基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學概念教學初探

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［摘? 要］ 概念是數(shù)學的核心. 概念教學是滲透數(shù)學思想，落實數(shù)學核心素養(yǎng)的關鍵. 重視概念教學，不僅能培養(yǎng)學生用發(fā)展的眼光看待世界，還能讓學生學會用數(shù)學語言和思維表達和思考生活. 文章以概念形成的一般過程為出發(fā)點，從問題驅動，孕育新知；歸納類比，形成概念；挖掘內(nèi)涵，深化概念三方面具體談談基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學概念教學的措施.

［關鍵詞］ 核心素養(yǎng)；概念教學；問題驅動

概念是數(shù)學中最基本的抽象，是培養(yǎng)學生思維品質、創(chuàng)新意識與應用能力的基礎. 新課標中對數(shù)學核心素養(yǎng)所提出的要素是數(shù)學抽象、推理、建模、想象、運算與數(shù)據(jù)分析等. 數(shù)學概念的教學是促使學生形成良好核心素養(yǎng)的根本. 如何讓學生在概念的形成與發(fā)展過程中，感知其內(nèi)涵與外延，形成良好的核心素養(yǎng)，是筆者近兩年一直在探索的問題之一. 文章從以下幾方面，具體談談基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的初中數(shù)學概念教學方法，與同行分析交流.

概念形成的一般過程

概念形成是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體. 課堂教學中，怎樣從情境中抽象出相應的概念是教學的重點與難點. 為此，筆者對概念形成的一般過程做了一定的研究，以期為教學服務.

杜賓斯基等人在APOS理論中提出，學習者在經(jīng)歷概念抽象的過程中，會經(jīng)歷操作、過程、對象與圖式四個階段. 奧蘇貝爾（D.P.Ausubel）認為概念的形成與發(fā)展大致需經(jīng)歷八個階段的心理歷程. 結合以上理論，我國的學者章建躍與曹才翰共同提出了概念形成的一般過程，需經(jīng)歷七個階段（見圖1）［1］.

此理論對于一般意義上的概念教學具有明確的指導意義. 但教學是一個動態(tài)的過程，具有一定的復雜性與靈活性，尤其受一些概念的特征與學生認知水平的影響，教學實施過程中，難免會出現(xiàn)不遵循以上線性發(fā)展順序的情況. 那么，教師在教學中應怎樣地引導學生的思維，幫助學生構建清晰的概念，促進其核心素養(yǎng)的提升呢？這是一個值得教師深入探討的問題.

培養(yǎng)策略

1. 問題驅動，孕育新知

傳統(tǒng)教學模式中，教師習慣用“傳授”的方式進行教學，學生按照教師的指令進行學習. 這種模式下，學生一般不會主動對教學過程或內(nèi)容產(chǎn)生疑問，也不會主動去探索新知，而是被動地接納. 顯然，這種教學模式禁錮了學生的思維，讓學生養(yǎng)成被動學習的習慣，從而缺乏學習的主動性.

隨著新課改的推進，“以學生為主體”的課堂模式登上教育的舞臺，明確了學生在課堂教學中的主體地位. 如何化被動為主動，讓學生積極主動地參與教學活動呢？實踐證明，豐富的情境能有效地激發(fā)學生的探究熱情；具體的問題，能啟發(fā)學生的思維；良好的課堂氛圍，能激發(fā)學生的潛能. 學生在和諧、民主、自由的課堂中自主合作探究，不僅能充分張揚學生的個性，還能有效地激發(fā)創(chuàng)新意識，為數(shù)學核心素養(yǎng)的形成奠定基礎.

案例1? “數(shù)軸”的教學

本節(jié)課的教學重點與難點在于數(shù)軸的建模及有理數(shù)與數(shù)軸一一對應關系的教導. 照本宣科地進行填鴨式教學，只會讓學生處于云里霧里的狀態(tài)，無法弄清概念的本質，更談不上對概念的深刻理解. 而創(chuàng)設問題情境，驅動學生的思維，是實施課堂導入的關鍵. 在設計問題情境之前，教師首先要思考：數(shù)軸教學的目的、作用以及生活意義是什么？只有弄清了這些問題，才能從真正意義上引導好學生.

基于以上思考，筆者在本節(jié)課教學時，創(chuàng)設了以下問題情境.

羽毛球館在學校大門東側40 m處，圖書館在羽毛球館東40 m處，小明從學校大門出發(fā)，先往西走了110 m，又折回來往東走了320 m，求小明在圖書館的什么位置？

這是一個與學生生活密切相關的問題，很快就吸引了學生的注意力，還沒等教師提出要求，不少學生已經(jīng)在草稿紙上圈圈畫畫，進行探究了.

巡視過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學生的思維非常活躍，各種表達方法都有，大部分學生選擇的是用線段圖來表示. 為了讓學生有一個明確的研究方向，教師可鼓勵學生先自主描述這個問題情境，然后統(tǒng)一要求學生在自己所畫的線上取一點為0點，而涉及的一些數(shù)據(jù)，則可用直線上的點來表示.

通過不斷地交流與修正，學生的意見逐漸趨于統(tǒng)一：以學校為0點，學校往東作為正數(shù)方向，學校往西作為負數(shù)方向，并選擇一個標準長度為單位. 如此，在這個問題情境的驅動下，數(shù)軸的三要素已初見端倪. 學生在此探究過程中，不僅表現(xiàn)出了良好的主動思考、探究的能力，還對數(shù)軸的學習產(chǎn)生了良好的情感傾向.

2. 歸納類比，形成概念

有些數(shù)學概念相對抽象，學生學習起來有一定難度. 但仔細分析，會發(fā)現(xiàn)知識之間存在一些關聯(lián)性，根據(jù)這個特征，將學生認知結構中的舊知與新知進行類比教學，往往能實現(xiàn)知識由此及彼的遷移，達到良好的教學效果.

初中階段涉及的概念較多，如函數(shù)、不等式等，雖然類型繁多，但知識之間確實存在一定的聯(lián)系，抓住這些聯(lián)系就為教學提供了類比的條件. 從學生已有的認知結構出發(fā)，通過類比的方式，將已知遷移到未知的領域中，并類比分析、歸納總結，即可突出重點，突破難點，提高教學成效.

類比是一種重要的數(shù)學思想方法，除了在概念教學中應用得較多，在解題中也有大量使用. 因此，教師應從思想上重視這種方法的應用，并從行動上加強對這種方法的探究. 值得注意的是，教師應從思維上形成一個認識：類比就是類比推理，它是知識的遷移過程，而非兩個或兩類知識的差異性比較.

案例2? “反比例函數(shù)”的概念教學

在課堂導入環(huán)節(jié)后，筆者特設計了以下幾個問題，讓學生進行類比推理與概括.

問題1：觀察以下四個表達式，y=，y=7a+20，y=3.8n，t=，并思考以下問題.

（1）以上四個表達式中，分別有幾個變量？

（2）每個式子中的變量之間有沒有關系？若有，說一說其中的聯(lián)系.

（3）我們一般應用哪些模型來研究變量間的關系？

（4）你們對這些函數(shù)熟悉嗎？

（5）能否為不熟悉的函數(shù)起個名字？

設計意圖? 循序漸進的問題串，讓學生對函數(shù)產(chǎn)生更為直觀、深刻的認識，學生通過一次函數(shù)與正比例函數(shù)的回顧，再次體會函數(shù)之間的對應關系，從而將這種關系遷移到反比例函數(shù)中. 隨著認知矛盾的產(chǎn)生，學生自然而然地產(chǎn)生了進一步探究的想法，隨著新舊知識的類比概括，學生對反比例函數(shù)的概念產(chǎn)生了初步的認識.

問題2：大家回憶一下，當初研究一次函數(shù)的時候，是從哪些方面著手進行分析的？如果要研究反比例函數(shù)，該從何處著手呢？

問題3：觀察問題1中所提供的反比例函數(shù)解析式，它們之間存在哪些異同點？（分組合作）

問題4：通過以上的類比與總結，大家對反比例函數(shù)的解析式所具備的公共特征已有所了解，現(xiàn)在請大家根據(jù)正比例函數(shù)的定義，推導出反比例函數(shù)的定義.

隨著以上問題的逐個擊破，學生獲得反比例函數(shù)的定義為：形如y=（k≠0，且為常數(shù)）的函數(shù). 教師強調：x為自變量，y為x的函數(shù)，k為反比例系數(shù).

任何一種函數(shù)思想方法的研究，首先是概念的研究，讓學生對概念的圖象與性質產(chǎn)生清晰的認識后，再學會運用概念來解決相應的問題［2］. 以問題引導與類比歸納的方法，意在幫助學生將舊知的學習方式進行加工，遷移到新知的學習中. 同時，類比、歸納思想的應用，使得學生大概了解了研究函數(shù)問題的通用方法，為今后研究其他函數(shù)做鋪墊.

根據(jù)本例可知，緊扣知識內(nèi)部聯(lián)系，不僅能順利實現(xiàn)知識的遷移，還能有效地發(fā)展學生的思維，讓學生通過一個問題的研究獲得解決一類問題的能力. 因此，類比歸納，獲得概念的過程是概念教學的關鍵，也是培養(yǎng)學生形成良好學習能力的基礎，更是促進學生核心素養(yǎng)形成的基本條件.

3. 揭示內(nèi)涵，深化概念

在學生對概念有了明確的認識后，接下來的教學任務就是揭示概念的內(nèi)涵與外延，讓學生全方位地認識與理解概念，為概念的靈活應用奠定基礎. 如何揭示概念的內(nèi)涵，這是廣大教育者一直探索的問題，也是令不少教師感到困惑與棘手的問題之一. 為此，筆者針對這個教學環(huán)節(jié)做過多方面的嘗試. 實踐證明，引導學生動手操作、引用概念的發(fā)展史、多角度分析概念等方法是揭示概念內(nèi)涵的有效措施.

案例3? “無理數(shù)”的教學

為了揭示無理數(shù)的內(nèi)涵，讓學生感知無理數(shù)的特征，筆者特以認識為例，引導學生感知揭示概念內(nèi)涵的過程，以深化學生對無理數(shù)概念的理解.

分析：縱觀的形成與發(fā)展歷史過程，在很早之前就出現(xiàn)了的近似值，但較晚才證明它無法用分數(shù)的形式來表達. 從認知發(fā)展規(guī)律的角度分析，初中階段學生從已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，能對有理數(shù)產(chǎn)生比較合理的認識，但對無理數(shù)的認識卻處于一個模糊的狀態(tài). 結合學生的認知特點，教授有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別時，教師可引導學生從近似值的角度出發(fā)，感知其無限不循環(huán)的小數(shù)特征，而非通過邏輯證明的方式來理解.

問題1：一個邊長為x的正方形，它的面積為x2. 若x的值為1，那么該正方形的面積為x2=1（x<2）；若x的值為2，那么該正方形的面積為x2=4（x=2）；若該正方形的面積為x2=2，那么x=，這個到底是多長呢？大家分析一下，是大于2還是小于2？

生1：我認為應介于1，2之間.

師：介于1，2之間的數(shù)有很多，到底是哪個數(shù)呢？

生2：不對，我剛剛計算了，1.5的平方為2.25，該值顯然大于2.

生3：1.42=1.96，小于2.

師：由此能說明什么？

生4：可見x是大于1.4的.

師：非常好！根據(jù)以上方法，我們可利用“二分法”無限計算，所獲得的值會越來越接近. 如圖2所示，這些數(shù)沒有規(guī)律可循，不是無限循環(huán)小數(shù)，因此無法用分數(shù)表示，由此我們將此類數(shù)稱為什么數(shù)？在這里表示什么？

生5：這類數(shù)就是無理數(shù)，在這里表示面積為2的正方形的邊長.

師：非常好，這就是所蘊含的幾何意義. 你們知道根號的由來嗎？

（學生搖頭，并充滿渴望地望著老師）

師：在拉丁語中，根為radix；在英語中，根為root，這兩者的首字母都是“r”，16世紀的斯蒂文和路多爾夫兩人將“r”變形成了根號. 到17世紀，法國的笛卡爾在原來的基礎上，將根號進行了完善，形成了今天我們所熟悉的“”. 現(xiàn)在請大家觀看無理數(shù)歷史發(fā)展的視頻. （播放微視頻）

設計意圖? ①利用“二分法”估算的大小，其目的在于讓學生深刻體會無理數(shù)不是無限循環(huán)小數(shù)，無法用分數(shù)來表示，從本源上將有理數(shù)和無理數(shù)進行了區(qū)分. ②引用正方形面積來理解，是為了讓學生感知算術平方根的幾何意義，由此滲透了重要的數(shù)形結合思想，并讓學生體會并非所有帶“”的數(shù)都是無理數(shù). ③介紹根號的形成史，是為了讓學生體會生活與數(shù)學的關系，數(shù)學概念是由生活實際抽象而來的，最后又反過來為更好地生活服務. 微視頻的播放，能有效地激發(fā)學生對概念學習的興趣.

此教學過程，教師將教材知識進行了重新整合，通過一定的教學手段，凸顯了有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別，深化了學生對無理數(shù)概念的認識. 這種教學設計不僅讓學生感知了概念的產(chǎn)生與發(fā)展過程，對無理數(shù)的本源產(chǎn)生了理解，還讓學生深刻體會了知識的衍生、發(fā)展，以及與生活的聯(lián)系.

教育的本質是“教書育人”，知識的重要性，不言而喻，而“育人”的理念，可滲透到課堂的每個角落. 微視頻的播放，激趣的同時，還讓學生感知數(shù)學概念從無到有，逐漸完善的過程，知道我們所熟知的知識并非是天上掉下來的，而是經(jīng)歷了一個艱辛的探究與發(fā)展歷程，體會在追求真理的學習道路上，只有保持堅持不懈、孜孜不倦、科學嚴謹?shù)膽B(tài)度，不斷地克服困難，才能實現(xiàn)質的飛躍.

李邦河院士提出：概念是數(shù)學的根本，數(shù)學學習玩的是概念，而非技巧［3］. 縱觀近些年的中考試題，很多新穎的命題都源自概念，又高于概念. 因此，教師應從思想上重視概念教學，深入挖掘與探究概念的內(nèi)涵與外延，這對發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)具有深遠的影響.

參考文獻：

［1］曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學［M］北京：北京師范大學出版社，2014.

［2］李興貴，王富英.數(shù)學概念學習的基本過程［J］. 數(shù)學通報，2014，53 （02）：5-8.

［3］李邦河. 數(shù)的概念的發(fā)展［J］. 數(shù)學通報，2009，48（08）：1-3，9.