初中數學教學中學生幾何作圖能力的培養策略研究

朱海峰

［摘? 要］ 培養學生的幾何作圖能力，既能促進學生對幾何知識的理解，又能發展學生的數學學科核心素養，因此其應當成為初中數學教學的重要抓手. 培養幾何作圖能力，可以讓學生擁有一個概括所學知識的機會，可以給學生提供更為廣闊的數學學科核心素養落地空間. 幾何作圖能力的培養策略可以概括為：運用任務驅動的教學機制，讓學生解決明確的知識學習任務或問題，然后結合自己的作圖過程，通過體驗與反思形成作圖能力.

［關鍵詞］ 初中數學；數學教學；幾何作圖能力；培養策略

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對義務教育階段數學學科核心素養的表述分為兩個層面：一是從數學學科核心素養的構成角度，明確其是指會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界；二是從核心素養在初中階段的主要表現，明確核心素養主要表現為學生的抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念、應用意識、創新意識. 縱向對比后可以發現，這樣的闡述相對于原有的課程標準來說是一個重大的突破，這也意味著核心素養導向下的初中數學教學應當以核心素養為導向，應當致力于培養學生的、以上面所闡述的核心素養的兩個層面為內容的核心素養.

確認了這一目標之后，一線教師有一個重要的任務，那就是通過怎樣的教學途徑實現這些目標. 很顯然要達成這些目標不能一蹴而就，在某一具體數學內容的教學中，也不可能做到面面俱到，而結合教學內容，瞄準數學學科核心素養中的某一組成要素，讓學生在學習相關知識的同時發展相應的核心素養，應當是最為現實的教學途徑. 本著這樣的認識，筆者認為，在初中數學教學中，教師應當關注學生的能力養成. 能力是多方面的，不同的數學知識所對應的能力也有所區別，在初中階段的幾何知識學習中，最常見的是平面幾何知識. 學生面對幾何圖形時，常常需借助數形結合思想來理解圖形背后隱藏的數學規律，來理解數是如何描述形的. 在平面幾何知識的學習中，培養學生的幾何作圖能力，應當是基礎之基礎. 之所以這么說，是因為，當學生形成幾何作圖能力的時候，就意味著學生對圖形已經有了基本的理解，也意味著圖形所表達的數學規律已經能夠為學生所認識，而這些正對應著數學學科核心素養的養成，比如幾何直觀與空間想象. 從這個角度來看，培養學生的幾何作圖能力，既能促進學生對幾何知識的理解，又能發展學生的數學學科核心素養，因此其應當成為初中數學教學的重要抓手.

下面以教學蘇科版初中數學“軸對稱的性質”時的作圖為例，談談筆者對培養學生幾何作圖能力的一些思考和做法.

初中數學教學中學生幾何作圖能力的培養價值

相對于一般的數學知識學習而言，幾何作圖能力的培養有一個顯著的特點，那就是需要學生動手作圖. 因此有人說，幾何作圖的過程承載著“做數學”理念，在手腦協作的過程中培養幾何直觀、數學模型、邏輯推理等素養［1］. 對于這樣的闡述，筆者的理解是：幾何作圖的過程確實是一個動手做的過程，學生需要在做的過程中理解數學規律，因此這里有著“做數學”的理念；從學習心理學的角度來劃分，做指向動作，因此一定程度上具有動作技能的意味. 但是作圖又不能完全理解為動作技能，因為對初中生而言，形成基本的作圖能力，并不是對某一個圖形進行重復作圖，而是基于對數學知識的掌握，在大腦當中形成豐富的基本圖形表象，然后在具體的情境下按照要求作圖，或者按照需要去作圖，如此體現出來的能力才是真正的作圖能力. 因此，在初中數學教學中培養學生的幾何作圖能力，需要關注學生最基本的作圖技能，更要從數學知識掌握、數學規律理解等角度，形成更為系統的、能夠促進學生全面發展的能力.

重視學生幾何作圖能力的培養的價值是多方面的，站在學生的角度，幾何作圖能力的養成，既能促進學生對平面幾何知識及其相關數學規律的理解，又能讓學生獲得更好的數學學科核心素養培育空間. 下面從兩個角度來闡述：

其一，幾何作圖能力的培養，可以讓學生擁有一個概括所學知識的機會.

有課程專家指出，學生在學習的過程中最重要的能力之一就是概括能力. 當學生面對眾多數學知識的時候，當學生發現這些數學知識隱藏的規律時，概括就能充分發揮作用了. 因此概括既是一個發現規律的過程，又是一個整合知識的過程. 如果說概括能力是一種重要的能力，那么幾何作圖能力的培養就能夯實概括能力發展的基礎.

分析學生作圖時的心理可以發現，學生面對作圖任務時，要么是因為外界明確了作圖任務，要么是自己產生了作圖需要. 學生所作之圖，實際上近乎一種工具，一種思維工具. 在解決問題時，或者學習新知識時，學生作圖的過程可以理解為梳理自己思路的過程. 通過作圖，學生可以將學習的思路梳理得更加清晰，從而對數學規律的理解更加深刻. 所有這些目標的實現，都可以在幾何作圖能力培養的過程中實現.

其二，幾何作圖能力的培養，可以提供更為廣闊的數學學科核心素養落地的空間.

同上面所分析的那樣，數學學科核心素養的落地需要一個過程，這個過程必然是數學知識發生的過程，同時也是學生運用數學知識解決問題的過程. 平面幾何作圖的過程既涉及數學知識的學習，又涉及數學知識的運用，因此該過程必然伴隨著數學抽象（幾個圖形原本就是數學抽象的截圖）、數學運算（初中數學幾何作圖有一個基本的原則，那就是作圖盡量要準，不論是線的長短，還是角的大小），幾何直觀與空間觀念的體現也非常充分. 幾何直觀對應著學生的直覺，能使學生面對具體問題時有相對準確的圖形表象的感覺. 如果學生面對具體問題時能夠有這種準確的直覺，那就說明學生的幾何直觀與空間觀念得到了培養，幾何作圖能力的追求正在于此.

初中數學教學中學生幾何作圖能力的培養策略

通過上面的分析可以發現，在初中數學教學中培養學生的幾何作圖能力，無論是從知識理解的角度來看，還是從數學學科核心素養培育的角度來看，都有其必要性. 就算是從眼前最需要的應試角度來看，也應當看到越來越多的中考幾何問題不僅要求學生會用邏輯推理的辦法來解題，更是在幾何直觀能力培養方面提出了新的要求［2］. 因此，作為一名合格的初中數學教師，應當努力尋找能夠培養學生幾何作圖能力的策略，并且在具體的教學過程中加以運用. 筆者在學習相關理論的基礎上，借鑒他人的教學經驗，同時結合自己的教學習慣，結合自己對所教學生的分析與一般性規律的把握上，總結出了幾何作圖能力培養的策略：運用任務驅動的教學機制，讓學生解決明確的知識學習任務或問題，然后結合自己的作圖過程，通過體驗與反思形成作圖能力. 為了保證作圖能力的可持續發展，考慮到初中生的學習反思意識與能力，還可以讓學生在作圖后，在知識建構與問題解決后，回顧自己的作圖過程，反思其中的優點與不足，這樣可以讓學生的作圖能力得到更加充分的發展.

例如，教學蘇科版初中數學八年級上冊“軸對稱的性質”時，最基本的作圖是讓學生作出某一圖形關于某條直線的對稱圖形. 一個簡單的例子是：在圖1中，用三角尺畫出△ABC關于直線l對稱的△A′B′C′.

從知識難度的角度來看，這一作圖并沒有太高的難度，但是作圖本身卻有很重要的培養學生作圖能力的價值. 之所以做出這樣的結論，是因為讓學生完成這一作圖，本身就是將學生大腦當中所形成的關于軸對稱的抽象數學知識變成形象的圖形. 這樣的轉換，看起來是數學抽象的逆過程，但是如果站在學生學習心理的角度來分析，則可以發現正是這一轉換，可以讓學生在關于“軸對稱”這一概念的抽象表達與形象表達之間，形成較強的切換能力——其背后所對應的則是抽象思維與形象思維之間的切換熟練程度. 與此同時，完成這一作圖，需要學生對軸對稱的性質有準確的把握，需要學生對垂直、等距等有準確的把握——垂直對應著數學學科核心素養中的幾何直觀，而等距既與幾何直觀有關，又與運算相關，因此總體而言，這一作圖孕育著核心素養培育的機會.

具體教學時，筆者分析過學生的知識基礎與數學經驗，且這一題具有明確的驅動性任務——作一個三角形的軸對稱圖形. 要明確具體的任務，教師還有兩個選擇：一是給出現成的圖形；二是只給文字描述，不給圖形，讓學生從零開始，自己作圖. 實際教學時采用哪一種，取決于學生已有的水平.

當學生開始作圖時，教師應當巡回觀察，這是教師體驗教學現場最直接的方法. 筆者在教學中通過觀察（筆者選擇的是上述第二個選擇），發現學生的作圖有這樣幾種情形需要注意：一是學生選擇三角形的時候，對三角形的類型以及位置，會有一個預先的判斷，其目的是便于后面畫軸對稱圖形時更加簡易；二是學生在草稿紙上畫三角形的時候，部分學生不會注意位置的選擇，導致后續作圖時所畫軸對稱圖形跑到了紙外；三是作軸對稱圖形時，有的學生會作出三角形三個頂點的對稱點，還有的學生會嘗試通過沿對稱軸折疊，將三角形的三個頂點用筆尖壓了之后，找到對稱位置，最后作圖……

初中數學教學中學生幾何作圖能力的培養小結

分析學生的作圖方法可以發現他們的思路有所不同：有的學生大腦當中的表象比較清晰，有的學生則比較模糊；有的學生是根據軸對稱的性質作圖，有的學生則是根據定義作圖……學生的所有不同表現都是重要的教學契機，教師都可以用來引導學生進一步理解軸對稱圖形及其性質，從而讓學生在作圖的過程當中獲得對軸對稱知識的深入理解.

教師的一個很重要的任務，就是在學生作圖的過程中以及在作圖之后，引導學生的思維走向深入. 這也是作圖能力培養的重要組成部分. 如同本文一開始所分析的那樣，作圖并不只是一種動作技能，更多的是對數學知識的認知，只不過這種認知是通過作圖這一動作來反映的. 因此，培養學生的作圖能力本質上是發展學生的認知能力，是提高學生對數學知識的認知水平. 從數學學科核心素養的角度來看，自然是學生在作圖過程中表現出來的數學學科核心素養組成要素.

需要強調的是，評價學生作圖能力的強弱，不僅要關注學生的作圖結果，更要看學生的作圖過程. 類似上面的軸對稱作圖，需要關注作圖順序——先找點（三角形的三個頂點），然后作垂直等距，并找到相應的對稱點，最后將對稱點連接起來形成對稱圖形. 應當說只有學生按照上述作圖順序進行作圖，才能說明學生具有清晰的認知；如果學生的作圖順序混亂或者出錯，那就說明學生對相應數學知識點的理解是膚淺的、混亂的. 所以培養學生的幾何作圖能力，關注學生的作圖過程與細節，不僅影響學生對相關知識的理解水平，還影響學生核心素養的發展水平，所以教師教學時要尤為注意.

參考文獻：

［1］潘麗莎. 基于“做數學”理念的幾何作圖教學探索［J］. 教學與管理， 2022（07）：52-55.

［2］顧彩梅. “草圖”不草，助力幾何直觀——淺談初中數學解題教學中的有效作圖策略［J］. 中小學數學，2020（10）：1-3.