核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)解題研究

申磊

【摘要】解題教學(xué)是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，通過(guò)有效解題教學(xué)的開展，能夠促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升，幫助學(xué)生掌握運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的技能.在核心素養(yǎng)視域下，如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力已成為廣大教師所共同關(guān)心的問(wèn)題.基于核心素養(yǎng)內(nèi)涵，本文細(xì)致分析高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中亟待解決的問(wèn)題，并結(jié)合實(shí)際教學(xué)情況提出優(yōu)化路徑，通過(guò)革新觀念、注重創(chuàng)新、豐富手段、加強(qiáng)實(shí)踐等方式，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)量的提升，幫助學(xué)生在良好的生態(tài)學(xué)習(xí)環(huán)境下，掌握解題技巧、發(fā)展自身思維能力，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的全面提升.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；解題教學(xué)

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分.教師應(yīng)緊密圍繞著核心素養(yǎng)內(nèi)容，改善當(dāng)前解題教學(xué)中所存在的弊端，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，掌握解題關(guān)鍵步驟及技巧，切實(shí)提高學(xué)生解題能力，幫助學(xué)生在良好的學(xué)習(xí)氛圍下通過(guò)解題完成數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化與鞏固.

通過(guò)對(duì)影響高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)因素分析可知，教師應(yīng)以激發(fā)學(xué)生思維活力為抓手，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，優(yōu)化解題教學(xué)內(nèi)容，向?qū)W生傳授解題技巧及方法，幫助學(xué)生在潛移默化中形成系統(tǒng)化的知識(shí)體系，提高自身解題能力.筆者結(jié)合多年實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略進(jìn)行總結(jié)，以供廣大教師借鑒參考.

1 革新觀念，強(qiáng)化學(xué)生抽象建模意識(shí)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言主要表現(xiàn)為：數(shù)據(jù)意識(shí)或數(shù)據(jù)觀念、模型意識(shí)或模型觀念以及應(yīng)用意識(shí)，是核心素養(yǎng)中的重要組成部分.在實(shí)際教學(xué)中，為培育學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，教師應(yīng)有意識(shí)地在解題過(guò)程中滲透模型思想，幫助學(xué)生將抽象知識(shí)轉(zhuǎn)化為直觀印象，建立良好的建模意識(shí)，順利解決相關(guān)問(wèn)題.

例如 以蘇教版高一數(shù)學(xué)必修1“函數(shù)模型及其應(yīng)用”一課的解題教學(xué)為例，有典型例題如下：已知x2+y2=4，求2x+y的取值范圍.

這一問(wèn)題是高中階段最令學(xué)生頭疼的范圍型問(wèn)題.首先，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生閱讀題干信息，回憶所學(xué)知識(shí)，明確題目中的重點(diǎn)信息以及所求內(nèi)容.通過(guò)閱讀，學(xué)生可知本題目要求的是2x+y的取值范圍，且有兩個(gè)未知數(shù)，并且二者是具有等量關(guān)系的.進(jìn)行到這一步驟時(shí)，許多學(xué)生表示這兩個(gè)未知數(shù)很難用一個(gè)表示另外一個(gè)來(lái)實(shí)現(xiàn)同一變量.就此問(wèn)題，教師可以鼓勵(lì)大家嘗試轉(zhuǎn)變思路，構(gòu)建模型思想，將這兩個(gè)未知數(shù)的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為“平方相加為定值”的形式，從三角換元或圓的參數(shù)方程進(jìn)行考量，令x=2cosθ，y=2sinθ，θ∈0，2π，則有2x+y=4cosθ+2sinθ=25sinθ+φ，由此可知：2x+y∈-25，25.與此同時(shí)，教師也可以帶領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用建模思想探尋多種解法，在班級(jí)內(nèi)開展討論與交流，指導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式解決此類問(wèn)題，將求2x+y的取值范圍這一問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，令Z=2x+y，其中點(diǎn)（x，y）為圓x2+y2=4上的點(diǎn)，即直線y=－2x+Z，求截距Z的最大值和最小值.根據(jù)教師的解題思路提示，學(xué)生嘗試?yán)L制圖象，并通過(guò)直觀的圖象立馬做出分析，求截距Z的最大值和最小值只需要求取兩條切線的截距即可，通過(guò)圓心到直線的距離等于半徑這一理論可推導(dǎo)：d=Z12+22=2，并與剛才所計(jì)算的結(jié)果相對(duì)比，確定一致后整理解題步驟.在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用建模方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題后，教師可在黑板上呈現(xiàn)建模主要過(guò)程，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模思想，從而提升學(xué)生的建模思想水平.

如上，通過(guò)建模思想的有機(jī)滲透，能夠切實(shí)提高學(xué)生的模型意識(shí)，幫助其掌握運(yùn)用模型思想的解題技巧，在長(zhǎng)期訓(xùn)練中提升自身思維能力，實(shí)現(xiàn)解題效率、準(zhǔn)確率的提升.

2 注重創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維能力

新課程標(biāo)準(zhǔn)下要求教師由傳統(tǒng)的知識(shí)講授者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)者、組織者，在解題教學(xué)中，教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神作為首要任務(wù)，改變傳統(tǒng)一言堂、機(jī)械性的講授模式，為學(xué)生提供良好的學(xué)習(xí)生態(tài)環(huán)境以及自主實(shí)踐平臺(tái)，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索，挖掘其內(nèi)在潛能，幫助學(xué)生在解題過(guò)程中逐步形成舉一反三的能力.

例如 以蘇教版高二數(shù)學(xué)必修4“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一課的解題教學(xué)為例，本章內(nèi)容是三角函數(shù)一單元中最后一部分學(xué)習(xí)任務(wù)，結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)，教師為學(xué)生提供了這樣的一道例題：函數(shù)y=sinx5+4cosx0≤x≤2x的值域?yàn)椋?/p>

本道題目是一道較為經(jīng)典的三角函數(shù)的值域求解題，考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的掌握以及運(yùn)用方程思想解題的意識(shí).首先，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察并分析此題，談一談自己的解題思路，由于本題并非常見的三角函數(shù)解析式，許多學(xué)生在此階段會(huì)陷入思維誤區(qū).因此，教師應(yīng)為學(xué)生提供適當(dāng)指導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生將其嘗試轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，將原函數(shù)解析式兩邊平方得y2=sin2x5+4cosx，化正弦為余弦，通過(guò)整理得出：cos2x+4y2cosx+5y2－1=0，這時(shí)教師可以鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用方程思想，通過(guò)對(duì)cosx的一元二次方程分析，設(shè)t=cosx，令ft=t2+4y2t+5y2－1，所以Δ=4y22－45y2－1≥0，－1≤－2y2≤1，即4y4-5y2+1≥0，－1≤－2y2≤1，最后解得y2≤14，所以函數(shù)的值域應(yīng)為y∈-1212（解法1）.通過(guò)方程思想的應(yīng)用能夠輕松解出此道較為經(jīng)典的值域求解問(wèn)題.在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生充分發(fā)揮自身創(chuàng)新性思維，基于教師所提供的思路解法進(jìn)行探索，并提出不同方案.部分學(xué)生通過(guò)思考與分析，總結(jié)：解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化cos2x+4y2cosx+5y2－1=0在-1，1上有實(shí)根，求y的取值范圍，可以列出：Δ=4y22+45y2－1=44y4－5y2+1≥0，cosx1+cosx2，=4y2≤2，并解得y2≥1，y2≤14，y2≤12.與剛才教師所提供的解法1答案相同.在學(xué)生解題的過(guò)程中，教師應(yīng)進(jìn)行巡回指導(dǎo)，幫助大家及時(shí)發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)含的“陷阱”，如在轉(zhuǎn)化求解的過(guò)程中要關(guān)注到cosx的一元二次方程在-1，1上有實(shí)根，使學(xué)生避免疏忽.

如上，通過(guò)方程思想的引入，能夠喚醒學(xué)生的思維能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新熱情與勇氣，在訓(xùn)練中逐漸形成獨(dú)立思考的意識(shí)，進(jìn)而提高自身問(wèn)題解決能力.

3 豐富手段，促發(fā)學(xué)生推理解題潛能

在傳統(tǒng)解題教學(xué)之中，部分教師為節(jié)約課堂時(shí)間，通常是以板書的應(yīng)試謄寫解題步驟，忽視了對(duì)學(xué)生思維能力以及興趣愛(ài)好的考量.久而久之，將會(huì)使學(xué)生出現(xiàn)盲目抄寫、缺乏思考意識(shí)的問(wèn)題，嚴(yán)重阻礙其解題能力的發(fā)展.基于核心素養(yǎng)背景，教師應(yīng)緊密圍繞高中生的最近發(fā)展區(qū)間，在講解解題步驟時(shí)，適當(dāng)引入生動(dòng)、立體的圖畫形式，運(yùn)用多媒體技術(shù)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為直觀印象，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在潛能.

例如 以蘇教版高二數(shù)學(xué)選擇性必修1“橢圓”一課的解題教學(xué)為例，教師選取2019年福建高考一模試卷中的這樣一個(gè)問(wèn)題：

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2.過(guò)點(diǎn)F1的直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，△F2MN的周長(zhǎng)為8，直線y=x被橢圓C所截得的線段長(zhǎng)為4427，求橢圓C的方程.

在解決本題時(shí)，教師可以利用多媒體技術(shù)手段，繪制圖象，如圖1所示：

并邀請(qǐng)學(xué)生認(rèn)真審題，在教師所提供的圖形之中標(biāo)記處點(diǎn)M、N以及F1，F(xiàn)2.在直觀的情境下，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到充分激發(fā).然而，許多學(xué)生卻止步于“△F2MN的周長(zhǎng)為8”這句話，不知應(yīng)當(dāng)如何翻譯，使之轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言.發(fā)現(xiàn)學(xué)生所存在的問(wèn)題后，教師及時(shí)帶領(lǐng)大家回顧橢圓概念，明確“橢圓到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即2a）”，所以△F2MN的周長(zhǎng)為NF1+NF2+MF1+MF2，即NF1+NF2=MF1+MF2=2a，故4a=8，a=2.接下來(lái)，教師帶領(lǐng)學(xué)生再次分析“直線y=x被橢圓C所截得的線段長(zhǎng)為4427”這段話.首先，教師指導(dǎo)學(xué)生設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為Ax1，y1Bx2，y2，得出：

AB=x2－x12+y2－y12，并將y2=x2，y1=x1代入.隨后，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用韋達(dá)定理由方程組代入，解出b=3.通過(guò)上述解題案例不難發(fā)現(xiàn)，幫助學(xué)生掌握良好基礎(chǔ)的概念知識(shí)至關(guān)重要，只有找準(zhǔn)題目線索，才能夠成功解決問(wèn)題.

如上，在解題教學(xué)之中，教師應(yīng)結(jié)合高中生的基本學(xué)習(xí)情況，優(yōu)化解題教學(xué)方法，引入信息技術(shù)手段，為課堂注入全新生機(jī)與活力，幫助學(xué)生開闊學(xué)習(xí)視野，在潛移默化中提高核心素養(yǎng).

4 加強(qiáng)實(shí)踐，幫助學(xué)生掌握解題技巧

不登高山，不知天之高也；不臨深溪，不知地之厚也.空有理論知識(shí)的講授而缺乏必要的實(shí)踐，也會(huì)影響解題教學(xué)的質(zhì)量.因此，教師應(yīng)在完成基礎(chǔ)教學(xué)任務(wù)后，應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合生活實(shí)際提出與數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)解題思想，提出教師所設(shè)計(jì)的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移與運(yùn)用，獲得解題能力以及核心素養(yǎng)的提升與發(fā)展.

例如 以蘇教版高三數(shù)學(xué)必修5“數(shù)列”一課的解題教學(xué)為例，在課堂中，教師向?qū)W生列舉了其在解題過(guò)程中所易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如：用錯(cuò)基本公式、通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系無(wú)法及時(shí)理順、對(duì)等差等比數(shù)列的性質(zhì)模糊等.基于學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，教師可以結(jié)合生活中的常見實(shí)例設(shè)計(jì)應(yīng)用練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生自主作答，并寫出解題步驟.

例題提供：假設(shè)本校內(nèi)新引進(jìn)一批桌椅，總價(jià)值為220萬(wàn)元，而桌椅的價(jià)值會(huì)隨著使用年限的提升而下降，每一年所下降的金額為d萬(wàn)元，已知d為常數(shù)，而此批桌椅的使用年限為10年，十年之后其價(jià)值將會(huì)低于購(gòu)進(jìn)價(jià)的百分之五.請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，計(jì)算d的取值范圍.

此道問(wèn)題能夠通過(guò)與學(xué)生生活貼合的事件提高學(xué)生運(yùn)用等差數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.教師可以邀請(qǐng)學(xué)生前往講臺(tái)進(jìn)行作答，并在其思維滯留時(shí)適當(dāng)提供指導(dǎo)，給出：an=an-1-dn≥2這一提示，鼓勵(lì)學(xué)生轉(zhuǎn)換思想，結(jié)合題意列出不等式組：220-10d≥11，220-11d<11，最后經(jīng)過(guò)求解得到的范圍就是d的取值范圍.與此同時(shí)，在學(xué)生完成題目解答后，教師也可以鼓勵(lì)大家創(chuàng)造性地提出問(wèn)題，與同桌之間進(jìn)行交換，促使學(xué)生活學(xué)活用，進(jìn)一步強(qiáng)化解題思維.

如上，通過(guò)與生活貼近的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠喚醒學(xué)生的探究熱情，幫助學(xué)生在實(shí)踐的過(guò)程中掌握良好的解題技能，實(shí)現(xiàn)自身思維能力的發(fā)展，逐漸在不依靠教師指導(dǎo)的情況下自主完成題目解答，提升數(shù)學(xué)成績(jī).

5 結(jié)語(yǔ)

紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)以核心素養(yǎng)為基礎(chǔ)，結(jié)合高中生的認(rèn)知能力設(shè)計(jì)多樣化的解題訓(xùn)練，在開闊學(xué)生解題學(xué)習(xí)視野的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)個(gè)人核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.相信在廣大教師的共同努力下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)將會(huì)重新煥發(fā)生機(jī)，幫助學(xué)生在良好的生態(tài)環(huán)境下，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握解題技巧，在高考中取得更加優(yōu)秀的成績(jī).

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