對“感悟”的認識與思考

李樹臣

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》增加了一個描述過程目標的行為動詞，即“感悟”，并將其解釋為“在數學活動中，通過獨立思考或合作交流，獲得初步的理性認識”。強調“感悟”就是強調從感性經驗到理性認識的活動過程，可謂把握了數學學習的精髓。數學概念教學要引導學生在實踐和比較活動中，感悟本質屬性與獨特價值；數學命題教學要引導學生在發現和應用過程中，感悟數學思想與結構特征；數學證明教學特別要引導學生證明看上去“不好”證明和“不用”證明的命題，感悟邏輯方法與求真精神。

關鍵詞：初中數學；感悟；數學活動；理性認識；數學新課標

一、數學新課標中增加了一個行為動詞：感悟

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“舊課標”）指出，數學課程目標包括結果目標和過程目標，結果目標使用“了解”“理解”“掌握”“運用”等行為動詞表述，過程目標使用“經歷”“體驗”“探索”等行為動詞表述。［1］而《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）在此基礎上，增加了一個描述過程目標的行為動詞，即“感悟”，并將其解釋為“在數學活動中，通過獨立思考或合作交流，獲得初步的理性認識”。［2］

檢索舊課標，發現其中提及“感悟”僅25次。而檢索新課標，發現其中提及“感悟”達174次：課程目標部分16次，課程內容部分85次（其中，小學部分54次，初中部分31次），學業質量部分2次，課程實施部分7次，附錄部分64次（附錄1中61次，附錄2中3次）。簡單舉例如下：

課程目標部分有“能夠理解自然現象背后的數學原理，感悟數學的審美價值”［3］“通過經歷用數學語言表達現實世界中的簡單數量關系與空間形式的過程，學生初步感悟數學與現實世界的交流方式”［4］等。

課程內容部分有“了解無理數和實數，知道實數由有理數和無理數組成，感悟數的擴充”［5］“在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實的基礎上，經歷得到和驗證數學結論的過程，感悟具有傳遞性的數學邏輯”［6］“會計算四分位數，了解四分位數與箱線圖的關系，感悟百分位數的意義”［7］“在社會生活和科學技術的真實情境中，結合方程與不等式、函數、圖形的變化、圖形與坐標、抽樣與數據分析等內容，經歷現實情境數學化，探索數學關系、性質與規律的過程，感悟如何從數學的角度發現問題和提出問題”［8］等。

學業質量部分有“認識自然數的一些特征，理解小數和分數，能進行簡單的小數和分數四則運算和混合運算，感悟運算的一致性”［9］等。

課程實施部分有“提供豐富的問題情境、充分的思考空間，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等數學活動過程，幫助學生感悟基本思想，積累基本活動經驗”［10］等。

附錄部分有“借助歷史資料說明人們最初引入負數的目的，感悟負數的本質特征”（附錄1例64）等。

二、對“感悟”的認識

從新課標對“感悟”的解釋，以及關于“感悟”的具體表述中，可以看出，感悟強調從感性經驗到理性認識的活動過程，它必須與經歷的過程、實現的結果連在一起使用，表述為“在……過程中，感悟……”。

之所以強調“感悟”，與數學科學的特征、數學教學的目標有重要關系。

“數學是思維的科學”，追求結構化、體系化，說明數學知識具有探索性、過程性，融于某些活動（經驗）；“數學又是模式的科學”，追求一般化、形式化，說明數學知識具有普適性、抽象性，屬于某種規律（本質）。數學教學應該引導學生經歷探索的過程，獲得普適、抽象的知識。而人（尤其是中小學生）的認識具有較強的“具身性”，需要經歷具體、直觀的感官活動，才能獲得普適、抽象的思維認識。

此外，數學規律（本質）是可以不斷提升層級的大觀念（大概念），不斷變“大”，也就越來越“活”，最終成為“帶得走”“用得上”的數學素養（教學思想），這是數學教學的終極目標。正如當代認知心理學家、哲學家波蘭尼所說的“我們所認識的多于我們能告訴的”，這些“大”而“活”的知識很多都是“緘默知識”（屬于“道”的層面）。這些知識由于“緘默”特征，尤其無法直接傳授給學生，只能靠學生在數學活動中自己“感悟”。因此，史寧中教授在談到數學核心素養的培養時，特別強調：“學生本人參與到數學活動中非常重要。一個人會不會想問題是自己想積累的經驗造成的，會不會做事情也是實踐的結果。這些不是教師教出來的，而是自己悟出來的。”［11］

可見，強調“感悟”就是強調“在數學活動中學習數學”，就像斯托利亞爾所說的“數學教學應該是數學活動的教學”［12］，可謂把握了數學學習的精髓。

三、關于“引導學生感悟”的思考

從教學的角度看，新課標強調“感悟”，就是要求教師“引導學生感悟”：精心設計問題或任務情境，引導學生開展數學活動，從感性經驗中獲得理性認識。理性的認識有概念、判斷和推理三種形式。相應地，數學知識可以邏輯地分解為數學概念、數學命題和數學證明三個部分。下面結合具體案例，談談在三個部分的教學中如何引導學生感悟、引導學生感悟什么。

（一）數學概念教學：從實踐到比較，感悟本質屬性與獨特價值

數學概念是揭示現實世界空間形式與數量關系本質屬性的思維形式。決定數學教學效果的首要、基礎和貫穿始終的因素就是概念要明確。［13］初中階段大約有400個數學概念，它們大多有具體的現實背景（例子）。教師在教學中，要從現實背景出發，通過具有實踐性的活動，并聯系有關的概念比較辨析，從而引導學生感悟數學概念的本質屬性與獨特價值。

【案例1】圖像法的建立

在學生認識了常量、變量和函數概念的基礎上，可以通過以下活動引入函數的圖像表示法。

1.實驗操作

（1）將一個透明的飲料瓶均勻地劃上刻度，使最小單位為毫米。在飲料瓶蓋中心位置按豎直方向打一小孔，再將一根適當粗細的塑料吸管的一端插入瓶蓋。向飲料瓶中注入大半瓶水，擰緊瓶蓋，用膠帶紙將瓶口及塑料管與瓶蓋的接口封好，使其不漏水。如圖1所示，將飲料瓶倒置并固定在鐵架上，在飲料瓶下方放置水杯，將引出的塑料管用鐵夾夾住，記下瓶內水面的高度。

（2）每四位同學一組，分別負責看秒表、控制鐵夾、觀察水面高度、記錄數據。打開鐵夾，使水由塑料管流入水杯，在表格中依次記下從放水開始到放水10秒、20秒、30秒……100秒時瓶內水面下降的高度。

（3）將表格中每對放水時間（t）和水面下降高度（L）的數據作為點的坐標，在以t為橫軸、L為縱軸的平面直角坐標系中描出各點，并將描出的點用平滑的曲線依次連接起來。

2.觀察思考

（1）從放水開始到放水10s時，飲料瓶內水面下降的高度是多少？從放水10s時到放水20s時呢？

（2）隨著放水時間t的逐漸增大，飲料瓶內水面下降高度L的變化趨勢是怎樣的？

（3）t每增加10s，L的變化情況相同嗎？

（4）估計當t=55s時，L的值是多少？你是怎樣估計的？

（5）在水面下降高度L和放水時間t的變化過程中，L是t的函數嗎？它們之間的函數關系是如何表達的？

（6）通過上面的問題，你體會到用圖像表示函數關系有什么優點？

“實驗操作”環節設計了3個任務，給出了圖像法產生的現實背景。學生在這3個任務的引導下，通過“實驗操作—記錄數據—描點連線”等一系列活動得到相應的表格和圖像（一個小組得到了表1和下頁圖2）?！坝^察思考”環節則基于得到的表格和圖像，設計了層層深入的6個問題。學生在這6個問題的引導下，可以基于實踐以及比較活動，充分地感悟到圖像法的意義（表示變量之間的函數關系）、本質（以形助數）和價值（更加直觀地表示出無法用表達式表示的函數關系）。

（二）數學命題教學：從發現到應用，感悟數學思想與結構特征

數學中的公理、定理、公式、法則、性質等泛稱為“數學命題”。這些命題都是基于概念，通過推理（包括合情推理和演繹推理）得到的；也是進一步得到其他命題的依據。因此，數學命題的教學需要特別關注其發現過程和應用過程。

一方面，教師可以設計多種表征和推理活動，引導學生發現數學命題，感悟有關的數學思想。

【案例2】平方差公式的發現

平方差公式是最基本、用途最廣泛的乘法公式之一。教學中，可以設計以下活動，引導學生發現平方差公式，感悟歸納、演繹、數形結合等數學思想。

（1）時代中學計劃將一個邊長為10米的正方形花壇，改造成長為12米、寬為8米的長方形花壇，你會設計改造后的花壇嗎？如果改造成長為11米、寬為9米的長方形花壇呢？

（2）計算改造后花壇的面積，與改造前花壇面積相比，你有什么發現？

（3）將如圖3所示的長方形剪成兩個小長方形（a＞b＞0），再把這兩個小長方形拼成如圖4所示的圖形，分別計算剪拼前和剪拼后的面積，你有什么發現？

（4）設a、b都是有理數，利用多項式的乘法公式計算這兩個數的和與這兩個數的差的積，你能推導出一般性的結論嗎？

4個活動分別引導學生：感受實際背景及幾何意義；通過具體性的計算，歸納發現平方差公式的結構；通過圖形的轉化，直觀發現（解釋）平方差公式；通過一般性的計算，演繹發現（推導）平方差公式。在此過程中，學生不僅可以理解平方差公式的實質，而且可以充分感悟數學發現的一般方法，感受數學思想的魅力。

另一方面，教師可以設計多種變式練習活動，引導學生應用數學命題解決有關問題，感悟命題的結構特征。

（三）數學證明教學：從“不好”到“不用”，感悟邏輯方法與求真精神

數學證明是在特定的公理系統中，根據一定的規則或標準，由公理和定理等推導出某些命題的過程。上面談到的數學命題的發現與應用已經涉及廣義的數學推理了，這里談數學證明，強調的是基于一些顯然的公理（基本事實），通過嚴格的演繹推理，保證數學命題的正確性。盡管現代數學觀強調數學不只是嚴格的演繹邏輯體系，也充滿直覺、猜想等合情推理方面的探索，但是，從學科比較的視角來看，嚴格的演繹推理依然是數學最重要的特征，并且是數學最基本的追求——大物理學家狄拉克曾說：“我不管什么證明，我只想知道真相?！保?4］因此，數學教學需要重視證明的教學，需要引導學生在證明活動中感悟嚴格邏輯的方法程序（如演繹推理的三段論格式、直接證明的分析與綜合方法、間接證明的反證法以及舉反例）和數學求真的精神品質（包括證明的必要性）。

具體來看，特別要重視一些看上去“不好”證明和“不用”證明的命題。

前者可以引導學生充分感悟嚴格邏輯的方法程序，尤其是間接證明的方法。比如，“2是無理數”看起來就“不好”證明，教師可以引導學生利用反證法證明，從而感悟間接證明的巧妙，體會命題與其逆否命題之間的等價關系，以及矛盾律和排中律。

后者主要是指“看似正確，其實錯誤”的命題，即違背直覺的命題，可以引導學生充分感悟數學求真的精神品質。比如，“兩條邊與一個角分別對應相等的兩個三角形全等”，“圖5所示的正方形可以剪拼成圖6所示的長方形”，以及“一個班50個學生中有兩個學生的生日是同一天的可能性不大”，等等。

此外，還有一些命題過于顯然，看上去既“不好”也“不用”證明。對此，需要加以特別的重視。比如平行線性質定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。它的證明可以引導學生感悟反證法的一般程序，以及公理化的思想。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012：4.

［2］［3］［4］［5］［6］［7］［8］［9］［10］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：181，5，6，58，71，74，7778，82，94.

［11］史寧中.數學課程標準修訂與核心素養［J］.教育研究與評論，2022（5）：22.

［12］A.A.斯托利亞爾.數學教育學［M］.丁爾陞，等譯.北京：人民教育出版社，1984：10.

［13］薛茂芳.數學概念及其教學（修訂版）［M］.北京：光明日報出版社，2013：前言.

［14］張奠宙，過伯祥，方均斌，等.數學方法論稿（修訂版）［M］.上海：上海教育出版社，2012：36.