網絡化Euler-Lagrange系統的分布式編隊機動控制

楊吉康, 于晉偉, 楊衛華

(太原理工大學 數學學院, 太原 030600)

0 引 言

近年來,隨著機器人控制技術的日益成熟,機器人已應用于更加廣泛的領域,特別是一些危險的或者其他一些特殊場合,滿足礦井作業、水下測繪、橋梁探傷、火星探險等應用需求．然而,無論單個機器人的功能和效用如何提高,單機器人自身性能畢竟有限,特別是對于復雜的工作任務及多變的工作環境,其能力尤顯不足．與單個機器人相比,多機器人系統具有更大的靈活性以及更高的可靠性,能夠完成更復雜的任務．例如,在軍事領域中,通過多機協同可以控制多架低成本無人機實施蜂群作戰,進而大幅度提高其突防能力、毀傷能力以及作戰效費比,達到“1+1≥2”的效果．然而,隨著控制系統規模的越來越大,也產生了更為復雜的控制問題,如多機路徑規劃問題[1]、子系統避碰問題等[2]．為了解決這些問題,多機器人的自主協同控制技術應運而生[3-7]．怎樣充分發揮多機器人系統的優勢,解決其系統中存在的問題并降低不利影響,使系統能夠在復雜環境中更高效地完成任務,是目前多機器人系統研究的目標．

網絡環境下多智能體系統協同作為一種新的多機器人應用形式,近年來引起了國內外學者的廣泛關注與研究興趣,無論是在理論上還是應用上都取得了豐碩的研究成果[8-13]．其中由Euler-Lagrange動力學所描述的網絡化機器人系統的協調控制已成為十分活躍的研究課題之一．這是由于經典的Euler-Lagrange方程可以有效地描述各種機械系統,包括機械手、步行機器人、飛行航天器等,而這種網絡化機械系統的協同具有更高的可操作性、可靠性、可擴展性以及靈活性．因此,對于網絡化Euler-Lagrange系統的深層次理論研究具有十分重要的科學意義和應用前景．最近的代表性研究工作有：文獻[8]研究了有向網絡拓撲下具有通信時延的不確定機械系統的一致性問題;文獻[9]研究了基于事件觸發的Euler-Lagrange多智能體系統分布式最優一致性問題;文獻[10]研究了多Euler-Lagrange系統的領航跟隨一致性問題;文獻[11]研究了網絡化Euler-Lagrange系統的采樣一致性問題;文獻[12]研究了未知Euler-Lagrange系統跟蹤期望時變軌跡的魯棒跟蹤控制問題等．值得注意的是,目前大部分關于Euler-Lagrange系統編隊控制的研究都是控制多個智能體形成期望的編隊構型,并在向目標運動的過程中維持特定的幾何構型,未考慮編隊機動過程中的構型控制情況．編隊機動控制的任務通常是在給定整體機動參數后,使編隊的質心、方向、尺度等幾何參數連續變化,考慮到多智能體編隊控制中時變編隊信息會影響控制器的設計以及系統的分析,因而用于時不變編隊形狀控制的方法不能簡單地推廣到時變編隊機動控制的研究中．顯然,面向實際工程技術領域中,考慮機動控制的網絡化Euler-Lagrange系統能夠更好地適應實際的需求．

在編隊機動控制相關的研究工作中,通常都是采用領航-跟隨法．其中領航者決定時變的機動參數,跟隨者在其控制算法下形成期望隊形．為了形成時變的期望隊形,現有的方法大致分為兩類： ① 每個智能體可以訪問機動參數; ② 只有領航組能夠訪問機動參數．當每個智能體都能訪問編隊機動參數時,編隊機動控制就變成了共識追蹤問題,其中智能體協作保持一個時變編隊[14-17]．某些應用場景中,編隊中的智能體可能具有不同的智能級別,只有領航者才能感知和響應動態環境,也就是說,只有領航者才能夠訪問隨時間變化的部分或者全部機動參數．在這種情況下,可以為每個跟隨者設計估計器來獲得編隊機動參數．然而,控制器的性能會受到估計誤差的影響,估計量也會消耗計算和通信資源．為了避免使用估計器,另一種方法是考慮編隊中智能體之間某些不變約束,如相對距離、相對方位[18]．在以相對距離為約束時,編隊中的智能體能夠在自己的局部坐標系中感知其鄰居的相對位置,然后控制其達到目標編隊,這表明智能體不需要有局部坐標系的公共方向,也就是說,基于距離的編隊機動控制可以實現旋轉和平移機動,而無需為跟隨者設計估計器來估計只有領航者知道的時變機動參數．類似地,可以通過基于相對方位的方法實現縮放和移動操作．

最近提出了一些無估計器的方法,如基于重心坐標的控制方法[19-21]、基于應力矩陣的控制方法[22-30]和基于復雜Laplace算子的控制方法[30-31]．然而,現有的無估計器方法還存在著一些局限性：第一,文獻[19-20,25,28-31]的工作只能應用于低階多智能體系統;第二,基于復Laplace的方法僅僅適用于二維空間;第三,文獻[20-30]中的方法需要凸的或者通用標稱結構,即任意3個標稱編隊中的智能體不在同一條直線上,任意4個標稱編隊中的智能體不在同一個平面上;第四,文獻[20,26-28]沒有對領航者的控制器進行設計,這限制了編隊的機動性,文獻[26]中編隊機動控制的追蹤誤差只能收斂到有界緊集,文獻[32]中的工作需要智能體的相對運動狀態,但在高階多智能體系統中測量相對速度和相對加速度是不切實際的．

本文受上述理論研究以及工程應用價值的激勵,研究了網絡化Euler-Lagrange系統的分布式半全局反饋編隊機動控制的問題．主要創新表現在如下四點：第一,相比于大部分關于Euler-Lagrange系統編隊控制的研究都是控制多個智能體形成期望的編隊構型,并在向目標運動的過程中維持特定幾何構型,本文研究的是編隊機動控制,要求智能體不僅能夠形成期望的編隊構型,并且在給定整體的機動參數后編隊的質心、方向、尺度等幾何參數可以實現連續變化．第二,相比于文獻[25],本文研究的是應用更為廣泛的強非線性Lagrange系統,低階線性多智能體系統的控制方法已不適用．第三,所提出的編隊機動方法在全局坐標系未知的情況下,不僅適用于一般或者凸標稱結構,而且適用于非一般和非凸標稱結構．第四,結合滑模控制理論,構造了完全分布式的機動控制協議,編隊系統中跟隨者無需知道編隊時變機動參數就可以實現期望任務．

本文的其余部分組織如下：第1節描述了一些預備知識和問題陳述;第2節給出了不確定網絡化Euler-Lagrange系統的編隊問題的主要結果;第3節給出了相應的模擬結果;最后第4節給出了結論．

1 預備知識和問題陳述

1.1 符號說明與圖論知識

‖·‖2為給定向量和矩陣的2-范數,In×n表示n×n單位矩陣,設1n為n中的全一向量,設0為全零矩陣或向量,?為Kronecker積,定義D∈SO(n)表示一個n維旋轉矩陣的集合．考慮在p維空間中由n個智能體形成的編隊,其表示為qi∈p,i=1,2,…,n．設G={V,E}為有n個非空點的集合V={1,2,…,n}和有向邊集合E?V×V構成的具有網絡拓撲的有向圖．Ni?{j∈V： (j,i)∈E}表示智能體i的鄰居點集合．如果(j,i)∈E,則表示智能體i可以獲取智能體j的信息．(G,q)表示由智能體qi∈p,i=1,2,…,n形成的編隊．

1.2 網絡化Euler-Lagrange系統動力學

假設編隊網絡由n個Euler-Lagrange系統組成．第i個系統的動力學方程簡寫為[4]

(1)

其中,qi∈p是廣義坐標向量,Mi(qi)∈p×p是對稱正定的慣量矩陣,p×p是Coriolis離心力矩陣,gi(qi)∈p是重力向量,τi∈p是控制輸入．控制系統(1)有如下3個重要的基本性質[33-37]．

性質1 存在4個正常數a>0,b>0,c>0,d>0,對于任意的x,y以及z∈p,都有

a≤‖Mi(qi)‖2≤b, ‖gi(qi)‖2≤c, ‖Ci(x,y)z‖2≤d‖y‖2‖z‖2．

性質3 對于任意的x,y∈p,系統(1)可線性參數化為

(2)

1.3 問題陳述

(3)

式(3)等價于

(4)

通過矩陣理論我們可以知道要求構造智能體相對約束的最少智能體個數：

ωijeij+ωikeik=0;

(5)

ωijeij+ωikeik+ωiheih=0．

(6)

我們可以將式(6)中參數ωij,ωik,ωih寫成向量形式：

(ωij,ωik,ωih)(eij,eik,eih)T=0．

(7)

同樣地,式(5)也可以寫成這種形式,對于每一個智能體i,i∈Vf,通過式(3),跟隨組的一組距離約束可以寫成如下的矩陣形式：

(Ωf?I2)r=0,

(8)

其中Ωf∈nf×n定義為跟隨矩陣,滿足

(9)

注1 由跟隨矩陣的定義可知,其可以不是方陣,并且不要求對稱,這與文獻[22]中定義的應力矩陣不同．該文獻中要求矩陣是方陣且為對稱矩陣,即ωij=ωji．并且,傳統Laplace矩陣中的權重一般是非負的,但是跟隨矩陣中的元素可以是負數．

由于智能體被劃分為領航者和跟隨者,故跟隨矩陣可以寫為如下形式：

Ωf=[Ωfl,Ωff],

(10)

其中Ωfl∈nf×nl,Ωff∈nf×nf．據此,式(8)等價于

(Ωfl?I2)rl+(Ωff?I2)rf=0．

(11)

定義1[22]若rf可以被rl確定,即Ωff是非奇異的,則稱標稱編隊(G,r)為可局部化的．

也就是說,如果(G,r)為可局部化的,則標稱編隊中跟隨組的標稱位置可以由領航組的標稱位置表出

(12)

接下來,通過一個例子來說明如何計算一個標稱編隊的跟隨矩陣Ωf中的子矩陣Ωfl以及Ωff．考慮在二維平面中由7個智能體組成的系統,如圖1所示．其中有3個領航者：ri=[4,0]T,rj=[2,2]T,rk=[2,-2]T,4個跟隨者：rh=[0,2]T,rm=[0,-2]T,rp=[-2,2]T,rq=[-2,-2]T．圖中有向箭頭表示智能體信息傳遞的方向．

圖1 標稱隊形Fig. 1 The nominal formation

由式(3),通過計算可得智能體h與智能體i,j,k的距離約束為

-2ehi+3ehj+ehk=0．

(13)

同理,智能體m與智能體i,j,k的距離約束為

-2emi+emj+3emk=0．

(14)

智能體p與智能體i,h,m的距離約束為

-2epi+5eph+epm=0．

(15)

智能體q與智能體h,m,p的距離約束為

-eqh+eqm+eqp=0．

(16)

(17)

其中

(18)

q*(t)=a(t)[In?Q(t)]g(t)+1n?b(t),

(19)

其中a(t)∈,Q(t)∈SO(2),b(t)∈2分別為時變縮放、旋轉和平移編隊機動;為時變編隊隊形,類似于式(11)中的標稱編隊,g(t)應滿足

(Ωfl?I2)gl(t)+(Ωff?I2)gf(t)=0．

(20)

式(20)中的Ωfl和Ωff是由式(7)中所示的標稱編隊(G,r)計算出來的．

注2 如果不需要改變隊形,則有g(t)=r,其中r為標稱構型．那么式(19)中所期望的時變編隊為

q*(t)=a(t)[In?Q(t)]r+1n?b(t)．

(21)

(22)

這表明,跟隨者可以實現期望的時變編隊形狀縮放機動、旋轉機動和平移機動．而不需要估計只有領航者知道的時變機動參數g(t),a(t),Q(t),b(t)．本文的目標是設計一個特定的控制率,使得所有的跟隨者都能達到跟隨者和運動的領航者之間的速度匹配,同時系統仍能夠實現時變機動編隊．定義2進一步解釋了本文的編隊機動控制問題．

定義2 在有向網絡拓撲結構下,如若下面等式成立,則稱控制協議τi能夠解決網絡化Euler-Lagrange系統的編隊機動控制問題．智能體i的狀態滿足

2 網絡化Euler-Lagrange系統的控制器設計

本節討論了網絡化不確定性Euler-Lagrange系統中領航者和跟隨者的編隊控制問題．目標是為系統設計合適的控制協議,以便實現時變期望機動編隊．首先對系統中的領航者設計控制器,實現領航者的機動編隊;其次對系統中的跟隨者設計控制器,要求設計出來的控制器可以實現跟隨者在無需獲取只有領航者知道的時變機動參數的情況下可以跟隨領航者運動．

為了設計控制器,引入以下假設．

假設2 跟隨者可以接收3個智能體信息．

注4 由假設1可知,編隊的運動狀態包括縮放、旋轉和平移．根據編隊需求,可以分別對不同時變機動參數進行設置．在1.3小節中,通過對跟隨矩陣的定義(式(9))以及網絡拓撲的設計,要求每個跟隨者能夠在與相鄰智能體相對距離參數的約束式(3)下實現期望的時變機動編隊,而不用估計或者知道時變機動參數．這意味著在二維平面中,跟隨者需要接收3個相鄰智能體信息．即假設2成立是對編隊網絡拓撲結構的要求．由于考慮到多智能體在實際控制過程中,它們的期望速度、期望加速度以及期望加速度的導數往往都是有界的．因此提出了假設3．

2.1 領航者編隊控制器設計

定義3 在有向網絡拓撲結構下,如若下面等式成立,則稱控制協議τi能夠解決網絡化Euler-Lagrange系統中領航者的編隊機動控制問題,智能體的狀態滿足

(23)

(24)

利用式(23)給出的參考速度,為第i個智能體設計如下的滑模：

(25)

式(25)可以進一步寫為

(26)

將編隊控制協議設計為

(27)

所期望的自適應變化率選擇為

(28)

其中ki,Λi都是正定對稱矩陣．

通過將式(27)代入到式(1)中,閉環系統(1)可以被寫為

(29)

定理1 在假設1—3下,利用控制算法(27)和自適應律(28),網絡化Euler-Lagrange系統中領航者能夠在定義3意義下實現期望的隊形：

證明考慮下面的Lyapunov函數：

(30)

對Vi求導,同時利用式(28)、式(29)和性質2,可得

(31)

2.2 跟隨者編隊控制器設計

定義4 在有向網絡拓撲結構下,如若下面的等式成立,則稱控制協議τi能夠解決網絡化Euler-Lagrange系統中跟隨者的編隊機動控制問題．智能體的狀態滿足

注6 易知,定義2等價于定義3和定義4．

(32)

(33)

利用式(32)給出的參考速度,為第i個智能體設計如下的滑模：

(34)

那么式(34)可以被寫為

(35)

將編隊控制協議設計為

(36)

所期望的自適應變化率選擇為

(37)

其中ki,Λi都是正定對稱矩陣．

通過將式(35)代入到式(1)中,閉環系統(1)可以被寫為

(38)

通過運用跟隨矩陣(9),由式(35)可知,跟隨組的滑模可以寫為

(39)

進一步地,跟隨組的滑模可以被寫為

(40)

定理2 在假設1—3下,利用控制算法(27)、(36)和自適應率(28)、(37),網絡化Euler-Lagrange系統能夠在定義3、定義4意義下實現期望的隊形：

考慮下面的Lyapunov函數：

(41)

其中i=nl+1,…,n．利用式(37)和(38)以及性質2,對Vi求導,有

(42)

注7 定理1和定理2在給出了有向圖拓撲結構下,網絡化Euler-Lagrange系統實現編隊機動控制的充分條件．

注8 定理1和定理2的證明表明,所提控制算法僅使用了滑模控制方法就可以實現對網絡化Euler-Lagrange系統的編隊機動控制,所得結果不要求凸標稱隊形,比基于應力矩陣理論得到的跟蹤控制算法有一定的優越性[19]．

3 仿 真 實 驗

為驗證所設計控制算法和編隊理論的正確性和有效性,本節給出例子進行數值仿真．在仿真中模擬一個復雜的環境．在這個環境中,智能體需要通過兩個隧道以實現避障．因此,智能體編隊需要改變編隊的形狀、方向和位移．在仿真中只有領航者才能夠感應和響應環境,以證明所提控制策略的有效性．假設第i個智能體的動力學方程如下[34]：

(43)

其中

M11=a1+2a3cos(qiy)+2a4sin(qiy),M12=M21=a2+a3cos(qiy)+a4sin(qiy),M22=a2,

仿真中實際使用的參數為a1=3.3,a2=0.97,a3=1.04,a4=0.6．回歸矩陣Yi的元素為

圖2 通信圖Fig. 2 The communication diagram

由式(7)、(9)、(10),計算可得跟隨矩陣Ωf以及子矩陣Ωfl和Ωff：

(44)

(45)

(Ωfl?I2)gl(t)+(Ωff?I2)gf(t)=0,

(46)

其中Ωfl和Ωff在式(45)中給出．

領航者的編隊隊形gl(t)設計為

gl(t)=(4 0 2 2 2 -2)T．

(47)

結合式(46)和(47),可得跟隨者的時變隊形為

(48)

期望隊形為

(49)

gl(t)=(154 -30 156 -30 157.7 -30)T．

(50)

結合式(46)和(50),可得跟隨者的時變隊形為

(158.85 -30 160.55 -30 161.7 -30 163.4 -30)T．

(51)

期望隊形為

(52)

為了更加直觀地驗證控制算法和編隊理論的有效性,仿真中給出了系統在控制算法(27)和(36)下,系統隨時間的狀態變化．圖3給出了7個系統在160 s內的輸出軌跡,并給出了部分時刻系統的輸出分布．圖4給出了系統在Ox軸和Oy軸方向上的追蹤位置誤差,圖5給出了系統在Ox軸和Oy軸方向上的追蹤速度誤差,圖6給出了系統中控制器的狀態,圖7給出了不同時刻系統中自適應參數的更新狀態．從圖3、圖4可以看出7個系統能夠實現編隊機動控制并且達成一致狀態．從圖5可以看出7個系統的速度誤差最終能夠收斂到零．從圖6、圖7可以看出,7個系統的自適應參數以及控制器能夠隨著機動參數的變化而變化并且逐漸穩定．因此,定理1和定理2通過數值仿真得到了驗證．

圖3 不同時刻系統的運動狀態Fig. 3 Motion states of the 7 agents at different moments

圖5 系統的追蹤速度誤差Fig. 5 Tracking velocity errors of the system

圖6 不同時刻系統的控制器狀態Fig. 6 Controller states of the 7 agents at different moments

圖7 系統的自適應參數狀態Fig. 7 Adaptive parameter states of the 7 agents at different moments

4 結 論

本文研究了在有向網絡拓撲下, 具有領航者的不確定性網絡化Euler-Lagrange系統的編隊機動控制問題．基于經典的滑模控制理論與代數圖矩陣理論構造了不確定性網絡化Euler-Lagrange系統的編隊機動控制策略．該算法中跟隨者不需要知道機動參數,且編隊的標稱隊形可以是一般或者凸標稱結構,也可以是非一般和非凸標稱結構．最后通過數值仿真,驗證了所提算法的可行性．

致謝本文作者衷心感謝太原理工大學2022年校專項/青年基金(2022QN100)對本文的資助．