一道尺規作圖題的命制

程銀生 楊巧玲

摘 要：受證明勾股定理的畢達哥拉斯拼圖中元素關系的啟發，打破常規，簡化圖形，呈現其基本要素（一個點和兩條線），命制出一道構造等腰直角三角形的尺規作圖題，并改變點的位置，重構線的形狀，進行拓展，從而多角度考查學生對基本圖形的理解以及尺規作圖能力。探索多種解法，分別做到有跡可循、有理有據，并在鼓勵學生思維創新、百花齊放的同時，讓學生體會到多法歸一的尺規作圖方法探索本質，從而形成良好的思維品質，培養提出問題和解決問題的能力。

關鍵詞：初中數學；試題命制；畢達哥拉斯拼圖；尺規作圖

一、 從經典圖形中找素材

作為初中數學的重要內容，勾股定理是基本的幾何定理，揭示了直角三角形三邊間的關系。其證明和應用一直受到廣泛關注，是數形結合的重要紐帶。通過拼圖，借助等面積法是證明勾股定理的常用方式，其中一些經典圖形（如趙爽弦圖、畢達哥拉斯拼圖、美國總統加菲爾德構圖等）被各版初中數學教材選用。這些經典圖形也受到眾多命題者的青睞，由此命制出的習題、試題層出不窮。

畢達哥拉斯拼圖（如下頁圖1所示）是趙爽弦圖的“外翻”，是加菲爾德構圖的“加倍”。觀察圖1，發現里面有著豐富的元素。大正方形ABCD由小正方形EFGH和四個全等的直角三角形拼接而成。如果將小正方形EFGH的對角線EG（或HF）連接起來，則大正方形ABCD被分割成兩個直角梯形（包含基本圖形“K形圖”［1］），小正方形EFGH被分割成兩個等腰直角三角形（其三個頂點分別在大正方形的三邊上）。如果直角三角形的兩條直角邊長確定，則其斜邊長也確定，而內外兩個正方形的邊長（大小）也隨之確定。

受此啟發，若只保留小正方形EFGH的某一個頂點（如點E）和大正方形ABCD一組對邊，即兩條平行線（如AD、BC），能否在此基礎上重新構造一個等腰直角三角形，使其一個頂點為保留的點（E），另外兩個頂點分別在兩條平行線上？進一步推廣，若這組對邊不平行，又該如何構造？由此，結合《義務教育教學課程標準（2022年版）》突出強調的重點和當下中考的熱點，命制出下面的尺規作圖題，作為一次中考特長生測試的壓軸題。

四、 幾點啟示

（一） 打破常規，嘗試一圖多變

數學一向以簡潔美著稱，簡潔的外在蘊含豐富的內涵：基礎的內容有著豐富的變化。平面幾何中豐富的圖形世界讓人目不暇接、流連忘返。歷經歲月長河的積淀，一些經典圖形仿佛一塊塊璞玉被人們發掘、傳承，煥發出新的生機。即使是同一幅圖，從不同的角度看，也能發現不一樣的精彩世界，它們彼此聯系，又別具一格。比如，勾股定理的幾種經典拼圖證明方法聯系緊密。上述試題的命制受其啟發，打破常規，嘗試換一種角度，通過簡化圖形，呈現其基本要素（一個點、兩條線），要求構造等腰直角三角形；進而改變點的位置，重構線的形狀，進行拓展。一圖多變，多角度考查學生對基本圖形的理解以及尺規作圖能力，給學生的思維發展提供充足的空間。正所謂：“璞玉熠熠生輝，青春灼灼其華。”

（二） 方向引領，體會多法歸一

解決尺規作圖問題只有“明理”，才能“知法”：基本技能的形成一定是建立在嚴密的幾何邏輯推理和有條理的思考上的［3］。通過作圖形成良好的思維品質，培養提出問題和解決問題的能力。縱觀文中提到的各種作法，雖然思維方式各異，但是，通過作圖思路分析，均可做到有跡可循、有理有據。真可謂“一筆一畫皆世界”。日常教學中，教師應擅于創建交流共享的平臺，走近學生，聆聽他們的想法，啟發群體的智慧，引導學生學習、比較、分析，再結合自己的專業素養，進行方法引領，讓學生體會不同方法之間思維的差異和共性。比如，上述圖6—圖16、圖17—圖19雖呈現了不同的作圖方法，各具特色，但又不乏共同之處。在鼓勵學生思維創新、百花齊放的同時，讓學生體會到多法歸一的本質。如此，才能達到觸類旁通、“做一題，曉一類”的境界。

參考文獻：

［1］ 李賀，朱黎生.“K形圖”的變異空間及教學要點——變異理論視域下［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2023（3）：62.

［2］ 錢德春，于婷婷.尺規作圖教學重在“探索方法”［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2022（1）：5859.

［3］ 萬建光，陳文雅．明畫法之理 顯思維深度——一道無刻度直尺作圖題的解法及教學啟示［J］.中學數學，2021（12）：9597．