創設數學學習的“廣闊背景”

顧春芹

［摘 要］核心素養導向的教學改革，需要將學生置于廣闊的學習背景之中。數學來源于生活，從學生熟悉的生活背景出發，在學生創造的圖畫作品中，引領學生走進數學的世界，經歷觀察、發現、尋找模型的過程，并在運用模型的過程中進行跨學科融合，增強學生學習數學的興趣，拓寬學生思維的廣度與深度。

［關鍵詞］一一間隔排列；模型建構；跨學科融合；核心素養

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）08-0021-04

中國教育學會學術委員柳夕浪先生在《課程改革的核心素養導向意味著什么》一文中提出，世界更像一個語境、一個舞臺、一個背景，核心素養與特定的語境、舞臺、背景相關聯，是個人與具體語境、舞臺、背景互動的結晶。也就是說，柳夕浪先生將核心素養界定為“個體在特定的情境下能成功地滿足情境的復雜要求與挑戰，并能順利地執行生活任務的內在先決條件”。從這個角度來思考數學教學，也就是要努力豐富數學學習的背景，背景越廣闊，學習就越開放，越有挑戰性，越能培養學生的能力和素養。

三年級的“一一間隔排列”屬于探索規律的教學內容。生活中的間隔排列現象非常多，但生活是紛繁復雜的，從生活的世界走到數學的世界就需要進行概括和提煉，進而建構模型。數學模型具有很強的包容性和擴展性，不僅能在學科內部擴展，還能向其他學科擴展，向更高層次進行建構。

基于此，勾連生活與數學，提升學生主動探究的積極性；引導學生觀察與思考，探究研究對象所表達的事物之間的關系，引導學生建構數學模型；跨學科融合，幫助學生感悟數學模型的力量，均是本節課教學的重點。

一、展示作品，交流排列現象

（課前安排學生畫一畫“生活中有趣的排列”）

師：數學來源于生活。課前布置的“畫一畫生活中有趣的排列”，都畫好了嗎？你畫的是什么，是怎么排列的？

生1：我的衣服、帽子上有些圖案排列挺有趣的，幾個花紋不斷重復。

生2：有些烤串是一塊排骨、一塊年糕、一塊排骨、一塊年糕……這樣串起來的。

生3：我和媽媽逛超市，發現貨架上的物品都是一類一類擺放在一起的。

生4：我們的手指排得也很有趣，中指最長，大拇指最短。

生5：我們小區的路燈和樹排得很整齊，兩盞路燈中間都種著樹。

師：看來你們都有一雙善于發現的眼睛，能從生活中找到這么多有趣的排列現象。正是這些排列現象讓我們的世界變得有序、整齊、多彩而又美麗。

【思考】生活是數學的源泉，也是數學學習的舞臺。對于尋找生活中有趣的排列現象并畫出來的活動，有的學生找到了大自然中的排列現象，有的學生在藝術作品中找到了排列現象……學生畫的過程既是一次思考凝練，也是一種創新融合，他們對生活中紛繁復雜的現象進行選擇、描摹，并用語言表達出來。這些學生自己尋找和創作的素材成了本節課的研究素材，為本節課的深度探索營造了良好的氛圍。

二、歸類比較，建立間隔模型

師（出示圖1）：我們仔細觀察這些作品，它們有沒有共同點？

生1：作品①是燈、樹、燈、樹……作品②是肉、年糕、肉、年糕……

師：這些作品中的圖案的排列都是有規律的，對于作品①，如果繼續往下畫，會是什么？

生2：燈。我發現它們都是一個間隔著一個排的。

師：像這樣，兩種物體一個隔一個排列，叫作一一間隔排列。再看看你們找到的排列中，有這樣一一間隔排列的嗎？

（學生在交流的過程中默認了一一間隔排列就是一個間隔著一個，但有少數作品引發了爭議）

師（出示圖2）：這兩個作品中的圖案是不是一一間隔排列呢？

生3：我覺得作品②中的圖案不是一一間隔排列，這里只有手指，看不到一個間隔著一個。

生4（畫手的學生）：我是這樣想的，手指、空隙、手指、空隙……

師：太厲害了，空隙也可以當作一種事物，所以，作品②中的圖案可以看作一一間隔排列。那作品①呢？

生5：我覺得作品①不是，一一間隔排列應該是一個間隔著一個。

師：有不一樣的想法嗎？

生6：如果把兩棵樹看作一個整體（將兩棵樹圈起來），這樣也是一個間隔著一個，我覺得也算是一一間隔排列。

師：是啊，這樣一組間隔著一組，也是間隔排列，只不過這種間隔排列稍微復雜一點。今天咱們先從一個物體間隔著一個物體的簡單情況開始研究。

【思考】引導學生觀察、比較、分析自己的作品，學生能從多樣化的素材中提取共同因素，初步感知一一間隔排列的特征，并豐富和拓展一一間隔排列中“一”的意義：可以是一個間隔著一個，也可以是一組間隔著一組。基于意義的理解，學生初步構建了“一一間隔排列”的結構模型。

三、深入研究，尋找數量關系

師（出示圖3）：數學是研究數量關系和空間形式的學科，那一一間隔排列的物體中藏著怎樣的數量關系呢？請仔細觀察這幾個作品，看一看、數一數，你有什么發現？

生1：作品②和作品④中的兩種物體數量一樣，男孩有2個，女孩也有2個；紅花有3朵，黃花也是3朵。

師：數學真奇妙，關系最重要！你不僅看出了它們各自的數量，還發現了它們是相等關系，給你點個贊！

生2：在作品①中，路燈有5盞，大樹有4棵。在作品③中，椰子樹有3棵，長凳有2張。它們的數量都相差1。

師：真厲害！你能關注到它們的關系。都是一一間隔排列，什么情況下兩種物體數量相等，什么情況下兩種物體數量相差1呢？

生3：如果一個搭配一個，正好搭配完，兩種物體數量就相等。

生4：我們發現排列的兩端的物體相同時，兩種物體的數量相差1；排列的兩端的物體不同時，兩種物體的數量就一樣多。

師：真了不起！學習數學不僅要會觀察，還要會思考和會表達。你們還有其他不同的研究方式嗎？

生5（出示圖4）：我想用○和△來代替物體。一一間隔排列，可以把一個○和一個△看作一組，當這一組是完整的時候，它們的數量就相等；當這一組不完整的時候，數量就相差1，而且哪個排在前面哪個就多1。

師：這個解釋蠻有意思的。最后一組是完整的，其實也就是剛才說的一個搭配一個，正好搭配完。當最后一組不完整的時候，其實也就是剛才說的排列的兩端的物體相同。

師：生5用圖形代替了物體，還用一一對應的方法找到了今天我們所研究的一一間隔排列中的小秘密，同時也是對剛才兩位同學得出結論的一個驗證。真是高手中的高手！

【思考】從單一研究每個作品中兩個事物的數量，到研究每個作品中事物間的數量關系，再主動從單個圖形的觀察到組圖的比較，學生形成合理推測，并用自己的方式驗證推理，發現一一間隔排列的規律。在不斷經歷“再發現”的過程中，學生的思維在漫溯。

四、跨學科融合，感受數學力量

師：一一間隔排列是一種特殊又常見的排列形式，不僅能運用在數學中，也能運用在其他學科里呢。（出示圖5-1和圖5-2，讓學生分別描述其中的一一間隔排列現象）

【思考】本環節著重讓學生尋找藝術作品中的一一間隔排列。跨學科的融合，不僅豐富了學生對一一間隔的體驗，更加深了學生對一一間隔數學本質的理解，學生從中能感受到數學的強大力量。

五、總結交流，升華學習體驗

師：今天我們欣賞了很多有趣的排列現象，并著重研究了一一間隔排列，你有什么收獲？

生1：我知道了一一間隔排列可以是一個間隔著一個排列，也可以是一組間隔著一組排列。

生2：我知道了一一間隔排列的兩種物體間的數量關系，可能會同樣多，也可能相差1。

生3：我知道了數學從生活中來，生活中處處有數學。

生4：我們研究數學問題的時候可以從簡單到復雜。

師：是啊，生活中處處有數學，只要我們善于觀察、善于思考，就能學會用數學的眼光看世界，就能發現更多的數學秘密。

【總析】

蘇聯教育家蘇霍姆林斯基認為，學習要在一種多方面的豐富的精神生活的廣闊背景下進行，使知識在多種多樣的智力活動中不斷充實。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“總目標”中也進一步明確，要使學生“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題”。本課教學在以下三個方面著力體現了上述理念。

第一，將數學學習置于豐富多樣的“生活背景”。

學習數學，首先要明白數學是怎么回事。有學者指出，數學來源于生活，來源于現實世界，把現實世界的問題轉變成能夠運用已有的數學規則解決的數學內部的問題，然后再通過求解數學問題來解決現實世界的問題。本節課的教學，無論是課前的繪畫活動，還是課中的規律探究，都充分依托學生熟悉的生活素材，不僅引導學生學會用數學的眼光觀察世界，更注重引導學生學會如何在提取核心要點、剔出非本質要素的過程中逐步從生活的世界走進數學的世界。廣闊的生活背景，讓數學變得可感、親近而又充滿張力。

第二，將數學學習置于精巧靈動的“智力背景”。

后現代課程論專家多爾認為，學習是意義創造過程之中的探險。數學的探險更多的是智力挑戰。本節課課前的“尋找”不是一次單純的找，也不是直接把現實的生活帶進課堂，而是讓學生觀察生活（涉及人際交往、觀察地點、觀察物體的選擇等）、進行篩選（涉及判斷、取舍）、繪畫（涉及如何將生活進行抽象表達）。在這個過程中學生需要不斷思考、創造、表達。課中從“一個間隔一個”的現象深入到現象背后的數量關系，再到關系背后的道理解析，環環相扣，拾級而上。這樣的教學，不僅使學生意識到數學知識之間是有聯系的，還讓學生真切感受到同類知識間的前后一致性。在觀察、類比、推理的過程中，學生的思維體驗豐富了，思維品質也提升了。

第三，將數學學習置于互聯融通的“學科背景”。

研究表明，情境興趣（對學習環境的特定特征進行回應時而自發產生的心理狀態）可以很好地預測學生的參與度、積極態度與興趣。而跨學科融合這一手段，能充分調動學生的學習興趣，增進學生對知識的理解，并提升學生的綜合能力。課前，學生通過圖畫展示與排列有關的生活素材，這是學生對生活的觀察與提煉的過程，更是學生用符號、圖畫等表達生活和表達數學的過程；課中，學生通過欣賞美術作品和歌曲，感受其他學科中隱藏的一一間隔排列現象，充分理解一一間隔排列模型。

跨學科的融合帶來了驚喜，“原來數學真的無處不在”是一種美妙的體驗，學生的學習興趣大大提升；跨學科融合帶來了思考，學生在不同之中尋找相同點，加深對模型本質的探索與理解，學生的思維能夠走向更深處；跨學科融合帶來了創造，學生在這個過程中不僅豐富了對一一間隔排列的體驗，還萌生了很多創作的欲望，不少學生表示要用今天所學的知識去創造更美好的圖案，尋找更多的數學秘密。這顯然是我們教育工作者最想看到的課堂！

【本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“基于整體建構的小學數學建模教學研究”（課題批準號：C-b/2021/02/79）的階段性研究成果。】

（責編 金 鈴）