一道函數不等式引發的指對數跨階變形的思考

潘小峰　唐鵬

不等式恒成立問題一直為高考熱點，尤其是指數和對數相交叉的隱零點問題，本文主要介紹通過指對數跨階變形可將復雜函數轉換為兩個簡單的函數復合，再運用指對數的常見不等式情形有助于解決不可分參恒成立問題.

原題 已知函數f（x）=x+alnx（a∈R）.

分析：第（1）問略.第（2）小問通過切線方程可解得a=b=1，原題等價于證明xex≥lnx+nx+1對x>0恒成立，只需在③式中令p=q=1，m=0，x0=0即可得n=1，進一步分析只需回代驗證n≤1使得原式成立即可.

用切線去放縮證明不等式，主要是因為指對數的凹凸性不一致，如圖5所示，指數型圖象為下凸，對數型圖象為上凸，直線l可以夾在兩圖象的中間，但是如果不等號兩邊圖象凹凸性一致，則不能用直線整體放縮，只能局部放縮，或者用其它方法來處理.

指對數跨階變形可以將復雜的函數轉換為兩個簡單的函數復合，通過整體代換，可以簡化證明不等式，熟練掌握幾個常見的指對數不等式有利于問題的解決，在日常教學中應注重滲透和引導，讓學生對指對數跨階變形的概念形成過程，概念的特征，以及使用條件的合理性和必要性有深層的認知，讓學生經歷由熟知到真知的深度學習過程，這樣有利于學生對指對數跨階變形的掌握和靈活運用.

參考文獻

［1］杜啟達，李如密.教師要學會“藏”的藝術［J］.福建教育，2022（05）：64.

［2］潘小峰，聶振榮.去外衣看本質初探切線放縮［J］.中學生數學，2022（03）：17-18.

本文系基金項目：江蘇省現代教育技術研究2021年度“基于現代信息技術的高中數學教學模式創新研究”立項課題（編號2021-R-94387）階段性研究成果.