立方準晶壓電材料的半空間問題

李光芳, 劉昉昉, 于 靜, 李聯和

(1. 內蒙古農業大學 理學院, 呼和浩特 010018;2. 內蒙古自治區應用數學中心, 呼和浩特 010022;3. 內蒙古師范大學 數學科學學院, 呼和浩特 010022)

0 引 言

1984年,以色列科學家Shechtman采用急速冷凝法研究Al-Mn合金時發現了準晶材料[1],其具有準周期的長程平移對稱性和取向對稱性．由于準晶材料特殊的物理性能,使其具有廣泛的應用前景．Ding等[2]建立了準晶線彈性理論．范天佑[3]通過引入復變量或廣義復變量,研究了若干準晶斷裂力學問題．郭俊宏等[4]構造保角映射,解決了一維六方準晶材料中含雙裂紋的橢圓孔口反平面剪切問題．Li等[5]研究了十八次對稱準晶體的彈性問題．肖萬伸等[6]研究了一維六方準晶復合材料夾雜界面層中螺型位錯與夾雜以及無限大基體的干涉效應．Wang等[7]研究了均勻十次準晶材料裂紋尖端附近的彈性場．Zhang等[8]研究了二維六方準晶材料半空間上的摩擦接觸問題和半平面黏著接觸問題．

壓電效應是準晶材料重要的物理性質之一,在其應用中可能會遇到復雜的機電負載,因此研究準晶壓電材料對外部施加載荷的響應非常重要．文獻[9-10]發展了準晶壓電材料的線彈性理論．Zhang等[11]獲得了一維正交壓電準晶材料平面彈性問題的一般解．Li等[12]采用算子理論方法獲得了一維六方壓電準晶的三維彈性問題的一般解．Fan等[13]發展了含復雜缺陷一維六方壓電準晶的間斷有限元方法．白巧梅等[14]利用復變函數方法得到了一維六方準晶壓電材料裂紋尖端的應力分布和場強度因子的解析表達式．Li等[15]研究了考慮熱效應的一維六方壓電準晶中的三維裂紋問題．劉興偉等[16]利用復變函數方法研究了一維六方壓電準晶中正n邊形孔邊裂紋的反平面問題．Cheng等[17]利用Trefftz方法研究了一維六方壓電準晶反平面斷裂問題．目前,關于三維準晶彈性問題的研究較少,然而實際應用中三維準晶材料的占比非常高．周旺民等[18]考慮了立方準晶中的位錯誘導彈性場．Gao等[19]采用復變函數方法研究了含橢圓孔立方準晶斷裂力學問題．Li等[20]研究了三維二十面體準晶的Stroh形式,并將其應用于位錯問題的研究．Long等[21]研究了立方準晶圓盤的熱彈性問題．三維準晶半空間問題的Green函數解是研究層合材料、界面問題等實際問題的理論基礎,尚未看到有關研究．

本文研究了在反平面機械載荷和面內電載荷作用下立方準晶壓電材料的半空間問題．首先給出了控制方程,然后采用復變函數方法,對半無限域區域表面邊界條件進行積分,獲得了立方準晶壓電材料半空間問題的基本解．在此基礎上,給出了集中線力作用下立方準晶壓電材料半空間問題應力、位移的解析表達式．

1 立方準晶壓電材料的基本方程

在空間直角坐標系下,立方準晶壓電材料反平面問題的本構方程為[22]

(1)

其中σij,εij分別表示聲子場的應力、應變;Hij,ωij分別表示相位子場的應力、應變;Di表示電位移;Ei表示電場強度;C44為聲子場彈性常數;K44為相位子場彈性常數;R3為聲子場與相位子場耦合常數;e14和d123分別為聲子場和相位子場壓電常數;λ11為介電常數．

平衡方程為(不考慮體力的情況)

σiz,i=0,Hiz,i=0,Di,i=0,i=x,y;

(2)

幾何方程為

(3)

其中uz表示聲子場位移,wz表示相位子場位移,Φ表示電勢．

由方程(1)—(3)可以獲得由位移和電勢表示的控制方程：

(4)

方程(4)可以改寫為[13]

AU=0,

(5)

其中U=(uz,wz,Φ)T,A是微分算子矩陣,

(6)

由方程(6)可知A的行列式為

(7)

下面我們引入位移函數F,其滿足方程

(8)

根據算子理論,方程(5)的一般解可表示為

uz=Ai1F,wz=Ai2F,Φ=Ai3F,i=1,2,3．

(9)

取i=2,由方程(6)可知|A|的代數余子式為

(10)

把方程(10)代入方程(9)得

(11)

(12)

(13)

假設復函數F(x,y)的形式為F(x,μy),則μ須滿足如下特征方程[23]：

aμ6+bμ4+bμ2+a=0．

(14)

方程(14)有6個純虛數根：

μ4=-μ1,μ5=-μ2,μ6=-μ3,

根據解析函數的性質和方程(8),位移函數F可以表示為

(15)

其中Re(·)表示實部,Fk(zk)為關于zk=x+μky(k=1,2,3)的任意解析函數．結合方程(1)、(3)、(11)、(12)、(13)可知,應力和電位移的復表示為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

其中

2 立方壓電準晶材料半空間問題基本解

圖1 力電載荷作用下的半無限區域Fig. 1 The semi-infinite region under electromechanical load

由于當y=0時,z1=z2=z3=ξ,ξ為實數,則方程(13)、(16)、(18)可以改寫為

(22)

其中

對方程(22)積分可得

(23)

其中ai(i=1,2,3)為常數(見附錄)．方程(23)為立方壓電準晶材料半空間問題基本解,結合邊界條件,可以得到彈性場分析．作為具體應用,下面討論集中線力作用下立方壓電準晶材料半空間問題．

3 集中線力作用在半空間表面

(24)

(25)

(26)

由方程(24)—(26)可得聲子場和相位子場的位移、電勢表達式為

(27)

(28)

(29)

其中ai(i=4,5,…,8)為常數(見附錄)．當不考慮相位子場時,聲子場位移表達式可以退化為

(30)

且電勢處處為零,與文獻[24]結果一致．由方程(24)—(26)也可得到聲子場和相位子場應力及電位移表達式(見附錄)．

下面討論聲子場位移、相位子場位移和電勢分布情況,材料常數為[12]

C44=5.0×1010N·m-2,K44=3×108N·m-2,R3=1.2×109N·m-2,

e14=-0.138 C·m-2,d123=-0.16 C·m-2,λ11=8.26×10-11C2·N-1·m-2,

S1=2 000 N·m-1,S2=2 500 N·m-1．

圖2 無量綱聲子場位移等勢圖 圖3 無量綱相位子場位移等勢圖Fig. 2 The contour of dimensionless phonon field displacement

圖4 無量綱電勢等勢圖Fig. 4 The contour of dimensionless potential

4 結 論

本文采用復變函數方法獲得了反平面機械載荷和面內電載荷作用下,立方準晶壓電材料半空間問題的基本解．在此基礎上,給出了集中線力作用下,立方準晶壓電材料半空間問題的位移、應力和電場的解析表達式,并用數值結果說明了聲子場、相位子場位移和電勢的分布情況．本文獲得的立方準晶壓電材料半空間問題的基本解可應用于其他半空間邊值問題的研究中．

致謝本文作者衷心感謝內蒙古師范大學基本科研業務費(2022JBZD010; 2022JBXC013)、內蒙古農業大學基礎學科科研啟動基金項目(JC2020002)和內蒙古師范大學研究生科研創新基金(CXJJB22011)對本文的資助．

附 錄

a4=4a1(d123S1-e14S2),

a5=a1(a2S1+S2),

其中

b1=2(C44d123-e14R3),

b2=2(e14K44-d123R3),