用“模型”夯基礎(chǔ) 探“本質(zhì)”提素養(yǎng)

曹友成 王興成 周世建

［摘? 要］ 初中平面幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、核心知識(shí)可以用“模型”來表達(dá)，“模型”簡潔、直觀，能突出核心［1］. 如果學(xué)生能準(zhǔn)確理解“模型”，善于運(yùn)用“模型”，就能有效地避免機(jī)械刷題，實(shí)現(xiàn)“雙減”. 但一味地依賴“模型”，也會(huì)導(dǎo)致思維定式，核心素養(yǎng)缺失. 所以需要教師引導(dǎo)學(xué)生通過深刻理解、深層思考、探究操作等方式抓住數(shù)學(xué)“本質(zhì)”，這便是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的具體方式和教學(xué)路徑.

［關(guān)鍵詞］ 模型；基礎(chǔ)；本質(zhì)；素養(yǎng)；教學(xué)導(dǎo)航

“雙減”是時(shí)代的迫切要求，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)是落實(shí)立德樹人的根本途徑. 既要“雙減”，又要有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該樹立什么觀念，應(yīng)在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何操作？ 這些問題一直縈繞在筆者腦海里，揮之不去，驅(qū)之不散. 筆者喜出望外地從2022年重慶中考題A卷第25題中找到了答案，認(rèn)真研究后筆者發(fā)現(xiàn)，該題是在為初中數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)導(dǎo)航，也在為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)航.

試題呈現(xiàn)

（2022年重慶市中考數(shù)學(xué)A卷第25題）在銳角三角形ABC中，∠A=60°，D，E兩點(diǎn)分別是邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線CD于點(diǎn)F.

（1）如圖1所示，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù).

（2）如圖2所示，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到線段MC，連接MF，N是MF的中點(diǎn)，連接CN，在D，E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，猜想線段BF，CF，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

（3）若AB=AC，且BD=AE，將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面得到△ABP，H是AP的中點(diǎn)，K是線段PF上一點(diǎn)，將△PHK沿直線HK翻折至△PHK所在平面得到△QHK，連接PQ. 在D，E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段PF取得最小值，且QK⊥PF時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值.

試題品鑒

本題是以三角形為背景的幾何題，設(shè)計(jì)了三個(gè)問題，三個(gè)問題層次分明，所涉及的知識(shí)由淺入深，對(duì)能力要求循序漸進(jìn)，由知識(shí)立意與能力立意，潤物細(xì)無聲地過渡到素養(yǎng)立意. 本題是中考卷的最后一題，也是全卷的壓軸題，有知識(shí)的復(fù)雜性、能力的靈活性、素養(yǎng)的綜合性，有效地體現(xiàn)了中考題的甄別功能和教學(xué)導(dǎo)向性. 下面，筆者從試題剖析、解法賞析、試題變式三個(gè)角度進(jìn)行品鑒.

（一）試題剖析

本題將“四基”“四能”與幾何問題有機(jī)融合，以旋轉(zhuǎn)、翻折兩種基本幾何變換為線索設(shè)計(jì)問題串，不僅考查全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和等基礎(chǔ)知識(shí)，還考查了學(xué)生的幾何作圖能力、直觀想象能力、邏輯推理能力. 本題看似是一道靜態(tài)幾何題，實(shí)際上從第（1）問到第（3）問都是動(dòng)態(tài)變化的，動(dòng)中有靜，變中有定.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，初中階段圖形與幾何包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題. “圖形的性質(zhì)”強(qiáng)調(diào)通過實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形；“圖形的變化”強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究圖形，理解圖形的軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)和平移時(shí)的變化規(guī)律，以及變化中的不變量；“圖形與坐標(biāo)”強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，用代數(shù)的方法研究圖形，在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示圖形上點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)分析和解決問題［2］.

因此，從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度審視本題，發(fā)現(xiàn)本題是將“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”兩個(gè)主題有機(jī)融合，將課程標(biāo)準(zhǔn)中這兩個(gè)主題對(duì)學(xué)生的要求體現(xiàn)得淋漓盡致.

具體地，第（1）問以“求∠CFE的度數(shù)”這一問題為導(dǎo)向考查全等三角形的構(gòu)造、判定、性質(zhì). 這一問相對(duì)簡單，屬于基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的考查，是典型的軸對(duì)稱全等三角形模型結(jié)構(gòu)的構(gòu)造，學(xué)生容易從這一模型結(jié)構(gòu)產(chǎn)生想象，進(jìn)而作出輔助線解決問題. 第（2）問以“猜想線段BF，CF，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想”這一問題為驅(qū)動(dòng)，考查學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力. 提出問題，即猜想三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；分析問題，即通過觀察圖形，聯(lián)想模型，理清證明猜想的思路；解決問題，即嚴(yán)格的邏輯推理論證. 這與“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)、會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考”高度契合. 第（3）問是一個(gè)復(fù)合問題，需要先探究線段PF取得最小值時(shí)的本質(zhì)條件及圖形結(jié)構(gòu)，進(jìn)而求出的值. 前者是探究性問題，無模可想，無模可套，考查學(xué)生的核心能力、核心素養(yǎng)，要求學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深層思考，并深入問題的本質(zhì). 后者可視為求線段的長，解三角形. 盡管后者看似思路簡單，但必須以前面的探究為前提，所以探究成為本問的重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).

（二）解法賞析

1. 單一模型，暢通無阻

分析題目的已知條件，結(jié)合第（1）問的直觀圖形，很容易發(fā)現(xiàn)其中隱藏著一對(duì)軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的全等三角形，其基本模型如圖3或圖4所示.

所以，第（1）問的解答思路是，在射線CD上截取CI=BE，并連接BI，如圖5所示. 易證△BCI≌△CBE，所以BI=CE=BD. 所以∠BID=∠BDI=∠CEF. 所以∠CFE=∠A=60°. 當(dāng)然，也可以按圖6所示的方式構(gòu)造對(duì)稱全等模型來解答問題，兩種證明方法相同.

2. 雙重模型，巧架橋梁

第（2）問的突破口是“N是MF的中點(diǎn)”. 從原題中抽出這一基本結(jié)構(gòu)如圖7所示，由此可展開直觀想象構(gòu)造第一層模型，即倍長CN構(gòu)造“X型”全等圖形，如圖8所示，或者倍長MC構(gòu)造中位線基本模型，如圖9所示.

由此可得到2CN=CL=FR，再進(jìn)一步比一比、量一量，可直觀想象CL，BF，CF或FR，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系為CL=BF+CF，F(xiàn)R=BF+CF. 顯然此時(shí)需要構(gòu)造第二層模型將BF+CF變?yōu)橐粭l線段. 由結(jié)論∠CFE=∠BFD=60°，可直觀想象到將線段CF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到圖10，或者將線段BF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到圖11，實(shí)現(xiàn)變兩條線段之和為一條線段的目的，在旋轉(zhuǎn)的同時(shí)也構(gòu)造了等邊三角形.

此時(shí)只需要證明這兩個(gè)基本模型中的BC′=CL=FR=B′C即可，于是這里需要架設(shè)連接兩個(gè)模型的橋梁. 現(xiàn)以融合圖8、圖11的模型證明CL=B′C為例. 如圖12所示，因?yàn)椤鰾′BF與△ABC都是等邊三角形，所以易證△B′BA≌△FBC，所以有AB′=CF，∠B′AB=∠FCB=α. 進(jìn)一步可得∠B′AC=60°+α，∠FCM=120°-α. 易證FL∥CM，所以∠CFL=60°+α，所以∠B′AC=∠CFL. 又BC=AC=MC=FL，所以△B′AC≌△CFL. 所以B′C=CL，即BF+CF=2CN. 由此可見，連接兩個(gè)模型的橋梁就是△B′BA≌△FBC，進(jìn)而通過推理可得到∠B′AC=∠CFL=60°+α.

當(dāng)然，從第一層模型的兩種構(gòu)圖中任選一個(gè)與第二層模型的兩種構(gòu)圖中任選一個(gè)進(jìn)行組合，會(huì)得到四種不同的組合. 第一層模型中連線的方式不同，第二層模型中旋轉(zhuǎn)的方向不同，所以兩層模型組合會(huì)有多種不同的情形. 由此也輕松理解了本問解法的多樣性，但萬變不離其宗——根據(jù)已知和問題構(gòu)建雙重模型并架設(shè)橋梁解決問題，其中“模”來源于基礎(chǔ)，“橋”來源于能力.

3. 無模可套，素養(yǎng)當(dāng)?shù)?/p>

本題第（3）問是一個(gè)復(fù)合問題：需要先確定線段PF的長度最小時(shí)的圖形狀態(tài)，再確定QK⊥PF時(shí)的圖形，最后求的值. 顯然前者是關(guān)鍵，它既是解決問題的前提，又是化動(dòng)為靜的關(guān)鍵. 其中P是定點(diǎn)，F(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)，要求線段PF長度的最小值，就要確定點(diǎn)F的軌跡，這是本題的難點(diǎn)，沒有模型，無模可套. 這就需要學(xué)生保持冷靜，理性思考，深層思考，把握現(xiàn)象背后的本質(zhì). 通過分析容易發(fā)現(xiàn)∠CFE=60°恒定不變，所以其鄰補(bǔ)角∠BFC=120°也恒定不變，由角的大小不變判定∠BFC是圓周角，從而點(diǎn)F的軌跡是弦BC所對(duì)的劣弧. 由圓周角與圓心角的關(guān)系可進(jìn)一步確定點(diǎn)F的軌跡及所在圓的圓心（O）、半徑，如圖13所示. 顯然，如圖14所示，當(dāng)P，F(xiàn)，O三點(diǎn)共線時(shí)，線段PF的長度取得最小值，再當(dāng)QK⊥PF時(shí)，得∠PKH=∠QKH=45°. 至此，問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題：已知BC的長，求PQ的長. 于是，過點(diǎn)P作PR⊥PA，過點(diǎn)O作OR⊥PR，垂足為R，過點(diǎn)H作HT⊥PK，垂足為T，如圖15所示. 不妨設(shè)OB=a，則BC=PA=a，PR=2a. 所以tan∠POR=. 所以tan∠HPT=. 又PH=PA=a，所以在Rt△PHT中可解得PT=a，HT=a. 所以PK=PT+KT=PT+HT=a+a. 所以PQ=PK=a+a. 所以=+.

（三）試題變式

變式幾何題首先需要教師對(duì)試題結(jié)構(gòu)有深刻的理解，可通過架設(shè)研究背景，確定一般化的推廣方向，歸納結(jié)構(gòu)，這樣不僅可以極大地提高學(xué)生對(duì)圖形結(jié)構(gòu)的理解與認(rèn)知，還可以助力學(xué)生邏輯推理能力與數(shù)學(xué)建模能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

1. 建構(gòu)背景，追本溯源

【以動(dòng)研靜，挖掘隱圓，找到本質(zhì)】

第（2）問的本質(zhì)是定角對(duì)定邊可定隱藏圓. 若固定△ABC的邊長，改變點(diǎn)E的位置，則點(diǎn)F在以點(diǎn)O為圓心、BO的長為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng)，如圖13所示，其中BO=OC，∠BOC=120°. 因此在圓的背景下，BF，F(xiàn)C為☉O的弦.

【聯(lián)動(dòng)核心，統(tǒng)一背景，深化理解】

為關(guān)聯(lián)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)背景，可依托中點(diǎn)N，構(gòu)造中位線，即倍長CN（FQ∥CN，F(xiàn)Q=2CN），易知B，F(xiàn)，C，Q四點(diǎn)共圓，因此2CN也為☉O的弦，如圖16所示. 由此，本題變成在☉O中研究共圓上一點(diǎn)的三條弦之間的數(shù)量關(guān)系. 由對(duì)角互補(bǔ)的四邊形BFCQ有一組鄰邊相等，可構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等，即△FCQ≌△PBQ，如圖17所示，于是可快速找到解題方法，最終證得△PFQ為等邊三角形，得到BF+FC=2CN. 另外，在B，F(xiàn)，C，Q四點(diǎn)共圓的背景下，由托勒密定理，可得2CN·BC=BF·CQ+CF·BQ，化簡后即為待證結(jié)論. 在△BQC為等邊三角形的背景下，線段BC=BQ=CQ，若改變△BCQ的形狀，即改變△ABC的形狀，則可以改變問題中線段的數(shù)量關(guān)系.

2. 特殊化引路，一般化推廣

變式思路1：保持△ABC為等腰三角形，改變∠BAC的大小，將條件“BD=AE”變?yōu)椤啊螧AC+∠BFC=180°”.

變式1：如圖18所示，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，D，E兩點(diǎn)分別是邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線CD于點(diǎn)F. 若∠BAC+∠BFC=180°，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到線段MC，連接MF，N是MF的中點(diǎn)，求證：（-）CN=BF+CF.

變式2：在“變式1”的基礎(chǔ)上，將“∠BAC=30°”變?yōu)椤霸凇鰽BC中，sin=”，將“線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°”變?yōu)椤熬€段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)”，則結(jié)論變?yōu)椤扒笞C：CN=BF+CF”.

一般化推廣1：如圖19所示，在“變式1”的基礎(chǔ)上，將等腰三角形ABC一般化，即不固定∠BAC的大小，將“∠BAC=30°”變?yōu)椤皊in=”，將“線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°”變?yōu)椤熬€段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)”，則結(jié)論變化為“求證：4nCN=mBF+mCF”.

分析：解題時(shí)，保持輔助線構(gòu)法不變的情況，如圖20所示，可得△BCQ∽△PFQ，有=，其中PF=BF+CF，F(xiàn)Q=2CN，=2sin=. 結(jié)合上述分析，問題的本質(zhì)是對(duì)△BCQ∽△PFQ這組旋轉(zhuǎn)相似的刻畫. 此問題也可以由托勒密定理直接得到，本質(zhì)相同.

一般化推廣2：如圖21所示，在“變式1”的基礎(chǔ)上，將△ABC一般化，即BC ∶ AC ∶ AB=a ∶ b ∶ c，且把“在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到線段MC”變?yōu)椤斑^點(diǎn)C沿BA方向作射線CG∥AB，在CG上取一點(diǎn)M，使得CM=AB”，于是結(jié)論可變化為“求證：2aCN=cBF+bCF”.

變式思路2：在B，F(xiàn)，C，Q四點(diǎn)共圓的背景下，托勒密定理與三弦定理是統(tǒng)一的，BF，F(xiàn)C，2CN均為弦，此題也可由三弦定理展開變式，將邊與角結(jié)合起來考慮.

結(jié)語

數(shù)學(xué)模型是參照某種事物的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，其中包括幾何模型. 用數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法就是數(shù)學(xué)模型方法. 數(shù)學(xué)模型方法能簡化解決問題的過程，能提高解決問題的效率. 在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)模型，準(zhǔn)確理解“模型”，熟練應(yīng)用“模型”，這樣既有利于深刻認(rèn)識(shí)相關(guān)內(nèi)容的核心，又能少走彎路，切實(shí)“減負(fù)”. 但一味地依賴模型會(huì)形成思維定式，而且現(xiàn)實(shí)世界不是所有的問題都有模型可用，所以，教師還得引導(dǎo)學(xué)生變化思維，探究問題的本質(zhì).

“數(shù)學(xué)本質(zhì)”是指數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容本身所固有的根本屬性，是數(shù)學(xué)內(nèi)容區(qū)別于其他學(xué)科內(nèi)容的基本特質(zhì)，數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)決定了該內(nèi)容在解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題時(shí)運(yùn)用的方法、規(guī)律及作用. 所以，在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，就是在引導(dǎo)學(xué)生掌握與該教學(xué)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的根本方法，理解其中的基本規(guī)律及作用［3］，這就是關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng).

筆者認(rèn)為，通過抓數(shù)學(xué)本質(zhì)提升核心素養(yǎng)的基本途徑有：以概念教學(xué)為載體，抓概念的內(nèi)涵就是抓本質(zhì)；以變式教學(xué)為載體，從變化中抓不變，不變的就是本質(zhì)；以動(dòng)態(tài)問題為載體，從動(dòng)中抓靜，靜止或不變的就是本質(zhì)；以抽象、歸納為手段，從不同中抽象出相同的內(nèi)容，其中相同的內(nèi)容就是本質(zhì). 只有抓住本質(zhì)才能應(yīng)萬變，才能解決未知世界的問題，才能實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.

參考文獻(xiàn)：

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［3］石志群. 數(shù)學(xué)教學(xué)如何突出數(shù)學(xué)本質(zhì)［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（06）：23-26.