具有時變時滯的離散時間切換奇異正系統的l1濾波

王金玲, 侯玉曉, 李 強, 謝寶英

(安徽農業大學 理學院, 合肥 230036)

0 引 言

1989年,Dai出版了關于奇異系統理論的第一本專著,系統地介紹了有關奇異系統的基本理論,該著作的發表標志著奇異系統理論的正式形成[1]．奇異系統可以看作是對由微分/差分方程描述的狀態空間模型的一種推廣．根據應用領域的不同,奇異系統又常常被稱作描述系統、隱式系統、廣義狀態空間系統、半狀態系統、微分代數系統等[2-3]．由于奇異系統既包含由微分方程(連續系統)或差分方程(離散系統)描述的慢變子系統,又包含由代數方程描述的快變子系統,因此,對奇異系統相關動力學行為的研究往往比對由單獨的微分或差分方程描述的狀態空間模型的研究更復雜[4]．值得指出的是,奇異系統模型存在于社會生活的諸多領域,比如常見的Leontief經濟模型、Hopfield神經網絡模型、害蟲治理模型、電路系統、機器人系統、核反應堆系統等[5]．近年來,這類特殊但與現實密切相關的系統開始受到國內外學者的廣泛關注[6-8]．奇異系統具有廣泛的應用背景,其優點是能更確切地反映現實系統中變量之間的關系．然而,由奇異系統的定義可知,很多對于一般系統成立的結論都不能直接應用到該系統中去,這也是筆者撰寫本文的動機之一．

為了更好地刻畫越來越復雜的工程實踐過程,由多個子系統和一個切換信號所組成的切換系統應運而生．切換系統理論能有效地描述很多復雜的動力學行為,為探索與研究復雜系統的性質提供了一種有效的途徑[9]．切換信號的選取對系統的穩定性有很大的影響,具體地： 即使所有的子系統都是穩定的,仍然可以通過限定切換信號來使最終的切換系統是不穩定的[10]; 另一方面,當所有的子系統都不穩定時,在某些特定的切換信號下,也能使最終的切換系統是穩定的[11-12]．在研究切換系統的穩定性時,為了降低所得結果的保守性,目前較為成熟和有效的方法是對其切換信號加以平均駐留時間的約束,即在平均意義下,限制兩個連續切換時刻之間的時間差[13]．另外,考慮到信息傳遞的延遲性和外界環境的復雜多變性,將時變時滯引入到切換系統中進一步完善,使其更接近真實系統是很有必要的[14]．時滯的存在可能會導致系統性能的破壞,甚至會改變系統的穩定性,這是值得探究的外部因素．近些年來,時滯切換系統逐漸成為控制領域中一個熱門的研究課題,并且在穩定性分析[15]、濾波器設計[16]、性能分析[17]等方面取得了很多喜人的成果．

前面提到的奇異系統和切換系統,其狀態變量和輸出變量可以在整個實數空間中取值．然而,很多現實系統都有非負的行為特性,我們稱之為正系統．與一般動力系統相比,正系統的最大特性在于其正性,即系統所有的狀態變量和輸出變量都只能在實數空間的第一象限內取值[18]．作為一類特殊的動力學系統,正系統在實際中有著非常廣泛的應用．例如生物學中常見的捕食-被捕食模型、人口模型,以及很多刻畫化工工業生產的模型等都需要用正系統來描述[19]．很顯然,在對這類特殊的系統進行穩定性分析時,也可以采用經典的二次Lyapunov函數方法,但是這樣就不能體現其正性這一有別于一般系統的特性．因而得到的結果必然會有一定的保守性．為了充分利用正系統狀態變量非負的特性,本文將通過選取共正Lyapunov函數這一線性形式的函數來研究其穩定性．一般地,共正Lyapunov函數的結構相對簡單,并且相比于二次Lyapunov函數來說能得到具有更少保守性的條件,所得結果對工程實踐具有重大的指導價值[20]．眾所周知,在研究奇異系統的穩定性時,首先要驗證其正則性和因果性是否成立,以確保解的存在唯一性．當將時變時滯、切換機制和正性引入后,再分析奇異系統的正則、因果、穩定時難度將大大提升．和已有文獻相比,本文所考慮的系統更具一般性,所得結果也更具實用性．

另外,在狀態空間模型中,往往很難直接測量得到系統的狀態,需要通過系統地輸入和輸出信息將其重構出來,這就是所謂的濾波問題．濾波問題在工程應用,尤其是在生物學、信號處理、網絡控制和過程控制等領域中都具有重要的作用[21]．若所研究的系統中存在外部干擾信號,我們經常對其設計H∞濾波器,此濾波器的好處在于： 不需要知道外部干擾信號確切的統計特性,因而具有一定的魯棒性．設計H∞濾波器旨在找到一個估計器使得相應的濾波誤差系統是穩定的,并且擾動輸入到估計誤差的傳遞函數的H∞范數小于某個給定的值γ[22]．然而,對于正系統來說,考慮到其狀態變量和輸出變量的正性,研究其1-范數更符合實際,也就是說,對其設計l1濾波器更為合適[21]．現有文獻中已有很多關于濾波器設計問題的結果[23-26],這些文獻分別對不確定時滯攝動系統、時變重復過程、切換系統、切換奇異系統設計了合適的濾波器．然而,系統固有的正性卻均未涉及,這是書寫本文內容的另一個動機．受上述討論的啟發,本文旨在研究具有時變時滯的離散時間切換奇異正系統的l1濾波器的設計問題．本文的主要創新點和貢獻可以概括為以下幾個方面： ① 考慮到現實生產過程和外界干擾的復雜多變性,本文探討了時變時滯、切換以及系統的正性等普遍存在的現象對奇異系統的影響; ② 本文首次對奇異切換正系統設計了具有指數穩定性和l1增益性能的濾波器; ③ 通過利用平均駐留時間和共正Lyapunov函數的方法,給出了濾波誤差系統指數穩定和有l1增益性能的充分條件和相應濾波器的設計方法．

本文使用的符號意義如下：Z表示非負整數的集合;A0(?0)表示矩陣A的所有元素均非負(非正),AT表示矩陣A的轉置, det(A)表示矩陣A的行列式, deg(·)表示多項式的次數, rank(A)表示矩陣A的秩;R(R+)表示所有的實數(正實數)所組成的集合,Rn表示n維實向量空間,表示n維正實向量空間,表示n維非負實向量空間,Rm×n表示所有m×n維實矩陣所組成的集合;Ap,q表示矩陣A的第p行、第q列處的元素,Ar,a表示矩陣A的第a行,Ac,a表示矩陣A的第a列;xp表示向量x的第p個分量,表示向量x∈Rn的1范數,表示矩陣A∈Rn×m的1范數,x∈l1[0,∞)表示向量值函數x：Z→Rn滿足表示所有元素都為1的n維列向量,對于任意的表示向量ν分量的最大值,表示向量ν分量的最小值．

1 問 題 描 述

考慮如下具有時變時滯的離散時間切換奇異系統：

(1)

不失一般性,令

(2)

本文的目的是設計如下形式的濾波器：

(3)

通過定義xe(k)=x(k)-xf(k),ze(k)=z(k)-zf(k),可以得到如下的濾波誤差系統：

(4)

為了本文研究的需要,引入下面幾個定義、引理和假設．

定義3[28]當w(k)≡0時,若存在常數τ>0和0<<1,使得對于任意的非負初始條件和切換信號σ(·),都有

成立,則稱濾波誤差系統(4)是指數穩定的．

定義4[29]濾波誤差系統(4)指數穩定及零初始條件下,若對于給定的常數α>0和γ>0,都有

(5)

成立,則稱濾波誤差系統(4)具有l1增益性能指標γ．

定義5[30]對于任意的非負整數T2>T1,Nσ(T1,T2)為切換信號σ(·)在區間[T1,T2]上的切換次數,若存在正常數N0和Ta使得不等式

(6)

成立,則稱Ta為切換信號σ(·)的平均駐留時間,N0為振動界．

注1 不失一般性,在本文中,取振動界N0為0,從上述定義可以看出,如果切換信號σ(·)滿足平均駐留時間的約束,那么兩個連續切換時刻之間的時間差在平均意義下是大于等于Ta的．

引理1[31]若對所有的i∈IN,都有Ai4和Ai4-Ki2Ci2是非奇異的,則系統(4)是正則的、因果的．

假設1 對所有的i∈IN,系統(1)中的系數矩陣滿足：Ai10,Ai20,Ai30,Ai4-1?0,Ad,i0,Bi0和Li0．

對于所有的i∈IN及任意給定的正常數ξ,當矩陣Ai4非奇異,并且Ai4-Ki2Ci2=-ξI時,濾波誤差系統(4)可轉化為

(7)

Ad,i1K=Ad,i1+(Ai2-Ki1Ci2)Ad,i3/ξ,Ad,i2K=Ad,i2+(Ai2-Ki1Ci2)Ad,i4/ξ,Ai3K=(Ai3-Ki2Ci1)/ξ,Bi1K=Bi1-Ki1Di+(Ai2-Ki1Ci2)(Bi2-Ki2Di)/ξ,Bi2K=(Bi2-Ki2Di)/ξ．

引理2[29]若對于所有的i∈IN和任意給定的正常數ξ,都有Ai4非奇異,并且Ai4-Ki2Ci2=-ξI,則系統(4)為正系統當且僅當系統(7)為正系統．

本文的主要目的是設計一個形如式(3)的濾波器,并探索濾波誤差系統(4)在w(k)≡0情況下的正性、正則性、因果性及指數穩定性,另外,在w(k)≠0的情況下,外界擾動輸入對濾波誤差系統性能的影響也被加以分析和討論．

2 穩定性分析

在本節中,我們將討論濾波誤差系統(4)的穩定性問題,并通過計算和分析給出該系統是正、正則、因果及指數穩定的充分條件．

(8)

(9)

(10)

(11)

‖Ad,i4‖1<1,

(12)

(13)

(14)

(15)

成立,其中ξ為任意給定的正常數,a,a1∈Is{1,2,…,s},b,b1∈In-s{1,2,…,n-s},則當切換信號的平均駐留時間滿足

(16)

和

νi?μνj,φi?μφj,φi?μφj, ?i,j∈IN

(17)

時,濾波誤差系統(4)是正的、正則的、因果的、指數穩定的．另外,濾波器(3)中相應的系數矩陣可以設計為

(18)

其中g∈In{1,2,…,n},t∈Im{1,2,…,m}．

證明條件(8)意味著

(Ki2)r,b(Ci2)c,b1-(Ai4+ξI)b,b1=0,

即

Ai4-Ki2Ci2=-ξI,

因而,由引理1可知,濾波誤差系統(4)在假設條件1下是正則的、因果的．

(Ai1)a,a1-(Ki1)r,a(Ci1)c,a1≥0, (Ai2)a,b-(Ki1)r,a(Ci2)c,b≥0, (Ai3)b,a-(Ki2)r,b(Ci1)c,a≥0,即

Ai1-Ki1Ci10,Ai2-Ki1Ci20,Ai3-Ki2Ci10．

因此,由引理2和引理3可知,當w(k)≡0時,濾波誤差系統(4) 在假設條件1下是一個正系統．為了分析濾波誤差系統(4)的穩定性,我們構造如下的共正Lyapunov函數：

Vσ(k)(k)=Vσ(k)1(k)+Vσ(k)2(k),

(19)

其中

當σ(k)=i時,函數Vσ(k)(k)的增量為

ΔVi(k)=Vi(k+1)-αVi(k)=

(20)

上面的放縮過程用到了時變時滯d(k)的范圍以及濾波誤差系統(4)的正性,將式(18)代入式(13)—(15),可得

這意味著下面的不等式是成立的：

因此ΔVi(k)≤0,即

Vi(k+1)≤αVi(k)．

(21)

由式(21)可知,當k∈[kr,kr+1)時,有

Vσ(k)(k)≤αk-krVσ(kr)(kr)．

(22)

根據式(17)、(22)和定義5,可得

Vσ(k)(k)≤αk-krVσ(kr)(kr)≤

αk-krμαkr-kr-1Vσ(kr-1)(kr-1)≤…≤

μNσ(k0,k)αk-k0Vσ(k0)(k0)≤(αμ1/Ta)k-k0Vσ(k0)(k0)．

(23)

另外,從式(19)中Vσ(k)1(k)的表達式,有

(24)

(25)

其中

從式(23)和(25)可知,有如下不等式成立：

(26)

其中τβ2/β1>1,αμ1/Ta<1．因而,由定義3可知,是指數穩定的．

(27)

另外,從式(26)可知,當k>d(k)時,有

(28)

繼而,易得如下不等式對所有的非負整數k恒成立：

(29)

?k≥0,

(30)

(31)

(32)

若k∈[d(k),2d(k)],那么k-d(k)∈[0,d(k)],由式(31)和(32),可得

(33)

假設對任意的k∈[(r-1)d(k),rd(k)],都有

(34)

成立．那么當k∈[rd(k),(r+1)d(k)],即k-d(k)∈[(r-1)d(k),rd(k)]時,通過式(31)和(34),可得

(35)

因而,由歸納假設可知對所有的k,都有

(36)

若|Ad,i4‖1<1,通過計算可得

(37)

綜上所述,對于所有的k≥0,都可以得到下面的不等式：

其中M=τ+δ/(1-‖Ad,i4‖1)．因此,當w(k)≡0時,濾波誤差系統(4)是指數穩定的．證畢．

3 l1增益分析

在本節中,我們將討論濾波誤差系統(4)的l1增益問題,并且給出該系統是正、正則、因果及有l1增益性能的充分條件．

(38)

(39)

(40)

(41)

成立,其中e∈Iq{1,2,…,q}．則當切換信號的平均駐留時間滿足條件(16)、(17),濾波器(3)中相應的系數矩陣滿足條件(18)時,濾波誤差系統(4)是正的、正則的、因果的,并且有l1增益界γ．

(Bi1)a,e-(Ki1)r,a(Di)c,e≥0, (Bi2)b,e-(Ki2)r,b(Di)c,e≥0,

即

Bi1-Ki1Di0,Bi2-Ki2Di0．

因此,由引理3可知,濾波誤差系統(4)在假設條件1下是一個正系統．另外,當定理2中的條件滿足時,定理1中的條件顯然是成立的．因而,當w(k)≡0時,濾波誤差系統(4)是指數穩定的．

為了分析濾波誤差系統(4)的l1增益性能,我們選取與式(19)相同的共正Lyapunov函數并通過使用類似定理1的證明,可得

Vi(k+1)-αVi(k)+‖ze(k)‖1-γ‖w(k)‖1≤

(42)

Vi(k+1)-αVi(k)+‖ze(k)‖1-γ‖w(k)‖1<0．

(43)

因此,當k∈[kr,kr+1)時,有

(44)

其中Γ(l)=‖ze(l)‖1-γ‖w(l)‖1．由式(17)和(44),可得

(45)

當初始條件為零時,顯然有Vσ(k0)(k0)=0,進而有

即

(46)

不等式兩邊同乘μ-Nσ(k0,k),得

(47)

由平均駐留時間的定義、條件(16)及μ≥1這一事實,可知

μ-Nσ(k0,l)≥αl-k0,μ-Nσ(k0,l)≤1．

因而

(48)

進而

(49)

即

(50)

因此

(51)

根據定義4可知,濾波誤差系統(4) 是正的、 正則的、 因果的、 指數穩定的,并且具有給定的l1增益性能指標γ．證畢．

注3 通過使用共正Lyapunov函數方法,本文得到了線性規劃形式的判定條件,此類條件便于用MATLAB工具箱驗證求解,且計算復雜度較低．當定理1和定理2中的條件存在可行解時,對所有的i∈IN,我們都可以給出一組νi2和Πi的值,使得定理1 和定理2中的條件成立,將νi2和Πi的值代入式(18)中即可求出待設計濾波器的系數矩陣．

4 數 值 例 子

下面我們將通過一個例子來展示本文方法的可行性和有效性．

例1 考慮包含兩個子系統的系統(1),相對應的系數矩陣為

顯然,本例中的系數矩陣滿足假設1和條件‖Ad,i4‖1<1,通過選取ξ=2,d(k)=3 |sin(kπ/2)|+1,α=0.7,μ=5.142 9,以及增益性能指標γ=0.9,并且求解定理1中的條件,可以得到如下可行解：

ν1=(9.987 9,0.442 1,3.406 4,2.638 8,1.985 2,0.603 8,1.636 6,0.574 3)T,

ν2=(9.980 9,0.372 1,3.469 0,2.116 6,2.071 8,0.511 6,1.842 2,0.617 1)T,

φ1=(1.310 7,0.000 1,0.002 9,1.307 1,0.001 4,0.000 1,0.000 7,0.003 0)T,

φ2=(1.290 0,0.000 1,0.001 7,0.925 4,0.007 2,0.000 1,0.003 0,0.011 5)T,

φ1=(0.012 4,0.000 4,0.005 8,0.004 0,0.007 2,0.000 4,0.002 2,0.003 0)T,

φ2=(0.006 3,0.000 5,0.004 5,0.017 4,0.026 8,0.000 4,0.013 2,0.011 5)T,

依據式(18)和上面的結果,可以將相應的濾波器矩陣設計為

將上式中的濾波器矩陣代入,即可得到濾波誤差系統(4)中的各系數均為正．當s=1時,計算可得

另外

deg(6.000 1s6-8.024 4s5+3.778 8s4-0.773 6s3+0.075 7s2-0.003 4s+5.596 4×10-5)=

deg(5.599 7s6-6.270 5s5+2.206 0s4-0.258 5s3+0.011 1s2-0.000 1s-1.712 7×10-7)=

因而,濾波誤差系統(4)為正的、正則的、因果的．

(52)

擾動輸入取為w(k)=5-0.2k．在上面所給的邊界條件(52)和如圖1所示的切換序列下,濾波誤差系統(4)的狀態軌跡分別如圖2和圖3所示．從狀態軌跡圖2和圖3可知,濾波誤差系統(4) 是正的、指數穩定的．

在零邊界條件和上面所給出的擾動輸入下,我們也給出了待估計的輸出誤差ze(k)的圖像,詳見圖4．此外,通過計算可以得到

進而

因此,由定義4可知,濾波誤差系統(4)有l1增益界0.9．

注 為了解釋圖中的顏色,讀者可以參考本文的電子網頁版本．

5 總 結

本文為一類具有時變時滯的離散時間切換奇異正系統設計了一個合適的濾波器．通過利用共正Lyapunov函數和平均駐留時間的方法,給出了使得相應的濾波誤差系統滿足正性、正則、因果以及指數穩定的充分條件．當外部擾動輸入不為零時,進一步給出了濾波誤差系統具有給定的l1增益性能的限定條件．最后,通過數值仿真檢驗了本文方法的可行性和有效性．

致謝本文作者衷心感謝安徽農業大學引進高層次人才項目(rc381901; rc382106)對本文的資助．