一道向量面積比問題的探究

董文娟

1 試題呈現(xiàn)

例題 已知點(diǎn)P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn)，2PA+3PB+5PC=0，若F為AC的中點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn)，PF/PG= ，ΔAPB，ΔAPC，ΔBPC的面積之比為 .

2 解法賞析

分析：（1）因?yàn)?PA+PC+3PB+PC=O，F(xiàn)和G為中點(diǎn)，故4PF+6PG=O，則PF/PG=3/2，（2）三角形的面積之比，如何刻畫面積，三個(gè)三角形之間的面積有何種關(guān)系，不同的入手點(diǎn)有不同的解答思路.

思路1：基底法

基底法是解決向量問題的常見方法，選定平面的一組基底后平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以用其線性表示，從而化為基底向量減少未知量，將問題簡化.基底法一般會(huì)結(jié)合向量的基本定理，從數(shù)形結(jié)合角度去理解問題，綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等.

解法1：如圖1，以AB，AC為基底，因?yàn)?PA+3PB+5PC=0，所以2PA+3（PA+AB）+5（PA+AC）=0，得AP=3/10AB+1/2AC.由平面向量基本定理

AM=3/10AB，AN=1/2AC，則SΔAPB/SΔABC=AN/AC=1/2，SΔAPC/SΔABC=AM/AB=3/10，則SΔBPC/SΔABC=1－1/2－3/10=1/5，所以ΔAPB，ΔAPC，ΔBPC的面積之比為5：3：2.

評注：三角形中選擇相鄰兩邊作為一組基底，將其他向量都用該基底線性表示，根據(jù)平行四邊形法則，構(gòu)建平行四邊形得到邊的關(guān)系，從而得到三角形面積關(guān)系.

思路2：坐標(biāo)法

向量和坐標(biāo)一一對應(yīng)，因此對于向量的問題除了直接利用向量解決，還可以考慮從坐標(biāo)入手.根據(jù)題目特點(diǎn)，本題除了一般的建系方法外，還可以利用特殊位置特殊點(diǎn)來簡化坐標(biāo)，減少運(yùn)算.

解法2：（特殊位置）如圖2，不妨取PA=（1，0），PB=（0，1），因?yàn)镻C=－2/5PA－3/5PB，此時(shí)C（－2/5，－3/5），易得面積之比為5：3：2.

解法3：（特殊圖形）如圖3，不妨取ΔABC為直角三角形，且取A（0，1），B（0，0），C（1，0）.設(shè)P（x，y），代入2PA+3PB+5PC=0得P1/2，1/5，易得面積之比為5：3：2.

解法4：（一般情況）如圖4，不妨取A（m，n），B（0，0），C（a，0），設(shè)P（x，y），代入2PA+3PB+5PC=0中得n=5y，因此SΔBPC/SΔABC=1/5，同理可得SΔAPB/SΔABC=1/2，SΔAPC/SΔABC=3/10，易得面積之比為5：3：2.

評注：坐標(biāo)化后向量問題數(shù)量化，向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題.對圖形或者點(diǎn)位置沒有具體要求的問題，可將條件特殊化再建系.

思路3：等和線定理

在平面內(nèi)一組基底OA，OB及任一向量OP，OP=λOA+μOB，若點(diǎn)P在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ+μ=k（定值），反之也成立，我們將直線AB以及與直線AB平行的直線稱為“等和線”.

解法5：如圖5，過點(diǎn)P作直線MN//BC，延長AP交BC于點(diǎn)D.由M，N，P三點(diǎn)共線可知AP=xAM+yAN，其中x+y=1.由基底法可知AP=3/10AB+1/2AC.設(shè)AP=kAD，根據(jù)等和線定理得k=3/10+1/2=4/5，故SΔBPC/SΔABC=1/5，同理SΔAPB/SΔABC=1/2，SΔAPC/SΔABC=3/10，易得面積之比為5：3：2.

評注：在平面向量基本定理的表達(dá)式中，如果需要研究兩系數(shù)的和時(shí)，可以用等和線法.根據(jù)等和線定理，得到三角形邊的關(guān)系，由邊的關(guān)系可得到面積關(guān)系.

思路4：綜合幾何法

對向量的比例關(guān)系，從圖形上探求三角形的邊之間的關(guān)系，從而得到面積之間的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題的優(yōu)勢所在.

解法6：如圖6，取PA′=2PA，PB′=3PB，則PA′+PB′=PD=－5PC，故P，D，C三點(diǎn)共線，則SΔA′DG=SΔB′DG=SΔA′PG=SΔB′PG=S，

故SΔPAB/SΔPA′B′=1/6，SΔPAC/SΔPA′G=1/5，SΔPBC/SΔPB′G=2/15，故SΔPAB=1/3S，SΔPAC=1/5S，SΔPBC=2/15S，易得面積之比為5：3：2.

解法7：（面積公式）如圖7，延長PA，PB，PC使PA′=2PA，PB′=3PB，PC′=5PC，則PA′+PB′+PC′=0，則P為ΔA′B′C′的重心，則SΔPA′B′=SΔPB′C′=SΔPA′C′，SΔPBC/SΔPB′C′=1/2PB·PC·sin∠BPC/1/2PB′·PC′·sin∠BPC=PB·PC/PB′·PC′=1/15，同理SΔPAC/SΔPA′C′=1/10，SΔPAB/SΔPA′B′=1/6，易得面積之比為5：3：2.

評注：幾何法從圖形上直觀分析面積比關(guān)系，不用大量的定量計(jì)算，對平面幾何知識要求較高.

利用系數(shù)關(guān)系構(gòu)造新的三角形將點(diǎn)P位置特殊化為熟悉的重心，利用三角形面積公式，將面積比轉(zhuǎn)化為邊之比.

思路5：平面向量的外積

向量的外積×=sin〈，〉，在平面向量中×0=0，×=0，×=－×，因?yàn)槿切蚊娣e公式S=1/2absin〈，〉與向量的外積運(yùn)算結(jié)果類似，因此利用向量的外積運(yùn)算可以很好解決三角形的面積問題.

解法8：由2PA+3PB+5PC=0，故PA×2PA+3PB+5PC=0，展開得到2PA×PA+3PA×PB+5PA×PC=0，則3PA×PB=－5PA×PC=5PC×PA，因此3SΔPAB=5SΔPAC，同理2SΔPAB=5SΔPBC，2SΔPAC=3SΔPBC，易得面積之比為5：3：2.

評注：平面向量的外積運(yùn)算，可以運(yùn)用在求三角形的面積問題中，在此考慮外積的大小不考慮其方向，要熟知外積運(yùn)算的性質(zhì).

思路6：奔馳定理法

向量的奔馳定理揭示了三角形的面積和向量之間的關(guān)系，對于解決三角形的面積比問題，空間四面體的體積比問題等都適用.

解法9：由SΔPBC·PA+SΔPAC·PB+SΔPAB·PC=0，易得面積之比為5：3：2.

評析：奔馳定理的證明可以參考解法8，奔馳定理可以迅速的解決該面積比問題.對于點(diǎn)P在三角形外的問題，點(diǎn)P為三角形的四心問題，及對于空間四面體的問題也由相應(yīng)的推廣［1］.

3 簡單應(yīng)用

3.1 變形求面積比

例1 設(shè)P是ΔABC所在平面上一點(diǎn)，滿足PA+PB+PC=3AB.若SΔPAC=1，SΔPAB=.

簡析：由PA+PB+PC變形得4PA-2PB+PC=0，因?yàn)镻B前的系數(shù)為-2，則點(diǎn)P在三角形外，SΔPBC：SΔPAC：SΔPAB=4：2：1，所以由SΔPAC=1，得SΔPAB=1/2.

3.2反求向量式系數(shù)問題

例2 （2021泉州一模）如圖8，在ΔABC中，點(diǎn)D在直線AC上，且AD=2/3AC，點(diǎn)E在直線BD上，且BD=2DE，若AE=λ1AB+λ2AC，則λ1+λ2的值是.

簡析：由AE=λ1AB+λ2AC得1－λ1－λ2EA+λ1EB+λ2EC=0，故SΔEBC：SΔEAC：SΔEAB=1－λ1－λ2：－λ1：λ2.又AD=2/3AC，BD=2DE可知SΔEBC：SΔEAC：SΔEAB=3：3：6，因此λ1=－1/2，λ2=1，故λ1+λ2=1/2.

變式 設(shè)點(diǎn)P在ΔABC內(nèi)且為ΔABC的外心，∠BAC=30°，如圖9．若ΔPBC，ΔPCA，ΔPAB的面積分別為1/2，x，y，則x+y的最大值是．

簡析：由三角形面積比得1/2PA+xPB+yPC=0即AP=2xPB+2yPC，平方AP2=4x2PB2+4y2PC2+8xyPBPCcos∠BPC，點(diǎn)P在ΔABC內(nèi)且為ΔABC的外心，故PA=PB=PC，且∠BPC=2∠BAC=60°，故x2+y2+xy=1/4，x+y2=1/4+xy≤1/4+x+y/22，故x+y≤3/3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3/6時(shí)等號成立.

評注：點(diǎn)P在三角形內(nèi)或者三角形外，三角形面積都有類似的結(jié)論，根據(jù)向量關(guān)系先得到點(diǎn)所在位置，利用對應(yīng)的面積和系數(shù)比關(guān)系得到結(jié)果.逆向思維可以由面積比得到系數(shù)之比，從而得到向量的系數(shù)關(guān)系.遇到向量的系數(shù)問題，結(jié)果圖形考慮是否可以利用三角形的面積比問題.

4 小結(jié)

向量因其獨(dú)特的雙重性，在解題中靈活多變的思路，成為學(xué)生懼怕的對象.對于面積比問題的多解分析，更加透徹理解面積比問題的處理，從而對一些向量式的系數(shù)問題模式化.

對一題多解，在教學(xué)中不可一刀切只講一種方法，也不可面面俱到，應(yīng)呈現(xiàn)給學(xué)生一些有價(jià)值的想法，達(dá)到對問題的深刻理解，對問題考查方式的全面理解，對解法的靈活運(yùn)用，從而對問題更加全面的思考.通過一題多解，歸納多題同解，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)思想方法深入理解.從一個(gè)有意義且不復(fù)雜的題目去挖掘各個(gè)方面的信息，從一道題領(lǐng)悟無線道題的可能.

參考文獻(xiàn)

［1］鐘建新.奔馳定理的證明、應(yīng)用與推廣［J］.數(shù)理化解題研究，2021（25）：42-43.

［2］向城，楊小兵，劉成龍.對一個(gè)向量面積比問題的研究［J］.中學(xué)生理科應(yīng)試，2019（1）：1-3.