巧妙構思,優化數學教學設計

張星

[摘? 要] 高中數學教學猶如包含教學設計、教學過程與教學反思的三套馬車. 教學設計是一項復雜的教學技術，對教學成效有著直接影響. 巧妙構思，優化教學設計是每個教師必備的基本技能. 研究者摘錄了幾位青年教師在“等比數列的前n項和公式”教學中“教學情境與公式推理”的幾個片段，具體談談優化教學設計的方法.

[關鍵詞] 教學設計;方法;情境

今年，本校青年教師“教學比武”中，有幾位教師不約而同地選擇了“等比數列的前n項和公式”教學. 筆者近距離學習觀摩了教師們的表現，產生了一些思考. 現摘錄“情境創設與公式推導”的幾個教學片段，對教師們的構思與設計談一孔之見.

情境創設

創設豐富的教學情境是激發學生學習興趣的一種重要策略，也是為學生提供學習素材與知識背景的基本手段[1]. 創設良好的情境可為枯燥的高中數學教學增添不少色彩，使得抽象的知識變得生動，有效引發學生主動思考與探索.

1. 情境片段摘錄

情境1：窮人跟富人借錢，富人提出，第一天借一萬元給他，但窮人需還1分錢;第二天借兩萬元給他，窮人需還2分錢;第三天借三萬元給他，窮人需還4分錢，以此類推，富人每天借給窮人的錢比前一天多一萬元，而窮人每天還給富人的錢是前一天所還錢的兩倍，到30天時互不相欠. 聰明的你們，幫他們算算在這場交易中，誰是獲利的一方？

情境2：印度是國際象棋的發源國，當時國王準備獎勵象棋的發明者，誰知發明者所提出的獎勵讓大家大跌眼鏡. 發明者希望國王賞給他一些麥子，麥子的數量為：在棋盤的第一格中獲得一粒麥子，第二格中獲得兩粒麥子，第三格中獲得四粒麥子，以此類推，棋盤上共有64格，每一格的麥子數量為前一格的兩倍. 大家算一算，國王究竟要獎勵給這位發明者多少麥子.

情境3：教師取出一堆小棒，帶領學生一起玩游戲，將小棒分成15堆進行擺放. 第一堆放1根，第二堆放2根，第三堆放4根，后面的每一堆都是前一堆的兩倍，請大家快速計算出這15堆小棒的總量.

2. 對比分析

觀察以上三個情境，這些都是大家耳熟能詳的內容，創設這幾個情境的效果在本節課究竟如何呢？真正有價值的情境，不僅是促進學生學習的認知背景，更是激發學生學習熱情的導火索.

情境1雖然成功地吸引住了學生的注意力，但又不可避免地少了點“數學味”，尤其對于高中生而言，有些內容未必幼稚了些. 一些自控力較差的學生，不由自主地將注意力轉移到了故事情境中（有趣），但對于故事里所折射出來的“理”往往視而不見，也就弱化了利用數學知識來分析與研究具體問題的意圖.

多位教師應用了情境2，從中也能看出教師對于滲透數學文化已經有所覺察，但學生對于這個情境也很熟悉，俗話說“熟悉的地方看不到好風景”. 此情境的應用，在本節課中并沒有達到理想的效果. 觀察學生的表現，不難發現該情境并沒有激起學生探索未知的動力與熱情. 該情境的創設可判定為流于形式的走過場.

想要吸引學生的注意力，激發學生自主求知與探索，讓學生充分感受思考的魅力，應著重在“情、理”上下功夫. 有些教師一味地追求趣味、視覺刺激與虛擬化人物的應用等，往往導致教學出現豐富的“境”，但缺少“情”.如一位教師應用情境2時，花了較長時間播放關于國際象棋的知識，看似渲染了課堂氣氛，激發了學生的熱情. 其實，深層次分析后發現此過程不但沒有誘發學生注意本節課的教學內容，甚至還分散了學生的注意力，使得問題的發現與解決缺失了“情”的驅動.

至于情境3，雖為學生所喜歡的游戲，但缺乏具體操作過程，更無撬動學生思維的“點”，屬于“無境無情”的敗筆. 高中生已經有了一定的抽象思維，于他們而言，過于簡單的情境無法達到理想的啟發效果. 鑒于此，在沒有合適的情境背景下，可直接應用充滿“數學味”的問題情境切入主題，反而能起到較好的教學效果. 如本節課，可直接提出問題：S=1+2+22+…+263的值是多少？

3. 優化方案

問題是推動學習的根本，恰到好處地提出具有吸引性、啟發性與挑戰性的問題是情境創設的主要價值所在，也是衡量所創設的情境是否成功的標準. 因此，在情境創設時，教師應充分開發背景材料，激發學生內心深處解決問題的緊迫之感.

【優化方案1】

情境創設的目的在于吸引學生的注意力、啟發思維、訓練心智等，那么問題情境形式要結合教學目標、教學內容與學生的認知特點等綜合因素. 高中生已經有了較好的抽象邏輯思維，對于與數學本身相關的問題有著較高的思維操作能力，對于知識本身的問題情境有著較強的接受能力. 鑒于此，教師設計問題情境時，可從簡約而不簡單著手，讓學生思索問題時揭示內心困惑，從而更深層次地進行探究.

等差數列與等比數列作為兩種特殊數列，學生已經有了大致了解. 在對等比數列的定義、通項公式等已經有了一定認識的基礎上，類比等差數列的研究過程，本節課要探討的問題是什么呢？基于此思考，教師可單刀直入地引入本節課的探討主題，將學生的注意力集中在“什么是等比數列的前n項和”及“如何求等比數列的前n項和”.

【優化方案2】

在教學中，滲透數學文化是促進學生全面發展的重要手段之一. 本節課的情境創設，可從史料中尋找素材，讓學生從多元化角度感知數學文化與歷史，以提高學生對數學學科價值的認識.

結合馬格尼茨在《算術》中記載的“賣馬”素材，創設以下情境：

有一個人想在集市上買一匹馬，付給商家156盧布后又后悔了，他認為這匹馬不值156盧布，便想把馬退給商家. 商家聞言后，提出了一個新的購買方案，即買馬蹄上的釘子送馬. 具體方案為：馬的每個蹄子上都釘著6枚釘子，買者只需支付第一枚釘子戈比（1盧布=100戈比），第二枚釘子戈比，第三枚釘子1戈比，以此類推. 此人一聽，覺得用這個購買方案肯定花不到10盧布就能得到這匹馬，便欣然同意了. 但付款時他卻傻眼了，大家幫他算一算，這筆交易中共花掉了多少錢？

這是一個集趣味性、文化性與價值性于一體的情境，學生分析、探索這個情境后，很快就將精力投入到“等比數列的前n項和”的探究中. 顯然，這是一個有血、有肉、有料、有趣的情境，為本節課教學奠定了良好的情感基調.

公式推導

課堂教學設計應充滿智慧，讓學生的思維卷舒開合、張力十足. 成功的課堂，不僅要有猜想、驗證與積極的情感體驗，還要有思辨的氛圍與“再創造”的機會，讓學生親歷知識的形成與發展過程[2]. 本節課的教學重點在于引導學生感受思維的力量，經歷公式的推導過程，掌握相應的知識與技能，獲得解決問題的能力.

1. 教學片段摘錄

第一步，求解“國王獎勵”問題.

師：我們求解等比數列1，2，22，…，263的和時，計算實質是什么？

生1：計算實質為：求以1為首項，2為公比的等比數列的前64項和，列式為S=1+2+22+…+263①.

師：若將式①的兩邊同時乘公比2，可得到怎樣的等式？

生2：2S=2+22+23+…+264②.

師：我們一起來觀察式①與式②，它們之間有怎樣的關系？通過這兩個式子我們能獲得S的值嗎？

（學生沉默）

師：式②減式①可以把相同的項消除掉，獲得結論S=264-1.

第二步，回歸到等比數列進行求和.

師：在以上求和過程中，我們通過相鄰項關系的突破，消除相同項達到了解題目的. 這種計算方法就是我們常說的“錯位相減法”，其適用于一般等比數列求和問題嗎？現在我們一起來探討，將這種方法應用在推導等比數列前n項和公式中：

已知S=a+aq+aq2+…+aqn-1①，在式①的兩邊同時乘公比q，可得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn②.由①-②，得（1-q）S=a-aqn.當q=1時，S=na;當q≠1時，S==. 整理得S=

na，q=1;=，q≠1.（教師特別強調“分類討論”的注意事項，總結“錯位相減法”的過程與步驟，要求學生深刻理解并掌握“乘q、錯位、減”等步驟）.

第三步，拓展公式的推導.

師：除了以上方法，大家還有其他的推導方法嗎？

當學生還沉浸于思考中時，教師提出：結合等比數列的定義去想. 教師尚未給學生充足的思考空間，接著又講起了“等比性質法”與“整體代換法”.

2. 分析與優化方案

教材雖好，但呈現給我們的結論都是靜止的. 教師應結合學生的身心發展規律，將靜止的書本知識轉化成動態且富有生命力的問題，鼓勵學生在猜想、類比、總結與提煉中體驗知識形成與發展的過程，感受數學獨有的魅力[3]. 但以上公式推導過程，顯然少了一些靈動性，整個過程都以教師傳授為主，學生的自主能力未能有效發揮.

（1）滲透從特殊到一般的數學思想

特殊到一般是指從特殊的信息中提取一般規律的過程，也是一個充滿創造力的過程. 觀察以上教學過程，整個教學步驟看似遵循了學生從特殊到一般的認知發展規律，教師也提出了具有啟發性的問題供學生探討，但并未給學生留下充足的時間與空間去思考，結論由教師直接給出. 學生的思維因缺乏深度思考，而削弱了學習體驗，導致歸納與演繹推理過程中的思維斷層.

不論是“錯位相減法”，還是“等比性質法”，抑或“整體代換法”，都由教師機械式地直接傳授給學生，完全忽略了學生自主探索的過程. 鑒于此，筆者設計了以下兩個優化方案.

【優化方案1】

引導學生歸納S=20+21+…+2n-1的結論，即S=1，S=3，S=7，…，然后猜想S=2n-1. 在此基礎上，教師鼓勵學生自主歸納q=3時的結論，即30+31+32+…+3n-1=. 至此，啟發學生猜想一般性結論：1+q+q2+…+qn-1=（q≠1）. 等比數列求和公式在學生的自主探索中躍然紙上.

【優化方案2】

等比數列的公比存在兩種情形，即q=1與q≠1.

當q=1時，毫無懸念，S=na.

當q≠1時，S=a+aq+…+aqn-1，該怎么求呢？教師可引導學生從項數較少的情況出發，如當n=1，2，3時，S=a，S=a+a=a（1+q），S=a+a+a=a（1+q+q2）. 鼓勵學生結合1+q+q2的代數結構進行聯想，獲得立方差公式的因式，得到S=，回歸到n=1，2時，可得S=，S=，那么對S=的猜想應運而生.

（2）探尋“錯位相減法”的教學價值

新課標強調：要尊重學生原有的認知水平，盡可能地為學生提供充足的思維活動空間，讓學習經歷一種思維自然生長的過程. 在教學中，教師若能激活學生的思維，則不僅有助于學生理解與掌握知識和技能，還能讓學生發現知識背后的數學思想方法，體會歸納演繹過程，為形成良好的數學觀念奠定基礎.

學生原有認知體系中，與本節課相關的內容是等差數列前n項和公式的推導方法. 基于此，教師可帶領學生先回顧等差數列前n項和公式的推導過程，重溫“等差數列形式上的倒序相加，其實結合的是數列項的性質”. 由此，引發學生思考：求等比數列的前n項和，應從哪個角度進行分析？該如何構建公式？能否參考等差數列求和時應用的“倒序相加法”，獲得一個常數列呢？

當學生深入分析與探索以上問題后，教師還可以鼓勵學生在原有基礎上延伸思維，通過其他途徑找到公式的推導方法. 如從等比數列的定義出發，累加等式a+a+…+a=q（a+a+…+a）. 這種方法顯然比直接構造方程更合理，與學生的最近發展區也更契合. 隨著探究的逐漸深入，以及創新方法的應用，學生不僅能體會到方程思想的妙處，還能辯證地認識各種解決方法之間的聯系，學生的數學核心素養在自主探索中也能得以有效發展.

教學思考

數學思想方法一般隱含在知識內部或數學概念、定理的形成過程中，而精心編擬的教材常常會掩蓋知識產生、發展過程中所蘊含的思想方法. 教師應著力于知識規律的發現與探索，優化教學設計，為學生的思維打開一扇窗，啟發學生思維發展，讓學生通過自主思考、探索，發現知識的形成過程，感知其中所蘊含的數學思想方法等，將深層次的知識與思維的潛形態轉化為顯形態.

總之，站在一定高度的課堂教學設計，不僅能為課堂打開一扇窗，還能為學生的思維提供更廣闊的空間，讓學生感知、體驗、領悟教材所呈現的結論外，享受教育帶來的愉悅感.

參考文獻：

[1] 何克抗. 建構主義的教學模式、教學方法與教學設計[J]. 北京師范大學學報（社會科學版），1997（05）：74-81.

[2] 周琦. 核心素養理念下的數學變式教學——以“找規律”的教學設計為例[J]. 數學教學通訊，2020（20）：40-41+45.

[3] 任全紅. 數學教學設計視角：關注數學思維過程[J]. 教學與管理，2013（36）：108-110.