新人教版高中數學教材蘊含的數學美

黃心怡

[摘 ?要] 作為數學文化重要組成部分的數學美，具有重要的教育價值，有助于培養學生的數學核心素養. 新人教版高中數學教材蘊含大量的數學美，文章從文字、圖片和符號三個方面挖掘教材中的數學美.

[關鍵詞] 數學美;數學教材;核心素養

背景

新課改的推進和新課標的頒布與修訂，促使數學教材不斷優化.2019年人民教育出版社正式發行了新版的高中數學教材. 新人教版高中數學教材更符合培養學生數學核心素養的要求，具有更全面的育人價值.在保留了原有的數學知識框架的同時，新人教版高中數學教材提供了更豐富的數學文化內容，為數學文化滲透、融入教學提供了更多素材.新人教版高中數學教材不僅包含數學的發展歷史，數學家的名言、故事，還蘊含著大量的數學美等待教師帶領學生深入挖掘，一同體會.

在上世紀，有學者發現了數學美在教學中的作用，數學美有助于改變學生對數學的看法、提升學生的數學思維、培養學生的非智力因素，具有重要的教育價值. 盡管隨著時代的發展，教育的進步，數學美不再是數學教育界的熱門詞匯，但作為數學文化的重要組成部分，數學美不能被輕易忽視. 數學美按照不同標準分類不同：按照美的呈現方式，數學美可以分成直觀的外在美和需要品味的內在美;按照美的特征，數學美可以分成對稱美、奇異美、簡潔美等[1]. 數學的對稱美是中國古人眼里的“夫美也者，上下、內外、大小、遠近皆無害焉”;數學的奇異美是培根口中的“獨特而令人驚異”;數學的簡潔美是愛因斯坦的那句“美，本質上終究是簡單”[2]. 數學美無處不在，無時不有，新人教版高中數學教材中的數學美正是如此. 本文從文字、圖片和符號三個方面挖掘新人教版高中數學教材蘊含的數學美（以章引言、插圖和數學公式為例），并給出相應的教學建議.

閱讀教材中的章引言，理解文字蘊含的數學美

章引言是寫在整章內容最前面的介紹性文字，通常由幾百字構成. 章引言內容一般包括實際生活中的數學問題、數學家的故事、數學在某一階段的發展歷程，還會簡要介紹一章中主要學習的內容和所學知識的地位.

新人教A版高中數學教材必修一第三章“函數的概念與性質”的章引言提到了天宮二號、蓄水池和中國高鐵. 眾所周知，天宮二號的發射、蓄水池的水量、高鐵的營業里程都是隨時間的變化而變化的，這些變化只需要用一個簡單的函數模型就能輕松刻畫. 在初中階段，學生學習了一次函數、反比例函數和二次函數，利用這三種函數可以解決一些生活實際中的問題，比如優選問題. 在高中階段，學生將進一步學習函數，如指數函數、冪函數、對數函數和三角函數等，這進一步擴大了學生能解決的實際問題范圍. 函數模型的使用可以把復雜的實際問題簡單化，這就是函數模型所具有的簡潔美.

新人教B版高中數學教材選擇性必修第二冊第三章“排列、組合與二項式定理”的章引言提到了小學一年級學習過的計數方法——不斷加1. 顯然這種計數方法只適用于數量少且簡單的計數問題，當遇到數量大且復雜的計數問題時就顯得異常困難，因為小學數數時使用的蘋果終究是有限的，塑料棒也是不夠的，人也只有10根手指. 而通過“排列”“組合”的方式就可以快速解決數量大且復雜的計數問題. 簡潔的反義詞是煩瑣，如果說小學一年級學習的“一個一個地數”是煩瑣的，那么高中要掌握的“排列、組合”就是簡潔的. 一種數學原理的學習，能使復雜問題變得容易解決，這就是數學中形式簡潔、內容深刻的簡潔美. 簡潔，始終是數學的一個重要標簽，數學的廣泛應用，使得人們的生活和學習越來越便捷.

新人教版高中數學教材中的章引言短小精悍，所提供的背景素材新穎，更貼合實際，是章節起始課的重要組成部分，有助于學生學習新章節內容. 在開啟新章節內容的教學設計中，首先教師要認真閱讀章引言，思考章引言與章節知識的聯系;其次教師要把章引言中的一些文字語言轉化成符號語言，為學生體會數學美做好鋪墊;最后教師要設計閱讀章引言的教學活動. 在章節起始課的教學中，可以給學生預留時間自行閱讀章引言，也可以把章引言內容展現在多媒體屏幕上，帶領學生一起閱讀，引導學生提煉章引言的主要內容，讓學生體會文字描述的數學美是怎樣的，進而感受章引言中的數學美.

欣賞教材中的圖片，體會幾何展現的數學美

新人教版高中數學教材一改舊教材中圖片顏色單一的風格，精選了許多具有吸引力的彩色圖片，例如一些圖片所展現的內容與立體幾何關系密切. 立體幾何同平面幾何一樣，往往具有對稱性，偶有不規則性. 立體幾何的對稱性體現了數學的對稱美，對稱美是數學中最普遍、最直觀的一種美. 因為對稱所以和諧. 對稱在代數里表現為數的正負、奇偶等數學概念、定理和運算規律，在幾何中則表現得更為直觀.

新人教B版高中數學教材必修第三冊封面上巨大的摩天輪，如果從二維視角來看，摩天輪是一個圓，而圓是生活中常見的一種圖形;如果從三維立體的角度來看，摩天輪座艙旋轉所形成的軌跡是一個圓柱，圓柱是高中立體幾何中重要的研究對象. 無論是圓還是圓柱，都具有對稱性. 摩天輪座艙離地面的距離隨時間的變化而變化，距離和時間之間的關系是用正弦函數來刻畫的，而正弦函數的圖象是中心對稱圖形，展現著數學的對稱美.

新人教B版高中數學教材必修第四冊第十一章中的插圖和選擇性必修第一冊“空間向量與立體幾何”中的章頭圖展示的“水立方”是著名的長方體建筑. 隨著2022年冬奧會的到來，“水立方”搖身一變成了“冰立方”，這個結構對稱的建筑再一次驚耀了全世界. 立體幾何所具有的“對稱美”同時也是一種“和諧美”. “天圓地方”是中國古人的一種哲學思想，是千百年來中華民族眼中的“和諧之美”. 《太玄·玄摛》中有這樣一段內容：“圓則杌棿，方為吝嗇”，說的是天圓則產生運動變化，地方則收斂靜止. 這背后體現了重要的哲學思想：人類要追求發展，才能不斷進步;人民希望有安逸穩定的生活. 建筑是人為創造的，在創造過程中體現著人們的追求和希望. “水立方”正是秉持了這一設計理念，融合了中國的傳統文化和現代科技，展現了中國人對美的理解. 欣賞“水立方”，感受中華民族對幾何體對稱美的創造.

幾何是數學中重要的內容之一，也是數學中重要的思想方法之一，但并不是教材中所有的圖片都與幾何密切相關. 為了培養學生幾何直觀的能力，在實際的數學教學中，首先教師要觀察教材中的圖片，并篩選其中容易引起學生對數學美進行思考的圖片讓學生欣賞. 比如想讓學生感受幾何體所具有的對稱美，那么所選圖片中的幾何體對稱性要明顯容易觀察. 其次教師要在課堂中適時地展示教材中的圖片，不要為了讓學生欣賞而欣賞. 最后體會圖片中的數學美不是要求學生從美術學的專業角度去欣賞，而是要“透過現象看本質”.

觀察教材中的公式，品味邏輯中的數學美

新人教版高中數學教材同原版教材的內容大致相同，略有刪減，所學數學知識仍涉及大量的數學公式.數學公式描述了物與物之間的聯系，簡潔明了的公式具有簡潔美，對稱有規律的公式具有對稱美、和諧美，而一些看起來比較復雜的公式也同樣具有數學美.

新人教B版高中數學教材必修第二冊第五章“統計與概率”中，為了研究兩個變量之間的關系，引入了回歸直線方程=x+，其中x的系數稱為回歸系數，即回歸直線方程的斜率，當確定時，x和y之間的關系能夠通過方程來預測. 那么，是如何求得的呢？教材給出了求解公式：==. 這個公式看起來比較復雜，似乎沒有什么規律可言.但通過觀察可以發現，該公式涉及多種運算——乘積、乘方、減法以及求和. 而為何能用這樣的計算公式求得呢？這背后涉及微積分知識和最小二乘估計方法. 像回歸系數這樣看似復雜的公式，其實涉及很深的數學知識，這種給人以新奇、出乎常識的感受也可以稱為一種美——一種具有奇異性的美[3].

新人教A版高中數學教材選擇性必修第二冊第四章“數列”中的“閱讀與思考”和B版選擇性必修第三冊第五章“數列”中的例題2，都介紹了著名的斐波那契數列，這個800多年前的數列在今天看來仍充滿著神奇的韻味.A版和B版兩版新教材分別通過表格和文字的形式描述了斐波那契數列的推導過程，最后得到了這樣的通項公式：F=·

，當n趨向于無窮大時，前一項與后一項的比值將無限逼近0.618，也就是“黃金分割比”. 因為斐波那契是用小兔子舉例的，所以數列的每一項都是整數，準確地說是自然數，然而數列的通項公式中卻出現了無理數，這樣充滿震撼的結果展示了數學的奇異美，令人驚奇贊嘆！而前后項的比值更是以黃金分割比的結果出現，可以看見數學是多么的不可思議又是多么的千真萬確.

數學公式由不同的數學符號構成，據不完全統計，高中階段涉及的數學符號有一百二十余個，無論數學公式涉及多少數學符號，數學公式的背后都是縝密的數學邏輯，都具有數學的邏輯美. 只有欣賞和理解數學公式的邏輯美，才能更好地記憶和運用數學公式. 然而數學公式的邏輯美并不容易被發現和感受，因此在實際教學中，教師要創造機會讓學生體會數學公式的邏輯美. 當教學內容涉及數學公式時，教師要盡可能多地帶領學生進行推導，讓學生理解數學公式的來龍去脈，厘清數學公式間具有的邏輯關系，引導并鼓勵學生用美的眼光去觀察和賞析數學公式，比如觀察和賞析數學公式的結構、數學公式的符號等，在過程中感受數學公式的邏輯美、簡潔美以及奇異美等.

結束語

數學美存在于生活的方方面面[4]，其所具有的育人價值有利于學生數學核心素養的培養，想在教學活動中讓學生感受數學美，最重要的參考材料就是數學教材. 新人教版高中數學教材所蘊含的數學美不局限于簡潔美、對稱美和奇異美，還有趣味美、創新美、統一美等，數學美也不僅存在于章引言、圖片和公式中，教材中的拓展材料、課后習題等其他部分同樣存在著數學美的影子. 在實際教學中，教師要有目的地挖掘新教材中的數學美，有意地為學生創造體會數學美的機會，讓學生感受數學美.只有具備賞析數學美的能力，才能進一步去創造數學美;只有喚起“愛美”之心，才能不斷追求事物美.

參考文獻：

[1] 李鳳芝.數學美的分類及其特征研究[J]. 數學學習與研究，2014（01）：134.

[2] 陳梅紅. 挖掘教材潛力，引導學生領悟數學美[J]. 考試周刊，2011（69）：15-17.

[3] 代欽. 試論數學美及其教育價值[J]. 內蒙古師范大學學報（自然科學漢文版），1992（01）：20-26.

[4] 陳寬政. 淺析數學美在初中數學教學中的應用[J]. 數學教學通訊，2022（20）：56-57.