基于數學核心素養培養的課堂教學

［摘? 要］ 課程發展理論認為，教育是改變人類行為的重要手段. 如何發揮教學過程的內在力量，將學生的數學核心素養根植于課堂教學的方方面面？文章提出以下幾點措施：追根溯源，培養抽象能力；突出主題，啟發直觀想象；揭露關聯，提高數據分析能力；深化整理，獲得建模能力.

［關鍵詞］ 核心素養；課堂教學；抽象能力

數學核心素養是數學課程標準的核心內容，主要包括數學抽象、數學建模、邏輯推理、直觀想象、數學運算與數據分析六要素. 數學核心素養是數學課程發展的方向，又是個體發展的培養目標［1］. 自2014年教育部頒布《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》后，2017年高中數學課程標準正式將核心素養與立德樹人列為教育的核心目標.

因此，筆者在近些年的教學中，將目光鎖定在如何注重教學過程，培養學生的數學核心素養上. 經過長期嘗試與完善，獲得了不錯的效果. 本文以“三角函數的誘導公式”的教學為例，從課堂立意、教學策略、資源開發、價值取向等角度出發，具體談一談如何發揮教學過程的內在力量，將立德樹人根本任務落實在課堂的每一個環節，從根本上提升數學核心素養.

追根溯源，培養抽象能力

數學抽象是舍掉數學事物的所有物理屬性，對其進行研究的思維過程. 誘導公式研究的對象是誰？抽象的結論是什么？顧名思義，誘導公式為研究的結論，而研究的對象則為三角函數. 究竟該如何關注過程，對誘導公式進行分析與研究呢？教材利用單位圓定義了三角函數，圓又具有典型的對稱性，若利用圓的對稱性對三角函數進行研究具有可行性.

問題：是否可以單位圓關于x軸、y軸、直線y=x對稱（軸對稱），關于原點O對稱（中心對稱）等特征為出發點，獲取與三角函數性質相關的內容呢？

追根溯源，發現此問題涵蓋著以下四層含義：①單位圓為此問的起點；②圓的對稱性是思考問題的主要方法；③此問的研究對象為三角函數；④獲得相關性質為研究目標.

在學習過程中，一些有用的數據信息常隱匿在學生的思考中，但又不容易被察覺與提取，對于此問的研究目的，學生不會主動去思考. 因此，教師在教學設計與課堂預設時，應敏銳地觀察到制約學生“思考”的因素，換位到學生的角度進行教學立意與情境的創設，引導學生回歸到教材，激活思維，研究有用的數據信息.

學案作為促進學生自主學習的主要方案，教師編寫時應考慮到學生的實際情況與知識特點，使用恰當的問題進行導讀、導思，引導學生對接導學、導問與自主學習.

情境創設時，教師可從以下兩個問題著手：①有了0～2π的角后，再引入任意角的目的是什么？②掌握了銳角的三角函數后，為什么還要探討任意角的三角函數呢？以問題驅動學生探討、思考，讓學生從根本上認識到探索任意角、銳角以及0～2π角的三角函數關系的真正意義與價值，有效驅動學生的學習動機與學習興趣.

結合教材內容，對接學生的自主探究，能讓學生對研究對象、目標、方法、依據產生明確認識. 學生在研究活動過程中積累經驗，獲得深刻的學習體驗，形成個體獨有的思維方式. 從圓周而復始的運動特征出發，解讀誘導公式一，再與之前學過的相關內容銜接，為“誘導”立意，導向、導學，不僅能讓學生對誘導公式的形式產生明確認識，還能讓學生從本源上理解單位圓具有怎樣的意蘊，知道數學抽象的本質與內涵，對誘導公式的來龍去脈形成深刻認識，為接下來進一步探索夯實基礎，建立信心.

追根溯源，追的是知識的起源與根源. 單位圓、三角函數的定義等是誘導公式的起源，而化歸則是誘導公式的思想根源，意圖將任意角的三角函數問題化歸成銳角的三角函數問題去分析.

想讓學生從根本上掌握誘導公式，從學案導讀到課堂教學過程，都要從知識的本質出發，切忌流于形式走過場，要引導學生實實在在地參與知識形成與發展的過程，積極主動地進行探索與分析，掌握知識的內涵.

必要時，還可以借助現代化的教學手段，如多媒體的應用等，在充分保證學生智力活動的同時，豐富先行組織者，鼓勵學生在動態演示中，回歸到知識的本源中去，自主發現研究對象，在研究過程中抽象出相應的知識與技能，真正意義上做到“知其然且知其所以然”. 學生在此過程中，可獲得良好的思考習慣，提升數學抽象素養.

突出主題，啟發直觀想象

所謂的直觀想象是從空間想象的角度來感知事物的形態與變化特征，數學中最常見的是用幾何圖形來解決數學問題. 直觀想象能力決定了數學核心素養的形成與發展，它對學生的創新意識形成具有直接影響［2］.

教材上有這樣一個探究課例：若α為給定的角.

問題1：角π+α，π-α的終邊和角α的終邊具有怎樣的聯系？它們的三角函數間又存在怎樣的聯系？

問題2：角α的終邊與角-α的終邊之間具有怎樣的聯系？它們的三角函數間又存在怎樣的聯系？

問題3：角α的終邊與角（π／２）-α的終邊之間具有怎樣的聯系？它們的三角函數間又存在怎樣的聯系？

這三個問題明確了探究方向，為學生指明了思維視角. 隨著問題的指引與探索，學生從“數”出發，通過對具體問題的考查，探索單位圓的對稱關系. 結合以上學生對三角函數性質的思考與此處的探究活動來看，“思考”是從圓對稱性的角度來發現三角函數的性質，而“探究”是從“數”與弧度表示角的層面出發，探索單位圓的對稱關系.

將“思考”與“探究”結合在一起分析，想要培養學生的直觀想象與歸納猜想等核心素養，可在歸納演繹階段續接以上教學：①在給定角α的基礎上，設定它的終邊和單位圓相交于點P（x，y），引導學生結合定義自主寫出三角函數的代數表達式；②從單位圓關于原點O中心對稱出發進行猜想驗證，學生獲得對稱點P（-x，-y）與終邊OP的對應角π+α及誘導公式二；③仿照以上環節，啟發學生通過合作學習，自主發現單位圓關于x軸、y軸對稱的結論，獲得誘導公式三和誘導公式四；④應用變式引導、啟發學生發現單位圓關于直線y=-x對稱，獲得誘導公式五；⑤應用角變換，引導學生發現誘導公式六.

完成以上環節后，與學生一起回顧誘導公式發現與推理的過程，此時再帶領學生回到教材上的“探究”活動中來，凸顯“對稱與坐標關系、兩角與誘導公式”的歸納猜想過程，有效培養學生的直觀想象能力.

歸納與演繹是數學思維的兩個重要方面. 以上課例凸顯出“歸納—演繹”的過程，先從圓的對稱性出發進行猜想驗證，充分發揮了直觀想象的重要性，獲得了兩角關系與坐標關系，讓學生對坐標的幾何意義有了充分認識；再從直角坐標系中對角、角的始邊以及x軸非負半軸重合等方面進行分析，通過簡單推理角、坐標的關系后得出誘導公式. 學生在此過程中，抓住推理的要點，在猜想證明中自然而然地獲得問題的結論.

圓的對稱性除了與原點、軸對稱有關，還與角平分線有關. 從求簡角度來看，教師還可以帶領學生對單位圓關于直線y=-x對稱的誘導公式進行探討. 雖然探討過程頗有難度，但從教材所呈現的“探究”問題出發，可有效地開啟學生的智慧，對培養學生的直觀想象能力具有促進作用.

在必要時，教師可借助信息技術的演示功能，凸顯知識的動態特征，讓學生在直觀的視覺感受中激發想象、獲得猜想、建構新知，從根本上掌握誘導公式的本質，并獲得良好的數形結合思想，提高直觀想象的素養.

揭露關聯，提高數據分析能力

數據分析是指從一系列數據中，提取有用信息的過程. 誘導公式中存在哪些有用信息，可以將這些信息整合成什么知識呢？當學生獲得誘導公式二、三、四后，教材提出了這樣一個問題：“請用簡潔的語言對誘導公式一到四進行概括，并說說它們各自具備怎樣的作用？”此問的目的在于引導學生對誘導公式結構特征進行分析，并為公式的應用奠定基礎.

從宏觀角度來看，我們可將六組誘導公式視為一個整體，應用揭示關聯的策略，挖掘公式的價值資源，以促進學生數學思維的發展. 理解公式時，教師可引導學生從以下幾方面著手：①從角α的任意性著手，重新回歸到單位圓的對稱性與周期性進行分析；②通過符號理解將α視為銳角的原因，充分認識前四個誘導公式的功能（任意角—0～2π的角—銳角）以及誘導公式五、六的功能與規律（正弦和余弦函數互相轉化，奇變偶不變，符號看象限），為后期靈活應用公式奠定基礎.

數據具有表達信息的功能，而信息又是數據的內涵，語言為表達信息的關鍵. 語言作為用來思維與交流的基本工具，在教學中應用十分廣泛. 數學語言與自然語言有著顯著區別，一般以文字、符號與圖形三種形式呈現.

在本節課中，從挖掘數據信息價值的角度來激活數學語言的表達、轉化與交流，主要體現在：①通過對角α任意性的探索，使得學生切身體會數據信息的價值，獲得“單位圓的對稱性（形）—誘導公式（數）—單位圓（形）”的認識，為數學語言的轉換奠定基礎；②角變換方法的應用，使得學生從一個新的領域再次領悟數據信息的價值，從“角、名、符號”三方面厘清各個誘導公式的結構特征，導引語言轉化的視角；③對符號進行分析，學生深刻領悟數據信息的價值，經歷“圖形語言—符號語言—文字語言”的轉化過程，有效激活數學語言的轉換機制.

語言轉換是數學思維的核心，教師將不便思考的內容轉化為通俗的語言情境，可有效促進學生的理解與思維的發展. 思維能力決定了學生的整體素養，是實現立德樹人的根本. 必要時，教師可借助多媒體的切換功能，為學生創設更豐富的語言情境，活躍學生的思維，讓學生在學習過程中，建構良好的數據分析能力，形成結合數據思考問題的習慣.

深化整理，獲得建模能力

數學建模是指對問題進行抽象，并用適當的語言進行表達與解決問題的過程. 學習知識是為了更好地解決實際問題. 誘導公式可以解決哪些實際問題呢？基于這個思考，教師可以引導學生從公式的應用價值著手，培養學生的建模能力. 尤其在課堂尾聲，通過小結的方式為學生的課后探究留下懸念，也可以留下變式練習，鼓勵學生獨立思考，抽象出求任意角的三角函數值的步驟與方法.

一個成功的課堂小結能深化學生對知識的理解，有效提高學生的數學思想，誘發學生產生更加深刻的思考與探究. 在本節課中，小結環節可以從以下幾點做起：①通過對引例的解答，達到前后呼應、梳理、深化的目的，引導學生總結出求任意角的三角函數值的方法，升華學生的情感；②回顧探究歷程，厘清知識要點，凝練誘導公式的語言轉化與思維模型；③布置研究性任務，為學生提供個性化的選項，鼓勵學生自主獲得數學模型.

數學模型包括思想模型、應用模型與思維模型. 其中思想模型是數學應用核心，在必要時，教師可以借助多媒體等手段，改造學生的思維模型，促進學生反思，讓學生不斷完善自身的學習方法，促進創新意識與建模能力的發展.

數學核心素養的六要素既具有一定的獨立性，又具有交互性，正是這些特性將它們膠著在一起，形成有機的整體［3］. 從本節課的教學策劃、組織、實施與小結來分析，核心素養的培養與教學內容的特點以及學生的實際情況，有著密不可分的聯系. 在實施過程中，教師應從局部出發，逐一突破知識難點，與學生一起挖掘知識的內涵與價值，激發學生的潛能.

聯合國教科文明確指出：“教育是全人類共同核心利益.”由此可見，教育的核心任務是人文主義精神的教育，是全面可持續發展的育人行為. 一線數學教師站在教育改革的浪尖上，應立足課堂教學過程，從學生終身發展的角度出發，潛心研究教學，健全學生人格，培養學生的數學核心素養，真正意義上實現立德樹人使命.

參考文獻：

［1］ 羅增儒.從數學知識的傳授到數學素養的生成［J］.中學數學教學參考，2016（19）：2-7.

［2］ 喻平. 數學學科核心素養要素析取的實證研究［J］.數學教育學報，2016，25（06）：1-6.

［3］ 常毓喜. 基于學科核心素養的2018年高考數學試題分析［J］. 數學通報，2019，58（03）：53-58.

作者簡介：李偉偉（1988—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾獲聊城市高中數學優質課一等獎.