把握概念本質(zhì) 破解疑難問題
——以《軸對稱的再認(rèn)識》一課為例

文|徐小巧

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版四年級下冊第七單元。

【課前思考】

《軸對稱的再認(rèn)識》是在二年級初步認(rèn)識軸對稱圖形的基礎(chǔ)上，用“對稱點到對稱軸的距離”等定量刻畫的方法來進(jìn)一步分析圖形的特點。在磨課的過程中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生有以下兩處疑難和困惑點。

疑難點1：學(xué)生很難判斷平行四邊形是不是軸對稱圖形。（這節(jié)課所討論的平行四邊形指的是一般的平行四邊形，不考慮特殊的平行四邊形）

我們對全校8 個班級近400名學(xué)生進(jìn)行了前測。從數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)接近的學(xué)生認(rèn)為“平行四邊形是軸對稱圖形”，在和學(xué)生的訪談中發(fā)現(xiàn)學(xué)生是把平分線和對稱軸混淆了，誤認(rèn)為平分線就是對稱軸。

疑難點2：學(xué)生很難體驗到軸對稱也是圖形的一種運(yùn)動方式。

教材把“軸對稱”納入《圖形的運(yùn)動》這一單元，是把“軸對稱”理解為圖形的運(yùn)動方式。在第一學(xué)段的學(xué)習(xí)中學(xué)生對軸對稱圖形的認(rèn)識是停留在靜態(tài)層面的“兩邊一樣”，由于軸對稱更多的是呈現(xiàn)運(yùn)動后的結(jié)果，所以學(xué)生很難體驗軸對稱是一種圖形的運(yùn)動。在前測中，我們發(fā)現(xiàn)一個班只有3個學(xué)生認(rèn)為軸對稱是圖形的運(yùn)動，通過訪談這3 個學(xué)生的理由分別是：隨便猜的；對折是運(yùn)動；軸對稱是圖形轉(zhuǎn)起來的。

怎樣才能讓學(xué)生真正理解軸對稱概念的本質(zhì)？筆者認(rèn)為可以基于學(xué)生的疑難點，以“平行四邊形是不是軸對稱圖形”這一核心問題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，去探索和發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的本質(zhì)特征。因此把例1 單獨(dú)作為一課時來研究。

【教學(xué)過程】

一、了解起點，初步感知特征

1.數(shù)據(jù)分析，激活已有知識

師：通過前測，老師發(fā)現(xiàn)特殊的平行四邊形同學(xué)們都能正確判斷出它們是軸對稱圖形，而對這個普通平行四邊形的判斷，意見不太統(tǒng)一。

師：有16 位同學(xué)認(rèn)為像這樣一般的平行四邊形不是軸對稱圖形，有32 位同學(xué)認(rèn)為是軸對稱圖形，并畫出了這樣幾條對稱軸。那么像這樣普通的平行四邊形是不是軸對稱圖形？這幾條到底是不是它的對稱軸呢？你有什么辦法可以來驗證一下？

生：可以折一折，把平行四邊形對折，看看對稱軸的兩邊有沒有完全重合。

生：可以用照鏡子的方法，看看鏡子中的圖像和圖形的另一半是否一樣。

2.借助操作，初步感知特征

●活動一：驗證這幾條平分線是不是平行四邊形的對稱軸？

（1）學(xué)生活動。

（2）反饋：你選什么方法驗證，驗證結(jié)果是怎樣的？

照一照：學(xué)生上臺演示（幾何畫板驗證）。

折一折：學(xué)生上臺演示（幾何畫板驗證）。

（3）過渡：通過對折和照鏡子都可以確定這幾條都不是平行四邊形的對稱軸，那為什么不是呢？如果是軸對稱圖形又要具備什么特征呢？我們選其中的3 個軸對稱圖形來研究一下。

二、任務(wù)驅(qū)動，探究本質(zhì)特征

1.“對稱點”的研究

師：在這個軸對稱圖形里沿對稱軸對折，你能找到與A 點完全重合的點嗎？

學(xué)生上來找一找，課件演示對折驗證。

揭示概念：在軸對稱圖形中沿對稱軸對折能完全重合的兩個點叫對稱點（板書）。

師：你能在圖②③中也找一組對稱點嗎？（課件對折驗證）

質(zhì)疑：剛才第①幅圖找對稱點時你們是上下找的，怎么圖②要左右找，圖③要斜著找？

生：因為對稱軸的位置變了，所以對稱點的方向不一樣。

小結(jié)：對稱點的位置和對稱軸有一定的關(guān)系，到底有怎樣的關(guān)系？是不是每一組的對稱點和它的對稱軸都有這樣的關(guān)系呢？

2.自主探究特征

●活動二：探究每一組的對稱點與對稱軸之間有什么關(guān)系？

師：在探究的過程中你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：對稱點到對稱軸的距離相等。A 點到對稱軸的距離是2 格，A′點到對稱軸的距離也是2 格。

師：圖①中有這樣的關(guān)系，那其他兩個圖形呢？

生：B 點和B′點，C 點和C′點到對稱軸的距離也是相等的。

小結(jié)：看來，對稱點到對稱軸的距離相等（板書）。

生：對稱點連線與對稱軸互相垂直。連接對稱點，它們的連線和對稱軸是互相垂直的。

師：剛才找對稱點的時候，一會兒上下找、一會兒左右找、一會兒斜著找，原來是對稱點的連線要與對稱軸互相垂直（板書）。

小結(jié)：一組對稱點不僅點到對稱軸的距離相等，而且對稱點的連線和對稱軸是互相垂直的。

3.根據(jù)特征找對稱點

師：這個軸對稱圖形上還有其他的對稱點嗎？請你找一找。

反饋：學(xué)生指出網(wǎng)格交叉位置上的對稱點。

師：你是怎么找的？

生：在左邊找一點，數(shù)一數(shù)到對稱軸是幾格，再往右邊數(shù)幾格。

生：還要看這兩個點的連線有沒有和對稱軸互相垂直。

生：還有在圖形的邊上但不是網(wǎng)格交叉位置的對稱點。

生：對稱軸上的對稱點。

師：對稱軸上為什么只看到一個點？

生：因為現(xiàn)在這兩個點重合了。

師：像這樣特殊的對稱點還有嗎？在哪里？

生：還有很多，在對稱軸上。

生：圖形里面的對稱點。

師：剛才在找對稱點的過程中，有沒有什么發(fā)現(xiàn)？

生：一個軸對稱圖形中有無數(shù)組對稱點。

生：軸對稱圖形中的每個點都能在對稱軸的另一邊找到它的對稱點。

小結(jié)：軸對稱其實是一種圖形的運(yùn)動，對稱軸就像是一面鏡子，圖形左邊的點照到到鏡子里，鏡子就會反射出它的對稱點。不管這個點在線上、對稱軸上還是面上，只要是軸對稱圖形，圖中所有的點都能在對稱軸的另一邊找到它的對稱點。

三、對比辨析，深刻理解本質(zhì)

過渡：現(xiàn)在我們回過頭來看剛才這道題，你能用今天所學(xué)的知識來解釋和說明這些線為什么不是平行四邊形的對稱軸嗎？

1.利用特征，辨析難點

●活動三：選一幅圖說說這條線為什么不是它的對稱軸？

生：我選的是②號，如果這條是它的對稱軸，那么左右兩個點到對稱軸的距離要相等，現(xiàn)在一個是2 格，一個是4 格，距離不相等，所以不是。

生：我選的是①號，如果這條是它的對稱軸，那么上下兩個點的連線要和對稱軸互相垂直，現(xiàn)在沒有互相垂直，所以不是。

小結(jié)：可以根據(jù)剛才發(fā)現(xiàn)的特征來判斷。要么兩個點到對稱軸的距離不相等，要么兩個點的連線沒有和對稱軸互相垂直，所以這幾條都不是對稱軸。

2.借助直觀，突破難點

師：那為什么會有那么多的同學(xué)會認(rèn)為是對稱軸呢？

生：因為這些線把平行四邊形分成兩個完全一樣的圖形。

師：原來這些線把平行四邊形平分成兩個完全一樣的圖形，所以很容易和對稱軸混淆。看來，平分線并不一定是對稱軸。

師：像這樣的平分線在平行四邊形中還有很多很多，那會不會有一條正好是它的對稱軸呢？

師：如果以這條線為對稱軸，能想象形成的軸對稱圖形嗎？那形成的這個圖形會不會和平行四邊形重合？（課件演示轉(zhuǎn)動一圈）

小結(jié)：以平行四邊形中所有的平分線為對稱軸形成的軸對稱圖形都沒有和平行四邊形重合，所以像這樣的平行四邊形不是軸對稱圖形。

四、動態(tài)想象，深化概念本質(zhì)

師：剛剛我們研究的對稱軸都在圖形的里面，如果把對稱軸移到平行四邊形的外面，假設(shè)對稱軸是一面鏡子，能想象形成的軸對稱圖形嗎？（課件演示）這時它還具備軸對稱圖形的兩個特征嗎？

想象：如果改變一個點的位置，那它的對稱點怎么變呢？

師：如果左邊的點向上移3格，右邊的對稱點怎么變？

生：右邊的對稱點也向上移3格。

師：如果左邊的點向下移3格呢？

生：右邊的對稱點也跟著向下移3 格。

師：向右移3 格呢？

生：向右移3 格。

生：不對不對，往左移3 格。

師：靜靜思考一下，說說理由。

生：左邊的對稱點往右移3格，它離對稱軸的距離靠近了3格。如果對稱點到對稱軸的距離相等，那么右邊的點也要靠近3格，所以應(yīng)該是往左邊移3 格。

師：這跟生活中的哪個現(xiàn)象很相似？

生：很像照鏡子，我們走近一點，鏡子里的像也會近一點。

師：那向左移3 格呢？

生：右邊的對稱點往右移3 格。

師：現(xiàn)在你有什么想說的？

生：點的位置變了，對稱點的位置要跟著變。

生：對稱點位置變化的過程中軸對稱圖形的兩個特征始終沒變。

繼續(xù)想象：如果改變對稱軸的位置，這兩個特征還會不變嗎？

生：不管對稱軸的位置怎么變，只要是軸對稱圖形這兩個特征始終不變。

小結(jié)：不管點怎么變，對稱軸的位置怎么變，對稱點到對稱軸的距離始終保持相等，對稱點連線與對稱軸始終保持互相垂直。只有符合這樣的兩個特征才是軸對稱圖形。