圓錐曲線的又一奇妙性質(zhì)

李剖華

受文［1］啟發(fā)，筆者最近探得了圓錐曲線的過頂點(diǎn)且互相垂直的兩弦的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)，現(xiàn)以定理形式介紹如下：

定理1 如圖1，設(shè)A1、A2分別是雙曲線C：x2/a2－y2/b2=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M、N為雙曲線C上不同于A1、A2的兩點(diǎn)，且滿足MA1⊥NA1，則（1）直線MA2與直線NA1的交點(diǎn)R在定直線l：x=a（b2－a2）/a2+b2上；

（2）若a≠b，則直線MN過定點(diǎn)Q（a（a2+b2）/b2－a2，0）；若a=b，則直線MN與x軸平行．

證明：（1）設(shè)M的坐標(biāo)為（x0，y0），則直線MA1的斜率k1=y0/x0+a，∵M(jìn)A1⊥NA1，∴直線NA1的斜率k2=－1/k1=－x0+a/y0.∴直線NA1的方程為y=－x0+a/y0（x+a）①，直線MA2的方程為y=y0/x0－a（x－a）②，聯(lián)立①②消除y得－x0+a/y0（x+a）=y0/x0－a（x－a），化簡、整理可得（1+x20－a2/y20）x=a（1－x20－a2/y20）③.∵點(diǎn)M（x0，y0）在雙曲線C上，∴x20/a2－y20/b2=1，∴y20=b2/a2（x20－a2）④，將④代入③即得x=a（b2－a2）/a2+b2，即直線MA2與直線NA1的交點(diǎn)R在定直線l：x=a（b2－a2）/a2+b2上．

參考文獻(xiàn)

［1］李康海．圓錐曲線焦點(diǎn)弦的一個(gè)有趣性質(zhì)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2001，7.

［2］張漢清．圓錐曲線的一個(gè)奇妙性質(zhì)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2001，9.