優化數學知識體系 提升數學核心素養

摘 要：中考總復習是初中數學學習的重要環節，其目的是讓學生在復習過程中，對整個初中所學數學知識進行整合，優化數學知識體系.文章以二輪復習專題課“圓中銳角三角函數問題”為例，闡述如何在教學實踐中全面提高學生的核心素養，發展學生數學眼光，提升學生數學思維，強化用數學的語言表達現實世界的能力.

關鍵詞：初中數學；總復習；知識體系；核心素養

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）20-0041-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡介：夏鳴（1981.10-），男，江蘇省常熟人，本科，中學一級教師，從事

初中數學教學研究.[FQ）]

中考總復習是初中數學學習的重要環節，與新授課的學習有很大的區別.在中考復習階段，學生已基本掌握了基礎知識和基本技能，初步具備了一定的數學知識體系和數學核心素養，總復習是學生對初中數學知識的再一次深入學習.復習的目的是讓學生在復習過程中，對所學知識進行整合，優化數學知識體系，并且在復習過程中，發展學生用數學眼光觀察現實世界的能力，力求提升學生的數學思維能力和數學核心素養.本文以二輪復習專題課“圓中銳角三角函數問題”為例，談談在教學過程中如何優化數學知識體系，提升數學核心素養.

中考數學總復習中，一輪復習通常按教材順序對初中階段的主要知識點進行縱向梳理，重點在于整合教材，幫助學生構建完整的初中數學知識體系.二輪復習通常以專題復習為主，立足課本知識，結合中考試題，注重知識結合，所以二輪復習的重點應發展學生思維能力，培養學生分析問題和解決問題的能力，從而達到優化數學知識體系，提升數學核心素養的目的.“圓中銳角三角函數問題”是兩種知識相結合的一節專題課，以圓為載體，研究銳角三角形函數問題，本節課從三個基礎題引入.

1 知識激活，梳理數學知識體系問題1 如圖1，⊙O的直徑AB為10，AC為弦，且AC=8，則sin∠BAC=_______；

圖1 問題1圖圖2 問題2圖?? 圖3 問題3圖

問題2 圖2是由邊長為1的小正方形組成的網格，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經過點C、D，則tan∠ADC=_______；

問題3 如圖3，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切，切點為B，BC=6，若cosA=45，則直徑AB=_______，連接BD，則BD=_______.

以三道圓中的銳角三角函數問題為例，引出本節課所研究的復習內容，同時給出了三個基本圖形，第1題構造直徑所對的圓周角是直角，即構造了直角三角形；第2題不僅需要構造直角三角形，同時還需將所求角轉換成直角三角形中與之相等的圓周角;第3題本身就是在一個直角三角形中，只是已知銳角三角函數值，求線段長度，除了已知元素和求解元素不同，其基本思想相同，同時可稍作延伸，求線段BD長度的方法不唯一.

由此可以發現，在本節課中學習，學生需激活并梳理圓與銳角三角函數兩個知識體系，但其實質是在圓中找到直角三角形這一基本圖形.圓作為一種比較特殊的圖形，在圓中比較易于構造直角三角形和轉換相等的角.在初中階段，要運用銳角三角函數解決問題，必須將銳角置于直角三角形中.基于此，本節課的基本思想是構造和轉換，基本圖形是直角三角形.

2 知識運用，發展學生數學眼光

例1 已知，如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，BC=6，tan∠BAC=34，求⊙O的直徑.

圖4 例1題圖

例1作為知識運用，是知識激活的延伸，是對基本思想和基本圖形的鞏固，進一步強調基本思想是構造和轉換，即既要構造直角三角形，又要將已知銳角∠BAC轉換到所構造的直角三角形中，基本圖形即為構造的直角三角形.

例1的目的是培養學生用數學的眼光觀察現實世界，即培養學生抽象能力、幾何直觀、空間觀念和創新意識，從而使學生能在復雜圖形中構造出基本圖形，進而運用所學知識解決問題.初步構建解決問題的基本數學知識體系，整合已有知識體系，如圖5所示.

圖5 圖中銳角三角函數知識體系

3 思維拓展，培養學生數學思維

例2 如圖6，已知△ABC內接于⊙O，D為AB延長線上一點，過點D作⊙O的切線，切點為E，DE∥BC，連接BE，CE，AE.

（1）求證：△ACE∽△EBD；

（2）若AC=9，BD=4，求BE的長度；

（3）在（2）的條件下，若sin∠BAE=35，求⊙O的半徑.

圖6 例2題圖

例2是例1的提升，與例1相比，其綜合性更強，需要用到更多的知識，同時也不能從題設條件直接找到解決問題的方法，只能從已知題設入手，引導學生用數學的思維思考現實世界，即培養學生運算能力、推理意識和推理能力，通過題設條件進行有效推理，從單個條件這一“條件點”，推理得出結論形成“結論線”.

圓DE是⊙O的切線連接OE則OE⊥DE

四邊形ABEC內接于⊙O∠DBE=∠ACE

兩直線平行同位角相等內錯角相等

直角三角形等積法勾股定理銳角三角函數

圖7 結論線圖

如圖7所示，例2共有4個條件：①DE是⊙O的切線；②DE∥BC；由于圓的特殊性，還有2個隱藏條件：③四邊形ABEC內接于⊙O；④同弧或等弧所對的圓周角相等.由條件可知，解決本題主要用到三個知識：圓、平行線、直角三角形.第（1）問證三角形相似，涉及相似三角形知識，需找角相等或邊成比例，上述結論中角相等較多而沒有對應邊成比例，因此必然找兩角對應相等，得到兩三角形相似；第（2）問是第一問的延伸，由相似三角形得到比例關系即可，因此關鍵即找到BE與CE關系，從上面結論來看，必然由切線這一條件入手；第（3）問是例1的延伸，易于解答.

由于單個條件是孤立的，通過推理得到“結論線”，再將多個結論有效串聯起來，這種串聯不是簡單地堆砌，需要圍繞同一目標，形成解決問題的基本知識體系.學生在解決問題過程中，形成“點→線→面”的數學思維模式，構建“知識面”，初步形成解決問題的數學知識體系，并在解決問題的過程中進一步整合數學知識體系，培養數學思維，提高解題能力，提升數學核心素養.

4 綜合應用，強化數學語言表達能力例3 如圖

8，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點，BC與AD、OD分別交于點E，F.

圖8 例3題圖

（1）求證：DO∥AC；

（2）求證：DE·DA=DC2；

（3）若tan∠CAD=12，求sin∠CDA的值.

本題是2019年蘇州中考第26題，主要涉及圓、平行線、相似三角形、銳角三角函數、勾股定理、二次根式等知識，涵蓋了初中三年所學

數學知識，其綜合性較強，限于篇幅，求解過程從略.

本題是一道以圓為基本圖形的綜合題，題目給出的題設條件也很少，只有2個，即①AB為⊙O的直徑，②AB為⊙O的直徑.學生只能從這兩個條件即兩個“點”出發，進行推理分析形成“線”，得到更多信息，前兩問難度較低，基本上由“點”到“線”即可解決問題.第（3）問已知圓中銳角三角函數值，求圓中另一個角的三角函數值，方法也較多，但實質還是要將銳角放到直角三角形中才能解決.因此，只要緊抓本節課的主題：解決圓中銳角三角函數問題的基本思想是①構造直角三角形，②將所求角轉換成與之相等的其他角，甚至是這兩種思想相結合.同時，在解決問題的過程中可以發現，直角三角形中線段長度都是未知的，不方便求解，所以需要設線段長度才能解決問題.由此可以發現，將“線”串聯成“面”的過程中，也需要一些基本圖形、基本思想方法甚至基本運算方法等“粘合劑”，從而更好地優化數學知識體系，提升解題能力.

在教學過程中，教師不僅可引導學生總結歸納基本數學圖形、基本數學方法等，也可以將思維圖形化，利用數字和圖形的直觀性，

將數學知識直觀地展現在學生眼前，這樣更有利于學生對數學的學習、理解和記憶.數學是一門系統學科，是由許多單獨的知識點系統化整合得到的數學知識體系.在教學過程中，教師應幫助學生建立數學知識體系.

數學知識體系不僅包括數學知識，還應將基本數學思想體系、常用數學方法體系、數學基本圖形體系等納入整個數學知識體系，從而優化數學知識體系.

數學核心素養是在數學學習過程中逐漸形成和發展的，不同學段發展水平不同.教師應在每一節數學課的教學中，逐步發展學生的數學眼光，培養學生的數學思維，讓學生學會用數學語言表達現實世界，從而達到提升學生數學核心素養的目標.數學知識體系的構建和學生核心素養的形成都需要經過漫長的過程，學生具備了一定的數學知識體系和數學核心素養以后，還需進一步進行學科內部的融合，甚至是跨學科的融合，因此學生還需不斷地學習，進一步優化知識體系，提升核心素養.

參考文獻：［1］ 孔傳輝.研磨知識體系，提升復習思維［J］.中學數學（初中版），2019（9）：19-22.

［2］ 朱炎林.聚焦數學解題方法，創新專題復習課型［J］.中學數學（初中版），2020（9）：35-36.

［3］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：5-6.

［責任編輯：李 璟］