圖解數(shù)學(xué) 讓思維動(dòng)態(tài)化
——以“烙餅問題”教學(xué)為例

文|梅茜茜

“圖解數(shù)學(xué)”指的是運(yùn)用圖形、表格、公式等可視的方式把學(xué)生本來不可視的思維（思考方法和思考路徑）呈現(xiàn)出來，使其清晰可見。小學(xué)數(shù)學(xué)隨著年級(jí)上升，數(shù)學(xué)問題逐漸變得既抽象又復(fù)雜，圖解數(shù)學(xué)一方面可以讓學(xué)生更好理解數(shù)學(xué)，另一方面可以讓學(xué)生的思維可視化、動(dòng)態(tài)化。

一、基于圖解數(shù)學(xué)的教學(xué)思考

“烙餅問題”屬于數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)內(nèi)容，通過生活中常見的烙餅事例，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，經(jīng)歷從多種解決方案中尋找最優(yōu)方案的過程。很多教師在上這一內(nèi)容時(shí)，很容易把握錯(cuò)方向，將其上成找規(guī)律、找公式的課，忽略學(xué)生的思維培養(yǎng)，導(dǎo)致課堂上總是成績好的學(xué)生在唱獨(dú)角戲，而更多學(xué)生往往只會(huì)套用公式，題型稍一變化就完全一頭霧水。所以，從培養(yǎng)學(xué)生思維的長遠(yuǎn)目標(biāo)來看，本節(jié)課的主要目標(biāo)應(yīng)是歸納和演繹經(jīng)驗(yàn)的積累，而“優(yōu)化”則是學(xué)生思維活動(dòng)中所感悟的數(shù)學(xué)思想。

教師真正要關(guān)注的是學(xué)生在烙餅問題中的思維變化過程，尤其是學(xué)生在面對3 張餅的最優(yōu)烙法時(shí)，源于日常生活經(jīng)驗(yàn)，大部分學(xué)生第一反應(yīng)是常規(guī)烙法——先烙兩張餅，再烙一張餅。學(xué)生一開始很難想到3 張餅最省時(shí)的烙法是交替烙。圖解數(shù)學(xué)這一方式就可以很好地解決這一難點(diǎn)。讓學(xué)生通過擺實(shí)物圖的方法，直觀呈現(xiàn)3 張餅交替烙的思維過程，通過對比發(fā)現(xiàn)烙餅省時(shí)的關(guān)鍵在于讓鍋沒有空余。但這時(shí)，學(xué)生的思維是片段式的，他們掌握了同時(shí)烙和交替烙這兩種方法，但是對于更多的餅數(shù)，有一定的思考難度。接著，讓學(xué)生脫離實(shí)物，利用動(dòng)手畫圖來尋找4 張、5 張餅的最優(yōu)烙餅方案。這些小數(shù)據(jù)的探究經(jīng)驗(yàn)，再結(jié)合有序地觀察烙餅記錄表，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)原來所有餅數(shù)的優(yōu)化烙法都可以利用同時(shí)烙和交替烙來解決，進(jìn)而找出餅數(shù)與烙餅時(shí)間的關(guān)系。學(xué)生在一次次的觀察中發(fā)現(xiàn)、一次次的探究歸納中積累經(jīng)驗(yàn)，通過圖解過程，讓思維動(dòng)態(tài)化，幫助學(xué)生建立連貫完整的思維過程。

二、教學(xué)實(shí)踐探索

（一）實(shí)物模擬——呈現(xiàn)思維的動(dòng)態(tài)化

出示情境圖：小紅媽媽烙餅，一個(gè)鍋每次最多烙兩張餅，兩面都要烙，每次3 分鐘。

師：小紅媽媽早上為小紅和爸爸各準(zhǔn)備一張餅。猜一猜，時(shí)間是多少？

生：需要6 分鐘。

師：你能上來邊演示邊講述烙餅過程嗎？

生：第一次烙兩張餅的正面，第二次烙兩張餅的反面，兩次一共6 分鐘。

?

師：為什么不一張一張的烙？

生：這個(gè)鍋?zhàn)疃嗫梢苑艃蓮堬?，一張一張的烙也可以，只是浪費(fèi)了空間。

師：所以，想要烙餅時(shí)間最少，就要完全利用鍋的最大空間，實(shí)現(xiàn)效率最大化，從而達(dá)到“盡快”的目的。兩張餅同時(shí)烙，一共烙了兩次，時(shí)間是2×3＝6（分鐘）。

師：如果媽媽自己也需要一張餅，烙3 張餅，最少需要幾分鐘？同學(xué)們先靜靜地獨(dú)立思考，然后小組同學(xué)一起借助圓餅?zāi)Ｐ蛿[一擺。

師：哪個(gè)小組愿意和大家分享一下你們的方法？

生1：（一人負(fù)責(zé)演示，一人負(fù)責(zé)講解）我們小組烙了4 次，12 分鐘。第一次烙正1 和正2，第二次烙反1 和反2，第三次烙正3，第4次烙反3。

生2：我們小組只需要3 次，9分鐘。第一次烙正1 和正2，第二次烙反1 和正3，第三次烙反2 和反3。

第一組第二組第1 次正1正2正1正2第2 次第1 次第2 次反1反2正3反1正3反2反3反3

師：他們兩組有什么不同之處？

生：第一組烙了4 次，前兩次同時(shí)烙2 張餅，導(dǎo)致第三次和第四次鍋里有空余位置。第二組利用了鍋的最大空間，讓每次都有2張餅烙。

師：有什么共同特點(diǎn)嗎？

生：3 張餅都需要烙6 個(gè)面。

師：3 張餅6 個(gè)面，每次最多能烙2 個(gè)面，按計(jì)算只需要烙3次，為什么第一組需要4 次？

生：他們組第3 張餅不能同時(shí)烙正面和反面。

師：如果不想讓鍋有浪費(fèi)，3張餅最關(guān)鍵是第幾次的烙法？

生：第2 次。

師：是的。把3 張餅6 個(gè)面看成一個(gè)整體，第2 次烙第3 張餅的正面和第1 張餅的反面，這樣一交替，能使第3 次也有2 張餅可以同時(shí)烙。這就是交替烙。

從2 張和3 張這樣的小數(shù)據(jù)出發(fā)思考，再到接下來的大數(shù)據(jù)探究，符合該階段學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。通過實(shí)物圖解2張餅和3 張餅，既使抽象的烙餅問題具體化，也激發(fā)了學(xué)生的探究興趣。

在教學(xué)3 張餅時(shí)，呈現(xiàn)兩組同學(xué)的不同圖解過程，相當(dāng)于直觀呈現(xiàn)了以這兩組為代表的兩種思考過程。教師通過層層遞進(jìn)的問題，讓學(xué)生不斷對問題進(jìn)行思考，真正理解何為交替烙。每一次的探究都是一次寶貴的經(jīng)驗(yàn)，為下一步的探究做鋪墊，讓學(xué)生的思維找到支撐點(diǎn)，達(dá)到層層遞進(jìn)思考的目的，培養(yǎng)其邏輯思維能力。

（二）畫出過程——凸顯思維的運(yùn)動(dòng)化

師：有了之前的經(jīng)驗(yàn)，對于更多的餅數(shù)，你敢挑戰(zhàn)嗎？請思考4張、5 張餅如何烙？

發(fā)現(xiàn)學(xué)生呈現(xiàn)兩種圖解，一種是2+2 同時(shí)烙，另一種如下圖所示，學(xué)生剛學(xué)完交替烙，自然而然就有部分學(xué)生用這種方法。烙4 張餅

第1 次正1正2

第2 次正3反1

第3 次正4反2

第4 次反3反4

烙（4）次，所需最少時(shí)間：4×3=12（分鐘）

師：4 張餅的兩種烙法你們覺得哪種更方便？

生：兩張兩張同時(shí)烙更方便。

通過兩種圖解的對比，讓學(xué)生理解“優(yōu)化”的真正內(nèi)涵。有了這樣的體驗(yàn)，學(xué)生在思考5 張餅的時(shí)候，會(huì)更多地思考如何在操作上更優(yōu)化。

烙5 張餅第1 次第2 次第3 次第4 次第5 次正1正2正1正2反1反2正3反1正3正4正4反2正5反3正5反3反4反5反4反5烙（5）次，所需最少時(shí)間：5×3=15（分鐘）

師：兩種方法，你們覺得哪種更能看懂？

生：第1 種方法，將5 拆成了2 和3，先同時(shí)烙再交替烙，這樣更方便。

在比較的過程中，讓學(xué)生的思維產(chǎn)生碰撞，當(dāng)問到6 張餅時(shí)，學(xué)生自然而然會(huì)想到既可以2+2+2，也可以3+3。從常規(guī)烙法到最優(yōu)烙法，學(xué)生的思維跨度很大，他們的思維不再只停留在低階思維，真正理解了“優(yōu)化”的數(shù)學(xué)思想。

（三）發(fā)現(xiàn)模型——感悟思維的運(yùn)動(dòng)價(jià)值

出示表格，利用之前所得到的圖解經(jīng)驗(yàn)思考更多餅數(shù)的烙餅方法。

師：觀察這張表格，思考7張、8 張、9 張、10 張甚至更多餅數(shù)時(shí)，怎么烙？

餅數(shù)（張） 最省時(shí)的烙餅方法 烙餅所需最少時(shí)間（分）2 （2）同時(shí)22×3＝6 3交替33×3＝9 4 （2+2）同時(shí)44×3＝12 5 （2+3）同時(shí)+交替 55×3＝15 6 （2+2+2）（3+3）同時(shí)/交替 66×3＝18次數(shù)

生1：7 張餅可以拆成2+2+3來烙。

生2：8 張餅可以2 張2 張的烙。

生3：9 張餅可以拆成2+2+2+3，也可以3+3+3。

師：那100 張餅?zāi)兀?/p>

生：可以2 張2 張的烙。

師：101 張餅?zāi)兀?/p>

生：前面都2 張2 張的烙，最后3 張交替烙。

師：能總結(jié)一下烙餅的方法嗎？

生：當(dāng)餅數(shù)是雙數(shù)時(shí)，都可以2 張2 張的烙。

生：當(dāng)餅數(shù)是單數(shù)時(shí)，可以先2 張2 張的烙，最后3 張交替烙。

學(xué)生在探究2 張到6 張餅的烙法之后，對于更多的餅數(shù)不需要再進(jìn)行實(shí)物操作或畫示意圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只需要把餅數(shù)拆成若干個(gè)2 或者若干個(gè)2 和一個(gè)3。前期圖解“烙餅問題”，讓抽象問題具體化?，F(xiàn)在借助表格，由具體化進(jìn)階到抽象思考。在思維方式轉(zhuǎn)化中，學(xué)生的思維得到進(jìn)一步有效的激活。

（四）反思規(guī)律——提升思維的活躍深度

師：同學(xué)們，請看我們經(jīng)歷的這些烙餅經(jīng)驗(yàn)，你能找到烙餅最少時(shí)間的規(guī)律嗎？

生1：最少時(shí)間＝烙一面餅的時(shí)間×烙餅次數(shù)。

生2：這里烙餅的次數(shù)就等于餅的張數(shù)，所以，最少時(shí)間＝烙一面的時(shí)間×餅數(shù)。

師：為什么餅數(shù)會(huì)等于烙餅次數(shù)？

生：因?yàn)槲覀円缅伒淖畲罂臻g，一個(gè)鍋可以烙2 張餅，烙餅次數(shù)＝餅數(shù)×每個(gè)餅要烙兩面÷一個(gè)鍋?zhàn)疃喾? 張＝餅數(shù)。

師：對于這個(gè)規(guī)律有什么要補(bǔ)充嗎？適合所有的餅數(shù)嗎？

生1：不適合一張餅，因?yàn)橐粡堬?，每次只能烙一面，要?次，不是1 次。

生2：不適合，這個(gè)規(guī)律算出來是3 分鐘，1 張餅正反都要烙要6 分鐘。

師：這個(gè)規(guī)律適合一個(gè)鍋每次烙2 面，而且餅數(shù)至少是2 張。

通過質(zhì)疑引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)餅數(shù)和烙餅次數(shù)之間的必然聯(lián)系以及這個(gè)規(guī)律的局限性，讓學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性進(jìn)一步得到提升。

（五）變化情境——拓展思維的訓(xùn)練廣度

師：假如現(xiàn)在一個(gè)鍋每次最多能烙3 張餅，兩面都要烙，每面3 分鐘，烙4 張餅最少時(shí)間是多少？怎么烙？

生：我是用畫圖的方法，最少時(shí)間是9 分鐘。

師：圖解不失為一種好方法。如果是123 張餅?zāi)兀吭趺蠢幼钍r(shí)？最少時(shí)間是多少？

生：鍋?zhàn)疃喾? 張餅，可以每次都3 張3 張的烙，這樣123 張餅可以拆成41 個(gè)3，3 張餅需要6分鐘，所以最少時(shí)間是41×6＝246（分鐘）。

在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)知道烙餅問題的本質(zhì)就是空間最大化利用。在這些經(jīng)驗(yàn)的鋪墊下，即使變換情境，他們也可以用歸納轉(zhuǎn)化的方法得出結(jié)論。這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)讓學(xué)生的思維從一個(gè)一般規(guī)律到另一個(gè)一般規(guī)律，從而拓展思維的訓(xùn)練廣度，提升學(xué)生的思維水平。

三、實(shí)踐反思

在“烙餅問題”的教學(xué)實(shí)踐過程中，充分體現(xiàn)了圖解數(shù)學(xué)的優(yōu)越性。圖解的方式能把學(xué)生的思維直觀地呈現(xiàn)出來，讓教師清楚地了解學(xué)生的思維狀態(tài)。同時(shí)，學(xué)生在圖解的過程中，本身就是對題目進(jìn)行抽絲剝繭式的直觀呈現(xiàn)，能使學(xué)生打開思路，從而讓學(xué)生充滿探究動(dòng)力，讓一堂課更加生動(dòng)別致。

圖解數(shù)學(xué)，讓學(xué)生的思維真正做到動(dòng)態(tài)化、運(yùn)動(dòng)化。從“烙餅問題”這節(jié)課中我們也看到學(xué)生的思維是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程，通過一系列的觀察、操作、歸納、總結(jié)、轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生的思維得以提升，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展。