層級化 多層次 立體化
——陳淑娟老師《包裝的學問》教學片斷賞析

文|王明濱

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布，“綜合與實踐”領域迎來了內容變化最大和教學挑戰最強的一次轉變。不但課時增加了，相應的內容也得到了充實。“包裝的學問”作為北師大版“綜合與實踐”領域的內容，是在學生學習了長方體表面積和體積之后的一次“綜合應用”，是落實核心素養的一次實踐性、探索性和研究性的學習。筆者有幸學習了廈門市海滄區教師進修學校陳淑娟老師執教的課例《包裝的學問》。作為“說理”課堂的引領者和踐行者之一，陳老師在課堂上展示出層級化的課程思維，借助《學習單》讓學生思維可視化的教學手段和立體化的共通能力，培養學生的核心素養，值得每一位教師跟進學習。

片斷一：層級化的課程思維

師：今天要研究的問題是？

生：包裝中的學問。

師：想一想，在生活中的包裝可能遇到什么樣的數學問題？

生：一個東西的外表要用到多少包裝紙？有時候包裝要鑲邊就要計算棱長總和。

生：這個包裝能容納多少東西？

生：包裝有時候是很多東西放在一起，可能要求重疊的兩個面的面積。

生：還可能讓我們求包裝需要的彩帶有多長。

生：怎樣包裝更節省紙？

師：那今天我們來研究什么問題呢？

出示任務：下圖是一盒餡餅的尺寸，商家要把十盒這樣的餡餅包裝成一箱進行銷售，請幫他想想，怎樣設計紙箱才最節約紙皮？（紙皮的厚度和銜接處忽略不計）

【賞析：“我們要建立從培養目標到課程標準再到教學目標的層級化的‘樹人’目標體系。課程思維本來就需要一致性地思考在目標統領下的教學、學習、評價的問題，所有單一或點狀的思考都不是課程思維，而是人們常說的教學思維。”從“在生活中的包裝可能遇到什么樣的數學問題”說開，所有的問題都來源于學生已有的數學現實。在學生所有單一或點狀的思考中，逐漸構筑出一個龐大的課程體系，涉及到長方體和正方體的棱長總和、表面積、容積和體積等數學問題，還有實際包裝中可能遇到的各種問題。在這樣開放的問題中，體現了問題設置的“低門檻”和“大空間”的特點，每位學生都能結合自身的生活經驗和學習經驗提出想研究的數學問題。避免一入課就“計算兩盒糖果包成一包的表面積”的做法。在這段看似輕松隨意的談話中，可以看出一個執教者的課程思維，站在更宏觀的角度來思考包裝中可能涉及的數學問題。這就要求每一位教師都要像專家一樣來思考我們的教學，從以往的教學思維轉向課程思維，做到心中既有核心素養目標導向，又有課程標準的教學準繩，唯有這樣才有教學目標的落實。】

片斷二：多層次的學習路徑

師：怎樣才能最節約紙皮呢？

生1：我們得出的最佳方案是長30cm、寬20cm、高25cm（如下圖），先把每個人的方案都展示出來，再看哪個表面積是比較節約的，發現長、寬、高越接近的，表面積就會越小一些。

方案一的表面積：（20×30+20×25+30×25）×2=（600+500+750）×2=3700（cm2）

生2：為什么不把十個疊在一起呢？

生1：把十個疊在一起（出示方案二），發現高是50cm，50cm 與另外兩條棱的數據差太多了，所以淘汰掉了。

方案二的表面積：（20×50+15×50+20×15）×2=（1000+750+300）×2=4100（cm2）

師：在討論中有什么發現嗎？

生：我們發現看似越不可能的方案可能會更好一些。

師：有比較有趣的方案嗎？

生3：有趣的方案就是這個交叉的（出示方案三），但并不是最節約的。方案一是最節約的。

方案三的表面積：（40×25+15×25+40×15）×2=（1000+375+600）×2=3950（cm2）

師：還有愿意分享的嗎？

生4：我們討論出來的方法也是一樣的，本來打算十個疊在一起，但不是最節省的。雖然15×20一開始是最大的面，但是把五個疊在一起后，最大的面就變成20×25，這時就產生了新的大面，所以把兩個20×25 的面疊在一起，就節省了兩個新的最大的面。

生5：我們還找到了一個比較有意思的方案（出示方案四）。先把它分成三份，豎著放4 個，再往上疊一層，最后橫著放2 個，得出長20cm、寬15cm、高50cm。雖然不是最少的，但剛好也能擺成一個長方體，所以比較有趣。

方案四的表面積：（20×15+15×50+50×20）×2=（300+750+1000）×2=4100（cm2）

師：有什么經驗要分享給大家？比如怎么更快地得出方案？

生1：首先拿到一個長方體，它總共有三個不同的面。先把最大的面重合，盡量減少最大的面，這樣就能減少包裝紙。

生6：為什么方案四不是最簡的呢？

生1：方案四的高接近長和寬的兩倍，和正方體非常不相似，也沒有把最大的面藏起來。

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生6：那為什么不把十個疊在一起？它們就是把最大的面藏起來的。

生1：十個疊在一起，雖然是把每個圖形最大的面藏起來，但是疊到第五個就會產生新的大面，因為大面是隨時會產生變化的。

師：比較這些答案，能找到怎樣包裝最節省材料的奧妙嗎？

生：我發現，要表面積最小，它們的長、寬、高要接近一些。

生：第一個是藏大露小，盡量把最大的面藏起來，最小的面露出來；第二個是觀察小的面會不會疊成更大的面；第三個是包裝要接近正方體，長、寬、高越接近，表面積越小。

師：想最節約包裝的材料，就要讓長、寬、高盡可能接近，把它盡可能拼成一個正方體。

【賞析：“當老師理解數學的每個主要領域或主題的發展進程，以及基于它們的序列活動時，他們創設的數學學習環境就會特別具有發展適宜性和有效性。”兒童的學習與發展遵循自然的發展進程。從生生對話和師生對話中可以看出，學生經歷了一個完整的探究過程，這一進階過程完全符合SOLO 分類理論，從學生展現的作品，我們不難劃分出以下五種思維水平。

各個分數等級描述及學生表現

從十個大面重疊的簡單操作到隨時關注大面變化，藏大露小，再到不是最節約，但是有趣的，能結合實際需求，最后到長、寬、高盡可能接近，拼成一個近似的正方體。每位學生用自己的方式和適合的角度切入，沿著這條學習路徑，拾級而上，最終一起達到最高的思維層次。

片斷三：立體化的共通能力

師：通過這節課的學習，你有什么收獲？

生：我知道了要聽取別人的意見，從中可以得到更多的方法。明白了團隊合作的重要性。

生：我學會了節約資源，節約包裝就是愛護地球。

生：我知道包裝要盡量把大的面疊在一起，然后長、寬、高也要接近，盡量變成近似的正方體。

師：大家還有沒有新的問題想解決？

生：除了包裝問題，還有體積、容積的問題。有的紙皮很厚，可能要算一下它們的容積。

生：生活中物體的形狀復雜多樣，可能還要學到不同物體的包裝方案。比如去旅游時行李箱放不同的物體，就有空間利用率的問題。

生：生活中的包裝還要更深入地研究紙皮的厚度和銜接處。

生：下次可能求的是把物體疊在一起，怎么鑲邊最節約材料。

師：其實關于包裝還有很多數學問題，大家可以找一個最喜歡的問題繼續研究。

【賞析：課堂上學生信息的來源和學習所得，并不是教師講授的結果，而是同伴之間合作互助的成果。在交流中，學生從“最節約的方案”中跳脫出來，去思考更為廣闊的包裝中的學問，課程在交流中無限地延展，為后續的學習和研究提供了可能，也在學生的心里種下了熱愛數學研究的種子。21世紀初，香港以“學會學習”作為課程發展路向，著手全方位課程改革。香港在中小學教育方法上更加注重師生之間、學生之間的互動。在課堂上，教師需要引導小組討論，以小組為單位給出問題的答案，而在課后作業或測驗考試上，也會運用更多項目式的形式，讓學生以小組為單位共同討論解決問題，并在課堂上給其他學生演示他們得出的答案，培養十項共通能力。我們可以從陳老師的課堂中對標這些共通能力，例如：道德教育、協作能力、溝通能力、創造力、批判性思考能力、運算能力、解決問題能力、自我管理能力以及研習能力等。通過這種互動式的教學，讓學生發展更為立體化的共通能力。】

以能力來呈現核心素養是國際上一般的表述方式，帶得走的能力則是核心素養。本節課我們可以看到陳老師以“包裝”為活動載體，在探究的過程中，學生的運算能力、幾何直觀、推理意識、空間觀念和應用意識都得到了很好的培養，有效地落實了核心素養。

最后，引用崔允漷教授的一段話作為總結：“如果說教育的目的（培養目標）是‘想得到的美麗’，那么課程標準就是‘看得見的風景’，而教學目標就是‘走得到的景點’，這種層級化、一致性的‘樹人目標體系’，使‘看見的風景’既能對標‘想得到的美麗’，又能落實到‘走得到的景點’，加上每門課程的課程標準建構的素養導向的目標一族，將‘樹人’過程從抽象的目的逐步分解為具體的目標，使得教師理解并踐行從‘教書’走向‘育人’有了清晰的路徑，立德樹人根本任務的‘落實’有了清晰、可操作的憑依。”把“想得到”“看得見”變成“走得到”“帶得走”，陳老師做到了。