試錯驅(qū)動數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地之例析

有人說，“錯誤是試驗田，在試驗田上精心播種，能收獲良種.”通過上文分析也可以發(fā)現(xiàn)，錯誤雖然是主觀行為的結(jié)果，但客觀存在，錯題、錯解、錯答、錯講等都意味著錯誤. 但是對待錯誤，“給一個巴掌”或許只能達到“認錯”的目的，“給一個微笑”“給幾許關(guān)注”卻能達到容錯、析錯和改錯的理想效果. 作為高中數(shù)學(xué)教師，要有“容錯”的肚量，更要有掌握“融錯”的技巧，讓學(xué)生錯有所得[2]. 這樣的一段經(jīng)典闡述，充分肯定了錯誤的價值，強調(diào)教師面對學(xué)生的錯誤時應(yīng)有科學(xué)態(tài)度，強調(diào)在“融錯”中讓學(xué)生獲得發(fā)展. 當(dāng)然所有的這一切，都是在試錯的基礎(chǔ)上進行的.

“直線的交點坐標與距離公式”對于高中生而言似乎不存在太大的學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)——在平面幾何學(xué)習(xí)中對直線做了定性研究，而且借助平面直角坐標系和二元一次方程來表示直線，學(xué)生認識到了直線的方程——但是具體學(xué)習(xí)“直線的交點坐標與距離公式”時，學(xué)生還是會出現(xiàn)各種錯誤. 與其像傳統(tǒng)教學(xué)那樣，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯誤后想方設(shè)法進行修補，倒不如讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中主動出錯、主動試錯，讓錯誤真正成為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的重要推動力.

例如學(xué)習(xí)“兩條直線的交點坐標”時，教師向?qū)W生提出問題：已知兩條直線相交，那么它們的交點坐標與兩條直線的方程有著什么樣的關(guān)系？在教師的認識中，這個問題非常簡單，但是對于部分學(xué)生而言，由于缺乏數(shù)形結(jié)合意識，因此他們一開始是茫然的，甚至有學(xué)生想著通過嘗試的方法，看哪個坐標既適合一條直線的方程，又適合另一條直線的方程. 面對學(xué)生這種看似“幼稚”的想法，教師不必急著去評價，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生去嘗試，并且在嘗試中試錯、糾錯. 這一策略是非常有效的，學(xué)生可以在短時間內(nèi)通過嘗試得出新的認識：如果一個坐標既適合一條直線的方程，又適合另一條直線的方程，那么這個坐標值就是這兩個方程所組成的方程組的解. 上面之所以說在教師的認識中這個問題非常簡單，就是因為教師認為這一認識是自然而然的. 但是對于這部分學(xué)生而言，正是由于數(shù)形結(jié)合意識的缺乏，他們無法憑直覺一下子得出正確的判斷，因此只能讓學(xué)生去試錯，并且在試錯過程中糾錯，得到正確的認識. 當(dāng)學(xué)生有了正確的認識后再引導(dǎo)他們?nèi)シ此紝W(xué)習(xí)過程，這樣就能夠讓學(xué)生進一步感悟數(shù)形結(jié)合思想的價值，而這正是本內(nèi)容教學(xué)的一個著力點，也是直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)的一個著力點.

再比如，在“點到直線的距離公式”的教學(xué)中，教師通常會結(jié)合一個具體的問題去組織學(xué)生進行探究.例如，如圖1所示，已知點P（x，y），直線l：Ax+By+C=0，如何求點P到直線l的距離？

如果教師對學(xué)生解決問題的過程不加干涉，就可以發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對“點到直線的距離”的認識是有缺陷的. 如有學(xué)生認為“點到直線的距離”就是“點到直線上‘任意一點的距離”. 這是對基本概念的判定錯誤，看起來不可思議，但是在這部分學(xué)生身上確實存在. 這時教師也不必急著更正，因為學(xué)生很快就會發(fā)現(xiàn)這一認識的缺陷：直線上有無數(shù)個點，那么按照上述邏輯，這個距離就有無數(shù)個，這顯然是不正確的;既然題目要求的是一個確定的值，這就意味著“點到直線的距離”應(yīng)當(dāng)是“點到直線上‘某一點的距離”，那么這個點應(yīng)當(dāng)是哪個點呢？當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生這個疑問時，“幼稚”的錯誤就變成了有價值的探究方向. 學(xué)生可以迅速發(fā)現(xiàn)直線上的“點”應(yīng)當(dāng)是最特殊的一個點，而最特殊的這個點就是距離直線外那一點最短的點. 有了這一認識，“點到直線的距離”的正確知識就建立起來了.

其后，在探究“點到直線的距離公式”時，還會出現(xiàn)一些錯誤，例如求點P到垂足Q的距離時，確定垂足Q的坐標就是一個難題. 解決這一難題的關(guān)鍵在于固定思維的突破，也就是要讓學(xué)生在建立PQ⊥l的過程中，通過求相交點的坐標來確定垂足Q的坐標. 部分學(xué)生剛開始是很難將思維的觸角伸向這一認識的，他們在思考時會出現(xiàn)各種各樣的錯誤，此時就需要教師進行引導(dǎo). 引導(dǎo)的出發(fā)點就是學(xué)生所犯的錯誤，落腳點就是正確的解題思路. 通過這樣的引導(dǎo)，可以讓學(xué)生在認識自己所犯的錯誤的同時，建立起正確的思路乃至思維模式，而這將促進學(xué)生的知識建構(gòu).

用試錯鋪平數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地之路

上文案例充分體現(xiàn)了試錯對于知識建構(gòu)的作用與意義，從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的角度來看，試錯的意義也是非常顯著的. 學(xué)生認識到的錯誤，不僅僅是知識方面上的，更多的是思維方法方面上的. 這是高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的優(yōu)點之一，絕大多數(shù)學(xué)生面對錯誤時都不會就事論事，而會思考諸如“為什么會犯這樣的錯誤”“怎樣才能做到一次性正確”等問題. 盡管學(xué)生的學(xué)習(xí)初衷是數(shù)學(xué)知識的正確理解與運用，但這樣的問題后有豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在正確思維的過程中，充分體驗數(shù)學(xué)抽象，進行邏輯嚴密與科學(xué)的推理，同時深刻理解數(shù)學(xué)語言所描述的概念與規(guī)律，如此能夠讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地得到充分保障.

相對于傳統(tǒng)教學(xué)中追求正確而回避錯誤而言，試錯開辟了一條新的教學(xué)途徑. 在這條教學(xué)途徑上，學(xué)生看似走了一些彎路，卻通過自己的知識缺陷與思維缺陷的充分暴露，有了更多的反思學(xué)習(xí)的機會. 在這些機會中，數(shù)學(xué)知識及其體系能夠更加清晰地呈現(xiàn)出來，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也有更大的培育空間. 因此從這個角度來看，可以確認試錯確實能夠鋪平數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地之路，日常教學(xué)必須積極實踐.

參考文獻：

[1] 武麗莎，朱立明. 高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：生成機制與培養(yǎng)路徑[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（04）：25-29.

[2]王愛斌. 高中數(shù)學(xué)課堂中的“融錯”藝術(shù)[J]. 教學(xué)與管理，2016（04）：61-63.