立足整式本質 拓展數學思維

周強

［摘? 要］ 《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出了“代數式的推理”的要求，強調要讓學生形成推理意識，了解代數推理. 代數式的推理是中學數學教學的重點內容，也是重慶市中考數學的難點之一. 代數的推理往往需要抓住內容本質，從內容的本質出發，去分析、歸納、總結、提煉. 文章以2022年重慶市中考數學第12題為例，從不同的角度進行分析，尋求突破口，在實現一題多解的同時拓展學生的思維.

［關鍵詞］ 一題多解；數學思維；核心素養

試題呈現

試題? （2022年重慶中考數學第12題）在多項式x－y－z－m－n中任意加括號，加括號后仍只有減法運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“加算操作”. 例如：（x-y）－（z-m-n）=x－y－z+m+n，x－y－（z-m）－n=x－y－z+m－n. 有下列說法：①至少存在一種“加算操作”，使其運算結果與原多項式相等；②不存在任何“加算操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；③所有可能的“加算操作”共有8種不同的運算結果. 其中正確說法的個數是（? ? ?）

A. 0? ? B. 1? ? C. 2? ? D. 3

解法探析

本題是2022年重慶中考選擇題的壓軸題，以整式的加減運算、去括號法則為測評背景，巧妙設問，逐步深入，旨在讓學生理解“加算操作”的含義，并驗證題目中不同的說法正確與否. 本題圍繞“加算操作”依次展開，其中主要的創新點體現在：（1）作為一種新型材料閱讀題，不僅考查學生對“加算操作”定義的理解，還考查學生對“至少存在一種”“不存在任何”等關鍵詞的理解. 如對于第②種說法，不少學生會鉆牛角尖，將y值人為地設定成x值的相反數，認為第②種說法是錯誤的，導致最終選錯選項. （2）對于第③種說法，大多數學生會選擇枚舉法，這就要求學生要做到面面俱到，要滴水不漏地考慮各種情況，同時做到全面且有序. 學生在考場多少會出現焦慮、粗心等情況，因此對于此類需要分類討論的試題，他們常常考慮得不夠全面，會出現漏算、錯算，最終因錯選丟分.

1. 判斷第①種說法正確與否

要證明第①種說法正確，舉例一種“加算操作”，其運算結果與原多項式相等即可. 不難發現單項式x前面的符號是正號，于是把前括號加到x前面，就不會改變原多項式的運算結果. 舉例如下：（x-y）－z－m－n=x－y－z－m－n，（x－y－z）－m－n=x－y－z－m－n. 所以第①種說法正確.

2. 判斷第②種說法正確與否

對原多項式進行“加算操作”，可以觀察到運算結果始終為x-y…，即運算結果的前兩項與原多項式的前兩項保持一致，所以“加算操作”的結果與原多項式的和為2x-2y…. 因此，不存在任何“加算操作”，使其運算結果與原多項式之和為0. 第②種說法正確.

3. 判斷第③種說法正確與否

（1）解法1：枚舉法

問所有可能的“加算操作”的運算結果有幾種，可通過枚舉法，寫出原多項式的所有“加算操作”存在的情況，最后匯總.

當添加一個括號時，有7種不同的結果，如：（x-y）－z－m－n=x－y－z－m－n；x－（y-z）－m－n=x－y+z－m－n；x－（y－z－m）－n=x－y+z+m－n；x－（y－z－m－n）=x－y+z+m+n；x－y－（z-m）－n=x－y－z+m－n；x－y－z－m－n=x－y－z+m+n；x－y－z－（m-n）=x－y－z－m+n.

當添加兩個括號時，有1種不同的結果：x－（y-z）－（m-n）=x－y+z－m+n.

通過枚舉法我們發現，對原多項式添加一個括號或兩個括號后，得到的多項式的不同運算結果共有8種.

（2）解法2：排列組合法

原多項式x－y－z－m－n中單項式前面的運算符號為負號的有四項，通過“加算操作”可以改變運算符號的有三項. 對這三項進行“加算操作”，每一項可能出現的運算符號為兩種：保持負號或者進行“加算操作”后得到正號. 因此可運用排列組合的方法，得到多項式經過“加算操作”后運算結果有2×2×2=8（種）不同的結果.

解法探析

1. 把握數學要求，立足整式本質

本題是在整式背景下的加減運算問題，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）對整式提出了概念，合并同類項和去括號法則，四則運算三個方面的要求，旨在讓學生在學習過程中理解和掌握整式的本質，讓教師在教學過程中凸顯整式的本質，讓試題在命制過程中回歸整式的本質. 縱觀近幾年各地中考數學試卷，對整式內容的考查，要么過于簡單，試題中規中矩、缺乏區分度，要么一味地求偏求難，計算過程復雜，并不能很好地體現整式應有的考查價值. 諸如此類的試題不但沒有提升初中數學學科教育質量和作業設計水平，還與《課標（2022年版）》的要求背道而馳，徒增了學生的學業負擔.

上面的試題立足于整式的去括號法則、加減運算等基礎知識，可從多個角度思考，考查了學生對數學核心知識和基本技能的掌握，以及邏輯推理、數學運算、符號意識等素養.

2. 巧設數學問題，體現人文關懷

上面的試題對教材中整式的加減運算進行變式，構思巧妙，題目簡潔明了，子問題的設定遵循了“由易到難，由特殊到一般”的原則，做到了層層遞進，環環相扣，前一個問題的解決為后一個問題的解決提供了一定的思路和鋪墊，凸顯了問題設置的連貫性和有效性，體現了試題的區分度、信度和效度.

3. 聚焦數學思想，提升核心素養

（1）特殊與一般的思想. 對于某些一般性數學問題，可以先考慮其特殊情況，也就是從研究對象的全體轉變為研究全體對象中的一個對象或部分對象，然后把解決特殊情況的方法或結論推廣到一般問題上，從而得到一般性問題的結論. 為了判斷本題的第①種說法和第②種說法是否正確，我們可以從特殊的、具體的多項式入手，進而證明一般性結論. 通過引導，學生能對特殊情況進行舉例、猜想，進而驗證一般性結論，得到想要的結論.

（2）分類討論思想. 對于一些特定的數學問題，需要合理地分類，分門別類地進行研究，最后綜合各類研究結果得到整體問題的結果. 如本題的第③種說法，要得到所有可能的“加算操作”的不同運算結果，就要依次討論加一個括號、加兩個括號的運算結果，然后從前往后依次添加括號進行討論. 分類討論有幾個原則：一是分類的總域是確定的；二是分類必須完整，要做到不重不漏；三是分類的標準要統一；四是需要多次分類時，應逐級進行. 教師講解試題時，通過對分類思想的滲透，能讓學生所學的知識更加系統、有條理，能讓學生的思維更加嚴謹［1］.

教學啟思

1. 減量提質，讓學生做好題

2021年，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發了《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》，“雙減”政策正式出臺. 針對初中數學，“雙減”政策落到實處的總要求是：落實“立德樹人”根本任務，充分發揮數學學科的育人功能，立足初中數學課堂和學生實際，減少初中數學學科作業總量，提高初中數學作業設計質量，讓學生在校內學會、學足、學好. 量減下來了，質如何提上去，怎樣讓學生“做好題”，值得教師深究. 一道好題，應該符合初中生的興趣愛好和心理特征，題目體現的形式新穎多樣，內容緊扣學習重點卻不失趣味性，能讓學生在做題時樂于思考，感受作業的樂趣. 例如，對于“整式”一章的作業布置，教師可以讓學生結合實際，解決生活問題，如計算近日的溫差、階梯電價下的最優選擇，并對一些枯燥乏味的數據賦予趣味的、生活的意義，從而激發學生對數學學習的興趣.

本題既很好地考查了整式的去括號法則、加減運算等基礎知識，又創設性地提出了一種新的運算操作，避免了“雷同”常規題，不失為一道好題. 所以教師在布置作業時，應避免布置單一的、機械化的作業，盡量選擇符合初中生認知發展規律、結合時代發展的優質作業，真正實現精準練習、分層作業. 要讓學生在作業中領悟數學思想方法，提高研究能力，增強運用知識解決實際問題的能力.

2. 環環相扣，讓教師教好課

在數學教學過程中，教師可結合學情選擇“環環相扣”的習題作為例題，引導學生根據題目的已知條件、結論，挖掘潛在條件，一步一步地去求解問題，并通過題目的引導逐步解決每一個問題. 實際上，學習數學的過程本身就是一個環環相扣、由淺入深、由簡到繁的過程. 縱觀初中數學內容的編排，七年級的數學重基本概念，內容比較簡單；八年級的數學逐漸變得綜合，知識之間的聯系變強；九年級的數學綜合性最強，與前兩個年級的數學知識聯系緊密，內容的深度、難度都提高不少. 所以，教師應帶領學生思考、積累、總結，應引導學生感悟數學學習的連貫性和系統性，讓他們切身體會學習數學的奧妙.

3. 深思精想，讓師生共同進步

數學思想是數學活動的科學依據，它為數學活動把握了方向，對構建數學模型具有一定的指導作用，在學生用所學知識解決實際問題中具有定向功能［2］. 初中數學常見的數學思想有數形結合思想、分類討論思想、特殊與一般思想、整體思想、化歸思想、極限思想等，本題就體現了分類討論思想和特殊與一般思想. 離開數學思想，數學知識是淺顯的；離開數學知識，數學思想是空洞的. 所以教師要在教學過程中不斷地滲透數學思想，要讓學生在解決數學問題時不斷地分析、挖掘，找到蘊含其中的思想方法，進而養成精準有效的解題思維. 不僅學生要學好數學思想，教師更要學好數學思想，唯有如此，教師才能做好數學思想的引導者、組織者和傳授者. 教師應多看、多思、多寫，即多研讀數學教材及練習冊等，多思考蘊含其中的數學思想，多撰寫科學合理的教案，最終形成一套科學完備的數學思想教學方法體系. 教學是教師教和學生學的雙邊過程，唯有師生都具備深化數學思想的意識，才能共同進步.

參考文獻：

［1］張璐璐. 數學思想方法在初中數學教學中的體現與滲透［D］. 山西大學，2021.

［2］沈文選. 中學數學思想方法［M］. 長沙：湖南師范大學出版社，1999.