從直線型軌跡最值問題談圖形構造

陳宏亮

摘 要：近年來最值問題成為中考復習中的熱點、難點，2022年南通中考25題第三問的直線型軌跡的最值問題全面考查了學生的思維能力與計算能力，軌跡處理的多樣性決定了解決途徑的多樣化，不同的思考方式決定了不同的處理方式.筆者在教學時嘗試以大單元微專題的教學模式，訓練學生以“圖形構造”的方式進行思考，進而訓練學生的高階邏輯思維能力，以切實發展學生的核心素養，使學生真正掌握最值問題的能力.

關鍵詞：中考復習；大單元教學；直線型軌跡；最值問題

中考幾何壓軸題以高思維力、高靈活度常使學生望而卻步，因此幾何壓軸題的講評過程是教學活動中較為復雜的思維活動的集中體現，對教師的課堂教學活動設計要求較高.問題中的輔助線添加更是擺在學生面前的一道坎.2022年南通中考以軌跡最值問題作為壓軸問題，該問題的表述簡潔，但是方法多樣、思維靈活，極具挑戰性.筆者在大單元中考復習中以“直線型最值問題的圖形構造”為主線進行微專題教學，嘗試從代數、幾何兩方面闡釋最值問題的常規解決途徑，使學生真正能從解決問題的角度去思考最值問題中圖形構造的來路以及解題出路.

1 試題呈現

關于軌跡的確定還有其他解決方法，再過點D作軌跡的垂線段即可，本文全部利用三角函數計算垂線段長度，還可以用相似，或建立直角坐標系后利用點到直線距離公式等方法求解.

3 教學建議

壓軸題的解決方式具有極強的創造性與關聯性，問題的分析既要有思維的發散也要有思維的發展.壓軸題講評時，筆者嘗試從條件入手歸納直線型軌跡解決的常用手段，如定角型直線軌跡、定距型直線軌跡、兩點型直線軌跡、瓜豆型直線軌跡、放縮型直線軌跡以及函數最值構造等，在進行微專題研究時，課堂教學時需要引導孩子從恰當的條件入手進行恰當的圖形構造.

3.1 圖形含參代數構造

原則上大部分幾何題都可代數化，而代數化后可能會需要進行復雜的計算.所謂代數化是通常借助特殊條件把問題中的角、線坐標化，然后借助坐標解決幾何問題.教學難點在于點的坐標化，教學中建議教師詳細體現計算過程，這樣的做法有助于學生觀察模仿.

3.2 圖形殘缺補全構造

補全構造需要在特殊的圖形背景下進行整體構造，如南通中考2021年18題，采用此法就較為簡便.教學難度在于圖形的還原，教學中建議教師將部分圖形與完整原圖形對比演示，并引導學生思考部分圖形與原有圖形的思維方式、問題解決方式之間的異同.

3.3 特殊條件聯想構造

聯想構造需要借助問題中的特殊條件進行構造，如中點、角平分線、等腰三角形等等.教學難點在于相關圖形的構造，這需要學生有一定的經驗積累，如中點的處理、角的處理等.此外還有一個難點，由于問題條件多，以哪個條件為切入口進行分析？這也需要學生進行選擇.教學中，建議教師在典型題添加輔助線后及時歸納、總結輔助線的添加方式，同時還應引導學生學會快速選擇條件作為思維的起點.

3.4 模型適用基本構造

有些特殊條件與一些幾何模型的條件重合，如旋轉全等或相似模型、一線三等角模型中的角度相等，線段比值，直線垂直等.教學難度在于模型適用性的發掘，教學中建議教師需要在一些與模型相關的問題中，歸納總結出模型使用的特殊條件.

4 教學思考

在幾何教學過程中，教師不能僅僅只分析問題、呈現解題過程，還要引導學生發掘幾何條件，讓學生思考如何處理圖形.通常，單一的題型其理解方式也呈現出多樣化，要求學生以較廣的視野、較高的思維理解問題，因此以大單元微專題的形式總結圖形構造的來路，發掘解決問題的出路，有利于學生的學習，同時也能幫助學生站在思維的最高點，享受提升數學核心素養后帶來的高階思維的優越性.