Gauss白噪聲激勵下的永磁同步電動機模型的分岔分析

葉正偉, 鄧生文, 梁相玲

(1. 廣東科技學院 通識教育學院, 廣東 東莞 523000;2. 廣東理工學院 基礎課教學研究部, 廣東 肇慶 526100;3. 喀什大學 數學與統計學院, 新疆 喀什 844000)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)是一種新型電機,具有高功率密度、大轉矩慣性比、小體積等特點,廣泛應用于船舶、航天、新能源汽車等領域．其模型作為典型的非線性系統,最早由Hemati等[1-2]于20世紀90年代提出,后經發展逐漸完善．我國學者對其及相關轉子系統進行了深入的研究．文獻[3]運用非線性動力學理論和方法分析了永磁同步電機系統在特定參數變化下的混沌和分岔．文獻[4]以永磁同步電機的數學模型為基礎,根據中心流形定理進行降維簡化處理,討論了永磁同步電機模型的Hopf分岔問題．唐傳勝等[5]提出了一種考慮不確定參數混沌系統的改進控制器,并進行了數值仿真,模擬結果表明改進的控制器有更強的魯棒性．文獻[6]通過Lyapunov指數圖、Poincare截面、相軌跡,研究了各種參數變化下系統的分岔及混沌控制．文獻[7-8]基于GPU計算,探究了多參數變化下的旋轉機械系統的動力學行為,發現了一些有趣的分岔結構．永磁同步電機模型是一個典型的強非線性動力系統模型,大量的研究工作是基于確定的理論展開的,除了確定的永磁同步電機系統的非線性動力學分析外,一些文獻在永磁同步電動機模型中引入擾動項．文獻[9]運用非線性動力學理論分析了正弦擾動項下非均勻氣隙的永磁同步電機模型的穩定性．文獻[10]利用根據包映射有向圖法分析了噪聲干擾下永磁同步風力發電機的隨機分岔,通過數值模擬得到了整體結構的演化規律．

許多研究表明,任何動力系統都無法避免外界干擾,而普遍存在的隨機噪聲會對系統產生雙重影響：一方面,隨機噪聲可以促進系統進入理想狀態,如隨機共振[11-13]、神經元脈沖放電和網絡同步;另一方面,噪聲會干擾動態系統的周期振蕩行為,引起混沌．在實際應用中,這種影響廣泛存在于生物工程、機械工程等多領域．文獻[14]研究了Markov狀態切換和白噪聲擾動下的一類具有Gilpin-Ayala增長的隨機捕食-食餌模型的動力學行為,得到了系統隨機持久和滅絕的閾值,并根據數值模擬驗證了結論的有效性．文獻[15]對網絡傳染病模型引入白噪聲,通過隨機動力系統理論,得到了隨機滅絕和持久的條件,由數值模擬驗證了理論結果．文獻[16-17]通過隨機動力學理論介紹了隨機噪聲激勵下調速器系統的隨機穩定性,并由數值模擬,探究了系統在雙參數空間中的復雜動力學行為．文獻[18]建立了色噪聲激勵下的水輪機調節系統,探究了系統的隨機分岔,并通過數值模擬驗證．文獻[19]討論了眼動系統在Gauss白噪聲激勵下的隨機分岔,噪聲強度和抑制性神經元的作用強度都能誘導產生隨機P分岔現象．在實際工作中,永磁同步電動機系統也不可避免地受到外部環境和內部傳動系統的影響,例如溫度起伏、磁場變換[20]、阻尼改變等．這些影響因素可能會對內部機理起到消極作用,將這些影響因素視作隨機噪聲更接近實際情況[21]．由此,本文建立了Gauss白噪聲激勵的永磁同步電動機模型,進行了隨機噪聲激勵下的分岔分析,從而為其平穩運行增加魯棒性提供了理論意義．

本文的主要結構如下：第1節將Gauss白噪聲引入永磁同步電機系統,通過極坐標變換和隨機平均法得到It隨機微分方程;在第2節中,通過計算推導得到了系統概率密度函數,并進行了數值模擬,隨著噪聲強度的增加,系統在概率密度函數的演化過程中出現P-分岔;第3節在雙參數空間中探究了引入噪聲前后系統的復雜動力學特性;第4節總結了噪聲對永磁同步電動機系統的影響,其結果有助于研究該電機系統的平穩運行．

1 模 型 處 理

以電流id,iq及轉子角速度ω為變量的永磁同步電動機模型為

(1)

其中,參數Ld,Lq表示d-q軸電感;R1為定子繞組;TL為負載轉矩;ψr為永磁磁通;β為阻尼系數;P為極對數;J為轉動慣量;ud,uq表示定子d-q軸電壓．

考慮一般情形,交直軸電感近似相等Ld=Lq=L,此時模型(1)進一步變為

(1)′

考慮系統(1)′容易受隨機因素影響變得不穩定,對其引入Gauss白噪聲ξ(t)得到隨機微分方程為

(2)

(3)

令

其中

方程(3)可化為

(4)

其中

M=M21M32-M22M31,N=M21M32-M22M31-M23M32．

此時系統具有局部不變流行：

可對方程(4)降維得

(5)

ζ的全微分方程為dζ/dt=?hφ·dφ/dt+?hη·dη/dt．

接下來,我們可以得到

-(a+ε)h+c1φ2+c2φη+c3φh+c4η2+c5ηh+Dhξ(t),

(6)

且h(φ,η)的逼近式為

h(φ,η)=h1φ2+h2φη+h3φDξ(t)+h4η2+h5ηDξ(t)+…．

(7)

一定的誤差范圍內,系統(5)可變為

(8)

令φ=rcosθ,η=rsinθ, 經過極坐標變換,系統(8)可變為

(9)

其中

f1(r,θ,ξ(t))=a1r2cos3θ+b4r2sin3θ+(a2+b1)r2cos2θsinθ+a3h1r3cos4θ+

(a3h2+a5h1)r3cos3θsinθ+(a3h4+a5h2+b3h2+b5h1)r3cos2θsin2θ+

(a5h4+b3h4+b5h2)r3cosθsin3θ+(b2+a4)r2cosθsin2θ+

b3h1r3cos3θsinθ+b5h4r3sin4θ+Drcosθ·ξ(t),

b3h2r2cos3θsinθ+(b3h4+b5h2-a3h2-a5h1)r2cos2θsin2θ+

(b4-a2)rcosθsin2θ+(b5h1-a3h1)r2+(b5h1-a3h1)r2cos3θsinθ+

cos3θsinθ+(b5h4-a3h4-a5h2)r2cosθsin3θ-a5h4r2sin4θ+Drsinθ·ξ(t)．

已知反應{r(t),θ(t)}弱收斂于二維Markov過程,根據隨機平均法,方程(9)的It微分方程如下：

(10)

其中w(t)為標準Wiener過程[22],dt和dw分別為漂移系數和擴散系數,且

v1=8D2,v2=3a3h1+a3h4+a5h2+b3h2+b5h1+3b5h4,v3=8D2,

v4=3b3h1+b3h4+b5h2-a3h2-a5h1-3a5h4,v5=D2/2．

基于擴散矩陣,可得到一維的Markov過程的平均振幅r(t)：

(11)

2 P-分岔

當平穩概率密度的性態發生變化時,系統將會發生P-分岔,所以我們通過平穩概率密度函數研究P-分岔．根據It微分方程(11),得到相應的FPK方程如下：

(12)

(13)

(14)

設置一組參數：

Ld=Lq=L=12 mH,R1=0.84 Ω,ψr=0.8 Wb,P=3,J=10-5kg·m2,

β=0.017 5 N·m·s,TL=0.25 N·m,ud=13.2 V,uq=45 V．

討論噪聲強度D對系統分岔的影響,其仿真圖像見圖1．

圖1 隨噪聲強度D變化的聯合概率密度圖及其俯視圖Fig. 1 The joint probability density function with the change of noise intensity D

從圖1(a)可以看出,當噪聲強度D=0.1時,聯合概率密度函數為單峰形狀,函數p(φ,η)的最高點為固定值,表明系統可能不絕對趨于平衡位置,但有較大概率收斂到平衡位置．圖1(b)為圖1(a)的俯視圖,整體呈圓環狀,最內環的紅色區域對應圖1(a)最高區域為有限值．如圖1(c)所示,當噪聲強度D=0.2時,聯合概率密度函數高度下降、寬度增加,形狀由單峰變為火山口,與圖1(a)相比,此時系統(11)的性態發生了改變,即系統發生P-分岔,在這種情形下,系統的廣義變量φ和η可能不為零,系統變得不穩定．圖1(d)為圖1(c)的俯視圖,俯視圖中最內環紅色區域對應值減小,圓環整體擴大,很形象地說明了函數p(φ,η)的變化趨勢．當噪聲強度D=0.3時,聯合概率密度及俯視圖分別如圖1(e)、1(f)所示,函數p(φ,η)這種變化趨勢更加明顯,這也意味著系統的廣義變量φ和η都可能增大,系統(11)變得更加不穩定．

噪聲強度D分別為0.2, 0.3, 0.4和0.5時,平穩概率密度函數如圖2所示．根據圖2可以看出,隨著噪聲強度D的不斷增大,概率密度函數的頂點減小,函數形狀趨于平緩,變化趨勢與聯合概率函數的變化趨勢形成對應,這也表明系統性態改變愈發明顯．另外,在系統發生P-分岔時,概率密度函數圖形由單峰變為雙峰,此時廣義變量φ和η的收斂解的變化,一定程度上可反應系統(1)變量的收斂情況,如角速度ω變化反饋到永磁同步電動機實際運行中,可能是平穩轉動狀態到異常轉動狀態的臨界點,概率密度函數趨于平緩的過程中,方程(11)解變得發散．在實際運行中,永磁同步電動機可能會發生轉速不穩定的現象．

圖2 不同噪聲強度D下的平穩概率密度圖Fig. 2 The stationary probability density function with the change of noise intensity D

為進一步探討噪聲強度的影響,除對概率密度函數分析外,我們還對系統進行動力學行為分析．固定無量綱化參數γ=130,Ud=3,Uq=10,Tm=5,選取σ作為分岔參數,討論不同噪聲強度值下變量x的分岔如圖3所示．從圖3(a)中可以看出,在未引入噪聲前,系統(3)在區間σ∈[10,24.18]范圍內表現出伴隨混沌的加周期分岔行為, 其中區間[16.75,17.14]和[21.11,21.54]分別為2周期和3周期窗口, 當參數σ大于24.18時,系統從周期6→周期12→周期6→周期3．當噪聲強度D=0.1時,相較于圖3(a),圖3(b)中周期窗口由穩定狀態變為輕微振蕩,隨著噪聲強度D的增加,這種不穩定性進一步增強．由圖3(c)和圖3(d)可以看出,系統幾乎變成完全混沌狀態,這證實了上述結論的有效性．

圖3 不同噪聲強度D下的系統分岔圖Fig. 3 The bifurcation diagram with the change of noise intensity D

3 雙參數分岔

永磁同步電動機系統在運行過程中可能會受到隨機因素的干擾,這些干擾可能導致兩個甚至多個參數同時發生變化．所以對系統(3)在雙參數空間中研究分岔結構更具有參考意義．本節保持參數值不變,采用四階隨機Runge-Kutta算法進行數值模擬,用500×500相同距離點覆蓋,如圖4所示．圖中的圖例顏色欄標記了不同數字,代表不同的振蕩狀態,左圖圖例表示周期數,右圖圖例表示Lyapunov指數．另外,在圖4(a)和4(b)的左圖中,白色區域表示周期數大于19的周期振蕩狀態或混沌狀態．

(a) σ∈[10,30], Ud∈[-5,80]

圖4(a)左圖為系統(3)變量x在參數σ∈[10,30],Ud∈[-5,80]平面上的分岔圖,如圖所示右上方黃色區域為穩定態區域,首先通過Hopf分岔生成1周期吸引子,并由倍周期分岔進入廣泛的白色振蕩區域．由于仿真精度所限,無法確定該振蕩區域是擬周期振蕩態或是混沌態,我們的思路是計算對應的最大Lyapunov指數值[23]．圖4(a)右圖為左圖分岔結構對應的最大Lyapunov指數,其中綠色區域為最大Lyapunov指數值遠小于零的穩定態,黃色區域表示最大Lyapunov指數值在區間[-0.001,0.001]周期振蕩狀態,紅色區域為混沌態．對圖4(a)綜合分析,在參數平面上右上方穩定態經倍周期分岔最終進入混沌狀態,值得關注的是,混沌區域內鑲嵌了一些“魚”形周期區域,且它們呈分形結構．參數σ∈[15,35],Uq∈[-5,30]平面上系統分岔圖與其最大Lyapunov指數圖見圖4(b)．周期振蕩區域通過倍周期分岔方式進入混沌區域,類似地,混沌區域鑲嵌著很多 “魚”形周期區域．

我們接下來討論噪聲激勵對分岔的影響,參數σ∈[10,30],Ud∈[-5,80]平面上不同噪聲強度D下的最大Lyapunov指數圖見圖5．圖5(a)、5(b)分別為噪聲強度D=0和D=10-8時的情形．對比兩圖可以看出,最大Lyapunov指數的值沒有發生顯著改變,則系統對低強度白噪聲具有一定的抗干擾性．如圖5(c)所示,當噪聲強度為D=10-6時,“魚”形周期區域受到侵蝕尾部演變為混沌態,有趣的是,“魚”形結構的頭部卻保持原本特征,這說明“魚”形結構不同區域魯棒性也有差異．如圖5(d)所示,當噪聲強度為D=10-4時,這種演化趨勢更加明顯,“魚”形周期區域幾乎完全變為混沌態．此外,對比觀察圖5發現,大范圍黃色“帶”狀周期振蕩區域并未發生明顯收縮,這說明在不同周期振蕩區域,抗干擾性也不同．值得注意的是,圖5(d)中部分黃色周期振蕩區域變為綠色收斂狀態,這也說明了噪聲對系統影響的兩面性．它不僅可以破壞“魚”形周期振蕩區域,使其混沌態,還可以使周期振蕩區域轉變為收斂態．從上面的分析可以看出,噪聲對系統的周期振蕩區域有顯著的影響,但通過優化參數也可誘導周期振蕩區域產生收斂振蕩行為．

圖5 隨噪聲強度D變化的最大Lyapunov指數圖Fig. 5 The largest Lyapunov exponent diagram with the change of the noise intensity

4 結 論

本文研究了永磁同步電動機系統在Gauss白噪聲擾動下的分岔問題,根據數值模擬結果,隨著噪聲強度

D的不斷增大,聯合概率密度函數由單峰狀變為火山口形狀,即系統發生P-分岔．同時平穩概率密度函數頂點降低坡度變緩,這也說明系統穩定性的改變．對永磁同步電機系統進一步研究發現：它在雙參數空間中具有分形結構的“魚”形周期區域,大量數值模擬結果證實了白噪聲強度對該周期區域的邊界具有更強的侵蝕作用．值得注意的是,大范圍黃色“帶”狀的周期區域對白噪聲卻表現為很強的魯棒性,特別地,白噪聲能夠誘導周期振蕩使其產生收斂的振蕩行為．此外,這些研究方法可以直接應用到白噪聲對其他系統的相關研究中,以便其與本文所得出的結論進行對比．