對邊簡支十次對稱二維準晶板彎曲問題的辛分析

范俊杰, 李聯和, 阿拉坦倉

(1. 內蒙古師范大學 數學科學學院, 呼和浩特 010022;2. 內蒙古自治區應用數學中心, 呼和浩特 010022;3. 無窮維哈密頓系統及其算法應用教育部重點實驗室, 呼和浩特 010022)

0 引 言

自Shechtman等[1]在1984年首次發現準晶體之后,人們對準晶的電子結構、光學、磁性、熱和彈性理論進行了大量研究[2]．準晶體是具有準周期原子排列和旋轉對稱性的新的固體結構．準晶中有兩種不同類型的低頻元激發,即聲子場和相位子場．

近年來,一些定量描述和分析準晶彈性理論的數學方法也得到了很大發展,并取得了一系列有價值的結果．Fan[3]和他的團隊發展了經典彈性理論中的消元法,將復雜的準晶彈性方程簡化為一個或幾個高階偏微分方程,然后通過Fourier變換法或復變函數法求解．此外,廣義攝動方法[4]、Green函數方法[5]、積分變換法[6]、復變函數法[7-8]、半逆解法[9]、勢理論方法[10]和Stroh形式法[11]也成功地被推廣和應用到準晶彈性理論問題的研究中．

辛方法由鐘萬勰[12]在20世紀90年代提出,用于求解彈性板和梁等問題．該方法的主要特點是求解過程在具有對偶變量的辛空間中進行,而不是在具有一種變量的Euclid空間中進行．在Hamilton系統的框架內,可以通過變量分離和辛特征函數展開的方法獲得所考慮問題的精確解,而無需對解形式進行任何先驗假設,這顯示了辛方法的獨特優勢．辛方法理論基礎是無窮維Hamilton算子特征函數系的完備性,Alatancang等[13-14]在該領域取得了一些成果．目前,辛方法已應用于各種研究領域,如彈性[15-18]、黏彈性[19-20]、納米力學[21-22]、斷裂力學[23]、壓電[24-25]、功能梯度效應[26]、波傳播[27]等．Zhou等[28]研究了有限尺寸一維六方壓電準晶雙材料中V形界面缺口的Ⅲ型斷裂行為．Yang等[29]分析了具有復雜結構的壓電石英晶體的Ⅲ型斷裂行為．Wang等[30-31]研究了二維準晶的平面彈性問題．Qiao等[32]將辛方法推廣到八次對稱二維準晶的平面彈性問題．

本文首次研究了十次對稱二維準晶中厚板問題的辛方法及其數學理論基礎．通過引入適當的狀態函數,將十次對稱二維準晶中厚板彈性的位移平衡方程轉化為一組由一階常微分方程組成的Hamilton對偶方程,并給出了相應Hamilton算子矩陣的特征值．基于辛特征函數系的完備性定理,得到了給定邊界條件下二維十次對稱準晶中厚板彎曲問題彈性場的解析表達式,并與已有結論進行了比較．

1 十次對稱二維準晶板彎曲問題的基本方程

假設z方向為十次對稱二維準晶周期方向,xoy平面是準周期平面．對于十次對稱二維準晶,由準晶彈性理論[3],有變形的幾何方程

(1)

不考慮體力情況下的平衡方程

(2)

廣義Hooke定律

(3)

其中C66=(C11-C12)/2;σij(σij=σji),εij(εij=εji),ui和Cij分別是聲子場的應力、應變、位移和彈性常數;Hij(Hij≠Hji),wij(wij≠wji),wi和Ki是相位子場的應力、應變、位移和彈性常數;R是聲子場和相位子場的耦合彈性常數．這里記(x,y,z)=(x1,x2,x3)．

基于Mindlin板理論,關于十次對稱二維準晶板彎曲問題假設如下[33]：

(4)

其中uz(x,y)為中面撓度,φx(x,y),φy(x,y)和vx(x,y),vy(x,y)分別是聲子場和相位子場中xoz與yoz平面內的轉角．

將式(4)代入式(1)中,得到

(5)

彎矩Mxx,Myy和Mxy, 剪力Qx和Qy,廣義彎矩Nxx,Nyy,Nxy和Nyx可以表示為

(6)

其中h是板的厚度．

將式(3)和(5)代入式(6),得到彎矩、廣義彎矩和剪力的表達式為

其中τ=h3/12．

十次對稱二維準晶板的力和力矩平衡方程可以表示為

(7)

其中q是板在單位面積上的橫向荷載．

2 十次對稱二維準晶板彎曲問題的Hamilton對偶方程

引入狀態函數

(8)

則由式(7)和(8)可得到Hamilton正則方程為

(9)

這里H為Hamilton算子,且

(10)

Z=(uz,φ1,φx,vx,φ2,Qy,φy,φ3,φ4,vy)T,

f=(0,0,0,0,0,-q,0,0,0,0)T．

下面將采用辛方法求解對邊簡支矩形十次對稱二維準晶中厚板問題,板的坐標和尺寸如圖1所示．此問題的邊界條件可以表示為

圖1 矩形準晶中厚板示意圖Fig. 1 Schematic diagram of a rectangular quasicrystal medium thickness plate

uz(x)|x=0,a=0,φy(x)|x=0,a=0,Mx(x)|x=0,a=0,vy(x)|x=0,a=0,Nxx(x)|x=0,a=0．

(11)

3 十次對稱二維準晶板彎曲問題的辛分析

式(8)對應的齊次Hamilton方程為

(12)

設Z=X(x)Y(y),并將其代入式(12),得到

(13)

HX(x)=μX(x),

(14)

其中,μ是Hamilton算子矩陣H的特征值,

X(x)=[uz(x),φ1(x),φx(x),vx(x),φ2(x),Qy(x),φy(x),φ3(x),φ4(x),vy(x)]T

(15)

是滿足邊界條件(11)的特征向量．

由式(14)求得Hamilton算子矩陣H的特征多項式為

(16)

Xi(x)=(Ai+Bix+Cix2+Dix3)cos(μx)+

(Ei+Fix+Gix2+Hix3)sin(μx)+Sicos(ξx)+Risin(ξx),

(17)

其中Ai,Bi,Ci,Di,Ei,Fi,Gi,Hi,Si和Ri(i=1,2,…,10)是待定常數．將式(17)代入式(14)中可以得到常數之間的關系．

3.1 Hamilton算子H的特征值和特征向量

將式(17)代入邊界條件(11),為使式(17)存在非零解,令對應的系數行列式為零得

sin4(aξ)sin(aξ)=0,

(18)

進而可得

(19)

(20)

式(19)是四重根,式(20)是單根．

將式(19)代入式(14)可得μn,μ-n相應的特征函數為

3.2 特征函數系的辛正交性和完備性

下面討論Hamilton算子H的特征函數系的辛正交性,給出了特征函數的展開系數,并討論了特征函數系的完備性．

我們用X表示Hilbert空間L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)×L2(0,a)．

定義1 算子的所有特征向量和Jordan形式特征函數的集合

(21)

為廣義特征函數系．

〈U(x),U(x)〉=0, 〈U(x),V(x)〉=-〈V(x),U(x)〉．

引理1 由定義1給出的廣義特征函數系滿足如下辛正交關系：

其中

定理1 在Cauchy主值意義下,Hamilton算子的特征函數系(21)在Hilbert空間X中是完備的．

證明對于?F=[f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),f5(x),f6(x),f7(x),f8(x),f9(x),f10(x)]T∈X,在Cauchy主值意義下由廣義特征函數系(21)給出的辛-Fourier展開式為

(22)

根據引理1,可知

3.3 十次對稱二維準晶板彎曲的辛解析解

由定理1和解的疊加原理,式(9)的通解可以表示為

(23)

式(9)中向量f=(0,0,0,0,0,-q,0,0,0,0)T可以表示為

(24)

其中

其余系數全為零．

將式(23)和式(24)代入式(9)得到微分方程組

(25)

解微分方程組(25)得

(26)

(27)

撓度uz(x,y)的解析表達式為

(28)

其中

彎矩Myy,Mxx和廣義彎矩Nxx,Nyy的解析解表達式為

(29)

(30)

(31)

(32)

當不考慮相位子場時,式(28)和式(29)與文獻[34]中經典板的解完全相同．

4 數 值 結 果

為討論所提出方法的有效性,本節給出了十次對稱二維準晶板在不同長寬比下的撓度uz(qa4K1/η2)在中點處(a/2,0)的數值解,其中材料參數為[33]

C11=23.43 GPa,C12=5.741 GPa,K1=12.2 GPa,K2=2.4 GPa,R=-0.11 GPa．

如表1所示,本文獲得的級數解具有較好的收斂性．

表1 不同寬度和厚度比下中點處的撓度

5 結 論

本文將辛方法應用于十次對稱二維準晶中厚板彎曲的問題研究,通過引入適當的對偶變量,將問題表述為Hamilton正則系統．證明了相應Hamilton算子矩陣的廣義特征函數系統在Cauchy主值意義下具有辛正交性和完備性,保證了Hamilton系統分離變量的可行性,并導出了精確解析解．隨后,對解析解進行了退化比較研究,并給出數值結果,以證明解析解的收斂性和準確性．本文方法的優點在于不需要提前假設任何函數,方法直觀合理,為解決準晶板的彈性問題提供了一種系統的方法．此外,該方法有望應用于準晶板的屈曲和振動等問題的研究中．

致謝本文作者衷心感謝內蒙古師范大學基本科研業務費(2022JBZD010;2022JBXC013)、內蒙古農業大學基礎學科科研啟動基金項目(JC2020002)和內蒙古師范大學研究生科研創新基金項目(CXJJB22011)對本文的資助．

附 錄 A

附 錄 B

其中n=±1,±2,…．

附 錄 C

附 錄 D

hn(y)=e-yμn(C11K1ebμn/2(-2+e(b+2y)μn(b-2y)μn+2yμn-e2yμn(b+2y)μn+

η2(2-bμn)+ebμn(-2+2yμn+η2(2+bμn)))+4(R2+C12k1)eyμn(1+ebμn)2-

e3bμn/2+2yμn(2R2(2+bμn-2yμn)+C12K1(4+bμn-2yμn))+

e(b+4y)μn/2(2R2(-2+bμn-2yμn)+C12K1(-4+bμn-2yμn))+

ebμn/2(2R2(-2yμn+η2(-2+bμn))-C12K1(2+2yμn+η2(2-bμn)))-

e3bμn/2(2R2(2yμn+η2(2+bμn))+C12K1(2+2yμn+η2(2+bμn)))),

η2(2-bμn)+ebμn(-2+2yμn+η2(2+bμn)))+4(C11K1-R2)eyμn(1+ebμn)2-

e3bμn/2+2yμn(C11K1(4+bμn-2yμn)-2R2(2+bμn-2yμn))+

e(b+4y)μn/2(2R2(2-bμn+2yμn)+C11K1(-4+bμn-2yμn))+

ebμn/2(2R2(2yμn-η2(-2+bμn))-C11K1(2+2yμn+η2(2-bμn)))-

e3bμn/2(C11K1(2+2yμn+η2(2+bμn))-2R2(2yμn+η2(2+bμn)))),