面向高中生計算思維培養(yǎng)的迭代算法教學策略

曹香

摘要：本文主要針對當前高中信息技術課程中關于迭代算法教學中存在的諸多問題，結合高中生的認知特點，在迭代算法教學過程中聚焦教學策略進行實踐研究，從而提出可視化抽象概念、分析結構提煉模型、循序漸進、錯誤中提升等教學策略。這些策略有助于教師提高課堂教學效率，有益于激發(fā)學生的學習興趣，有利于提升學生的計算思維。

關鍵詞：高中信息技術；迭代算法教學；計算思維

中圖分類號：G434? 文獻標識碼：A? 論文編號：1674-2117（2023）14-0049-04

迭代算法是程序設計中的核心算法之一，它是利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，進行問題解決的一種方法，其在數(shù)值計算、圖像處理、機器學習等方面有著廣泛的應用。雖然學生在初中階段也接觸了一些算法，但對迭代涉及很少，而迭代在高中數(shù)學學科中也有許多應用，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等數(shù)學概念，根據(jù)遞推式求通項公式，牛頓二分法求方程的解等都是迭代思想的體現(xiàn)。因此，對于高中生來說，學習并掌握迭代算法有著重要意義。Python是一種簡單易學的編程語言，下面，筆者以Python語言為例，探討迭代算法的教學策略。

在過去的程序設計教學中，學生對迭代算法的理解存在許多困難，原因是多方面的：其一，迭代算法涉及一些數(shù)學和計算機科學的抽象概念，如迭代變量、累加、循環(huán)等，這些概念對于初學者來說不夠直觀，需要時間去理解。其二，雖然迭代算法可以用編程語言來實現(xiàn)，但其中涉及的數(shù)學知識需要一定的數(shù)學基礎，如果學生數(shù)學水平較低，理解起來也會比較困難。其三，理解迭代算法還需要反復練習和實踐，然而，高中信息技術課時有限，學生多半缺乏相關編程實踐經(jīng)驗。上述種種因素的存在，使得高中生覺得迭代算法難學難懂。為了促進學生的學習，筆者搜集了許多關于迭代算法的資料，總結了一些教學策略，設計了一套針對高中生特點的教學策略，幫助他們更好地理解和掌握迭代算法。

可視化抽象概念的教學策略

迭代的概念和原理比較抽象，學生理解起來有難度，此時教師可以借助數(shù)字化工具，將概念和原理進行可視化，引導學生從感性上理解迭代原理。牛頓迭代法求平方根，是非常經(jīng)典的迭代實例，高中數(shù)學教材中也很詳細地介紹了牛頓迭代法求方程解的知識，教師可以直接引用此實例給學生講解迭代的概念。為了讓學生直觀地看到迭代過程，可借助網(wǎng)絡畫板，將其求解過程制作成一個動畫進行演示，內(nèi)容如下：

利用牛頓迭代法求a的平方根，就是利用函數(shù)f（x）=x^2-a，求當f（x）=0時x的正數(shù)解。下頁圖1是網(wǎng)絡畫板求解過程中的演示截圖。

首先，任意確定初始值x1（＞0），然后將其代入函數(shù)f（x）=x^2-a中計算出函數(shù)值f（x1）。接下來，在點（x1，f（x1））處求出切線，并將切線與x軸相交得到新的迭代點x2。重復以上步驟，即可逐步逼近得到a的平方根。

通過上述演示分析，學生直觀地學習了迭代原理和過程。同時，引導學生總結迭代算法的特點：①需要重復執(zhí)行一定的步驟，以逐漸逼近所求結果。②迭代過程中后續(xù)計算結果會依賴于之前的值。

合理地使用數(shù)字化工具，將迭代過程可視化，可以幫助學生更直觀地理解迭代算法的過程和原理，激發(fā)學生的學習興趣，為后面編寫迭代程序奠定基礎。

分析結構提煉模型的教學策略

分析程序結構和提煉算法模型是編程教學中常用的教學策略。程序結構是指程序代碼的組織形式和層次關系。算法模型是指將算法問題抽象為一個簡單而通用的數(shù)學模型，從而更好地理解和應用該算法進行問題求解。

1.迭代算法程序結構

迭代算法程序通常包括以下三個部分：初始化—確定迭代計算的初值，如定義一個變量，并賦予其初值。迭代計算—重復執(zhí)行的迭代計算式。終止條件—判斷當前的計算結果是否滿足所需要求，如果滿足，則停止迭代計算并輸出結果，否則繼續(xù)迭代計算。

對應到具體程序中，以求解平方根為例，具體如圖2所示。

2.迭代計算數(shù)學模型

在該算法結構中迭代計算部分是難點，筆者采用對迭代問題進行分類探討的方式幫助學生突破該難點。對于高中生而言，需要運用迭代法解決的問題主要有以下三種類型。

（1）累加器更新迭代

對于數(shù)列求和、求乘積等問題，使用累加器或累乘器來記錄中間結果，實現(xiàn)相應的計算。這類問題對應的迭代公式可總結如下：

s=s+an（求和）

s=s*an（求乘積）

此類問題的解決，首先引導學生分析數(shù)列中每一項的特點，找出通項公式an，接著根據(jù)以上的迭代公式得到迭代計算部分的代碼。

（2）遞推公式迭代

對于求數(shù)列中的某一項的問題，常常利用遞推公式迭代法實現(xiàn)，迭代公式總結如下：

an=a*a（n-1）+b

這類問題的解決，需要分析數(shù)列中的每一項和前面項之間的關系，找出其中的遞推算式，進而得到具體的迭代算式。高中生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學基礎，只需做適當引導，便可找出數(shù)列的遞推式。

（3）二分逼近迭代

對于求解函數(shù)零點、方程根、最大值等問題，常常采用二分逼近法，通過反復二分區(qū)間來逐步逼近精度較高的結果。對于高中學生而言，這類問題的迭代公式，一般會在題目中直接給出，迭代計算部分直接使用，學生只需設定合理的迭代初值，并設計恰當?shù)牡刂茥l件即可。

學生掌握了迭代算法基本模型之后，在編程實踐中可以直接套用，提高了編程效率。分析程序結構和提煉算法模型教學策略不僅能夠幫助學生建立深入的知識結構，還能夠促進學生更好地掌握編程思想，提高編程技巧。

循序漸進的教學策略

為了讓學生充分理解迭代算法的基本原理和實際應用，可以循序漸進地引導學生逐步完成學習任務。

1.從讀到寫逆向學習促進理解

對于初學編程的高中生而言，直接編寫迭代程序有一定難度，可以讓學生先從閱讀程序開始，體驗迭代執(zhí)行過程，發(fā)現(xiàn)迭代變量的變化規(guī)律，理解迭代的運行邏輯，再要求他們編寫程序。通過這種逆向學習的方式，可以幫助他們更快速地掌握迭代算法的基本知識，降低入門難度。

（1）閱讀程序理解迭代過程

圖3所示程序使用循環(huán)結構實現(xiàn)了對1到10的整數(shù)求和并輸出結果。其中，sum=sum+i為迭代計算式，通過重復執(zhí)行該迭代算式，最終實現(xiàn)了10個自然數(shù)之和的功能。學生在閱讀該程序過程中，初步建立了迭代思維，為后面的學習打下基礎。

（2）編程實踐從修改程序入手

接下來的編程實踐，可從修改程序開始，讓學生參照圖3所示的程序改寫程序，實現(xiàn)下列功能：求和s=1+2+…+n；求階乘s=1*2*…*n；求自然數(shù)倒數(shù)之和s=1+1/2+…+

1/n等。

學生通過改寫發(fā)現(xiàn)這些問題之間的相似性，這種相似性表現(xiàn)在它們具有相同的程序結構，但是使用不同的迭代關系式。通過改變迭代關系式中的新增項公式，就可以從一個程序轉變?yōu)榱硪粋€程序來解決不同的問題。

由讀到寫，從簡單問題入手的循序漸進的模式，能夠幫助學生逐步建立求解迭代問題知識體系，同時也增強了他們的學習興趣和信心。

2.探討經(jīng)典問題助力思維提升

當具備了一定的迭代知識后，可將迭代算法融入到具體問題求解中，拋出一些有趣的經(jīng)典問題，使學生能將所學的計算思維和編程技能應用到現(xiàn)實問題中。

案例一：通過觀看視頻《神奇的π》，激發(fā)學生對π的值產(chǎn)生興趣，并且了解到π可以通過多種方法求解。

π=4（……）；（萊布尼茨級數(shù)）

……；

……

以上是兩種求π的近似值的方法，這些公式看起來很復雜，但是用迭代思想可以化復雜為簡單逐步解決。

首先，分析其中一項的特點，以及它與前一項之間的關系或變化規(guī)律，得到這一項的通項公式或遞推公式；其次，構建循環(huán)來完成整個式子的計算；最后，根據(jù)算法模型編寫程序。這里可以將兩個程序代碼進行對比，讓學生發(fā)現(xiàn)它們的算法結構都一樣，唯一的區(qū)別就是通項公式不一樣，代碼如下表所示。

尋找通項公式或遞推公式是求解以上問題的難點，此處教師可適當引導學生進行自主探究，讓學生通過逐項對比，推導出最終的算式。學生在探究問題的過程中形成解決問題的邏輯思維。

案例二：由斐波那契的兔子問題探究斐波那契數(shù)列的前后項之比。

斐波那契的兔子是一個有趣的問題，它源于意大利數(shù)學家斐波那契的名著《算法之書》中提出的一個假設：“如果一對兔子從出生后第三個月起每個月都能生一對小兔子，并且新生的小兔子也會按照同樣的規(guī)律成長和繁殖，那么一年內(nèi)可以繁殖多少對兔子？”

根據(jù)問題分析兔子的繁殖規(guī)律：本月兔子對數(shù)=本月大兔子對數(shù)+本月小兔子對數(shù)；本月大兔子對數(shù)=上月兔子對數(shù)；本月小兔子對數(shù)=上上月兔子對數(shù)。

因此本月兔子的數(shù)量為：本月兔子對數(shù)=上月兔子對數(shù)+上上月兔子對數(shù)。

通過分析每個月兔子的數(shù)量，得到了著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5……其前兩項為1，從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。

有了每一項和前面項之間的遞推公式之后，運用迭代算法編寫程序計算出每一項的值，代碼如圖4所示。

在計算出斐波那契數(shù)列的每一項值后，開始探索數(shù)列相鄰兩項之比，并讓學生觀察其中的規(guī)律。

在探討上述問題的過程中，學生可能會發(fā)現(xiàn)，求前后兩項之比，需要兩次執(zhí)行上述代碼，為了避免代碼重復，這里可以考慮引入函數(shù)的概念，并通過調用函數(shù)來求比值。最后經(jīng)過程序運行測試，學生驚喜地發(fā)現(xiàn)，相鄰兩項之比隨著項數(shù)的增加逐漸趨近于黃金比例（約為1.61803398875）。

通過這些有趣的數(shù)學問題的探討，激發(fā)了學生的學習興趣，加強了學生的邏輯推理與思考能力，幫助他們更好地理解算法與實際問題之間的聯(lián)系，培養(yǎng)他們遷移應用所學知識的能力。

錯誤中提升的教學策略

在編程學習過程中，學生會遇到各種錯誤和問題，教師需要及時給予指導和解決方案，鼓勵學生閱讀報錯提示，分析錯誤原因，正確調試運行程序。引導學生從錯誤中學習，于錯誤中反思。對于迭代算法，學生易出的問題除了基本語法錯誤外，還有算法錯誤和邏輯錯誤，大致有以下幾個方面。

一是迭代初值的選擇。迭代算法的初值是其計算的起點，需要根據(jù)實際情況進行選擇。良好的初值可以加快算法的收斂速度，但錯誤的初始值可能會導致迭代失敗。例如，在求解階乘問題時，初始值不能設為0。在獲得迭代解之后，需要提醒學生進行算法驗證以確保解的正確性。

二是程序死循環(huán)。這種錯誤屬于邏輯錯誤，由于迭代是一種循環(huán)，for語句的迭代次數(shù)可控，一般不容易發(fā)生這種問題。而在使用while語句時，必須正確設置終止條件，否則就會陷入死循環(huán)。遇到此類問題，需要引導學生檢查while語句后面的迭代結束條件是否正確，同時也要檢查在循環(huán)體內(nèi)的代碼是否正確，以確保循環(huán)條件能夠在一定的時間范圍內(nèi)被滿足。

總結迭代算法易錯點，可以幫助學生找到解決錯誤的方法，鼓勵學生自我糾錯，得到正確的程序運行結果。引導學生在錯誤中提升，不僅可以激發(fā)他們的內(nèi)在動力，提高學生編程實踐的能力和水平，還可以培養(yǎng)學生獨立思考和解決問題的能力。

結束語

筆者根據(jù)高中生認知特點和學習需求總結出的一系列教學策略，都是基于計算思維和迭代算法的理論和實踐，目的是幫助學生從感性到理性、從簡單到復雜、從錯誤到正確地理解和掌握迭代算法，并且能夠將其運用到解決實際問題中。本文提及的教學策略也可以應用到整個程序設計教學中，幫助學生更好地學習程序設計知識，提高計算機編程能力，培養(yǎng)計算思維。

參考文獻：

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