HPM視角下二項式定理的教學設計

金正嬌 劉熙

摘 要：HPM視角下的教學是當今教育的一大革新.“二項式定理”蘊含著濃厚的數學文化底蘊，其發展源遠流長.本文追溯二項式定理的發展歷程，并對其進行重構式教學運用.首先，以法國數學家蒙特摩爾的籌碼游戲為切入點，猜想二項式定理，感受數學的探究之樂；其次，采用“組合數分析法”和意大利數學家卡斯蒂隆的“先異后同法”證明二項式定理，幫助學生形成數學理性思維；再次，借助楊輝三角探究二項式系數的性質，既加強數與形的結合，又傳承中華優秀傳統文化；最后，設計具有綜合性、探究性、啟發性的課后作業，深化基礎知識，啟迪數學思考.

關鍵詞：HPM；二項式定理；中華優秀傳統文化；教學設計

1 教材分析

“二項式定理”選自人教A版選擇性必修第三冊第六章第三節，解決二項n次式的展開問題，與初中代數知識密切聯系，是繼高中排列與組合之后的學習內容.在牛頓發明微積分的過程中，二項式定理的發現是一個關鍵節點［1］，二項式定理也是連接初等數學與高等數學的一座橋梁，因而二項式定理貫穿了初中—高中—大學階段.

2 學情分析

學生在初中階段已經掌握了多項式的乘法法則，在高中階段的同章前兩節已經學習了分步乘法計數原理和組合數的相關知識，具備從組合的視角思考問題和分析問題的能力；已經學習了數學歸納法，具備一定的抽象概括和歸納能力.

3 教學目標

① 掌握二項式定理、二項展開式的通項公式，會求二項式特定的項和系數，會應用二項式系數的基本性質；

② 從二項式定理的歷史軌跡出發，引導學生得出二項式定理，歸納二項式系數的基本性質，體會歸納—猜想—論證的思想方法，培養學生的探究能力和邏輯思維能力；

③ 從二項式定理的相關歷史出發，培養學生的數學文化素養和嚴謹求實、堅持不懈的探究精神.

4 教學重難點

教學重點：二項式定理的得出、二項式系數的性質總結.

教學難點：二項式定理的推導、二項式系數與組合知識的聯系.

5 教學過程

5.1 創設情境，培養直觀想象素養

【設計意圖】在歷史上，德國數學家萊布尼茨和瑞士數學家約翰·伯努利將正整數次冪的二項式定理推廣到三項以上情形，實現了二項式定理的多元推廣，實現了定理的“橫向”推廣，即“元”的推廣.以歷史定理進行設問，培養學生的推理論證和邏輯思維能力，繼續探究多元多項式的展開，讓學生領略古人的杰出成就，感受數學文化，實現知識層面的進一步飛躍，提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力［6］.

參考文獻：

［1］ 宋軍，吳現榮.源于數學史，教學更自然——二項式定理教學設計［J］.福建中學數學，2017（11）：1417.

［2］ 歐幾里得.幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學技術出版社，2003.

［3］ 汪曉勤，韓祥臨.中學數學中的數學史［M］.北京：科學出版社，2002.

［4］ 李文林.數學史概論（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［5］ 人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中數學教科書選擇性必修第三冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［6］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.