基于數學多元表征理論“解決問題的策略”單元教學研究

江蘇省淮安市和平鎮中心小學 朱艷艷

江蘇省淮陰師范學院教育科學學院 曹雨琳

數學多元表征學習是一種可外顯的、具有一定可視化的思維過程，可以促進學生思維的進階。在“解決問題的策略”單元教學中，多數教師存在解題思路的單一等問題，解題過程停留在對題目淺層的解釋上，并未深入發掘其與數學基本思想或方法的本原性聯系，導致學生的解題滯留在對方法和步驟簡單模仿的階段。相比單一表征，多元表征具有建構深度理解的認知功能。為解決此類問題，教師可以采用數學多元表征進行教學，讓知識內核可視、思維深入，從而促進學生的數學理解和問題解決。

一、數學多元表征的內涵及運用價值

（一）數學多元表征的內涵

迪因斯提出多元具體化原則，表示多元表征的含義主要是一種學習原則，呈現出物理情境或具體實物模型的各種變式，獲取抽象的數學結構。數學多元表征是將同一個數學學習對象用本質不同的多種形式表征，通過表征內部的自身轉換和表征之間的相互轉譯以及聯系或變式，對數學學習產生影響。

（二）數學多元表征的運用價值

數學多元表征指導學習過程主要通過內化多元外在表征信息、系統內部轉譯、構建圖式這三個部分。“外在表征—內在表征—認知結構—數學對象”構成了學生數學多元表征學習的認知循環系統。小學生正處于從形象思維向具象思維轉換的認知過程，單一的表征不同，數學多元表征意味著對數學研究對象理解上的多樣性與具體性。數學多元表征的運用可以提升理解的層次，激發創造性解題思路的產生，從而使學生獲得推理能力與解題能力的雙向進步。

二、“解決問題的策略”學習與多元表征之間的關系

從數學教學的角度，數學表征分為形式化、圖像化、動作化和語言化四類表征，或者分為符號、言語、圖像和體驗四類表征。由于“解決問題的策略”單元具有高度的抽象性與綜合性，策略的學習需要建立在對數學基本思想與基本方法的深度理解與掌握的基礎上。

對于學生而言，理解題目意思并且選用適當的策略是解決數學實際問題的兩大核心步驟，而理解題意，需要將大段繁雜的文字表述簡化、提煉抽象出所需的數量關系。在此基礎上，學生再根據已有的經驗去選擇合適的策略解決問題。總體而言，小學階段“解決問題的策略”單元能很好地培養學生的概括、理解與邏輯推理能力，從而讓學生用數學的眼光看待生活中的問題，將理論素養與實踐素養聯系緊密。但這也對學生的思維層次提出了更高標準的要求，需要他們具備較高水平的數學多元表征思想，否則就會在理解題目上產生困難。

三、利用多元表征融入數學思想，促進數學理解

美國著名教育心理學家萊許用外在多元表征結構系統（見圖1），如口頭語言、圖像、文字符號、實物操作和現實情景這些表征來說明數學概念的發展過程。筆者運用這些表征質性，結合“解決問題的策略”教學需求，提煉出以下四種多元表征基本類型：語詞表征、關系表征、圖式表征和符號表征。結合這四種表征，筆者進行“解決問題的策略”的整體教學，融入數學思想方法的滲透，促進學生數學素養的提升。

圖1

（一）借助語詞表征，找準解題關鍵

語詞表征強調對于題目中關鍵性詞匯的重復表述，這一過程往往要求學生具備發現數學問題中個別關鍵詞的敏銳洞察力與簡化提煉能力。

借助語詞表征，學生可獲得條理化思維，其解題過程也從最初題目呈現的繁雜無序向條理化后的簡潔有序方向轉變。學生在進行語詞表述時，本質上是用自己的原有經驗對題目中關鍵詞的簡單再加工過程。這個過程是否順利很大程度上依賴于學生原有解決問題相關經驗的豐富程度，原有經驗越豐富，抓關鍵詞就越容易，從而在語詞表征方面就越簡練。值得一提的是，僅靠關鍵詞匯重復表述而進行的簡單再加工過程仍處于認知層面的較淺層，這意味著語詞表征很難構建題目中反映的數量關系。而數量關系的構建恰恰是“解決問題的策略”單元的核心要點，因而語詞表征在多元表征中與其他表征相比處于劣勢地位。在運用語詞表征時，教師要注意發揮數學抽象思想，實現對學生從繁到簡的數學求簡意識的培養，從而找準解題關鍵，提升學生解決問題的能力。

（二）借助關系表征，厘清數量關系

關系表征強調根據題目意思建立相對應的數量關系的多種表述形式，同時需要在這多種形式中選擇最容易理解的表述數量關系的形式作為解題依據。某些題目中，可能存在已給出了兩者的數量關系這樣的情況，但往往這種表述形式對于學生而言是陌生且不容易學會的。因而，教師可采用替換、轉化等數學思想對關系表征形式進行表述形式上的再變動。

如蘇教版數學六年級下冊第三單元“解決問題的策略”的例題：星河小學美術組一共有35人，其中男生人數是女生的2—3，美術組的男生和女生各有多少人？在理解男生人數與女生人數的倍數關系時，學生可以借助關系表征使用轉化的數學思想。學生對此處的分數表示男、女生這兩者之間的倍數關系存在極大的理解障礙，原因是在他們以往的經驗中，兩者之間的倍數關系若不是整倍數，大多時候的表述形式會以“A與B的比是多少比多少”的形式呈現。因而，他們在開始選擇恰當的策略解答這道問題之前，會將這一句話的表述形式轉化成自己熟悉的倍數表述方法，即將“男生人數是女生的2—3”轉化成“男生人數與女生人數的比是2：3”，從而感知轉化思想，體悟轉化后的簡明性。在此基礎上，學生再選擇畫線段圖這樣的直觀表征綜合理解數量關系，從而解決問題。

（三）借助圖式表征，直觀表示數量關系

圖式表征強調通過畫簡圖等手段，借助空間表象建立數學問題的視覺與空間模型，將物體間存在的數量關系形成相關圖式。圖式的直觀性與鮮明性可指導學生運用不同的數學思想解題，如變與不變的思想，結合圖式觀察前后變化過程的規律，找準對應關系，從而使用恰當的方法解題。

由于圖式表征能清晰地表現出題目中的已知條件與所求數學對象之間的數量關系，而且能指導學生選擇最簡單易懂的策略解決實際問題，圖式表征在多元表征中與其他表征相比，處于優勢地位。如蘇教版數學四年級下冊第五單元“解決問題的策略”例題：梅山小學有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？在探究原來花圃的面積時，教學的重點即是畫圖的策略。教師教學時開放教學過程，讓學生借助圖式表征使用畫圖和倒推的數學思想，先讓學生結合題意畫出變化后的花圃擴建過程圖示（見圖2），從而解決問題。教學此例題后，教師還可以進一步增加題目的開放度，拓展為長、寬分別增加（減少）和長、寬同時增加等不同的情況。學生只有在復雜多變的情況下，才能進一步感受到圖式表征對理解題目數量關系進行解決問題的價值。

圖2

（四）借助符號表征，抽象出數學對象的本質屬性

符號表征強調通過使用數學符號表示出數學對象，在理解的基礎上抽象出數學對象的本質屬性。越是深層次的理解，越能抽象出簡潔的符號來表示數量關系。在掌握不同水平層次的符號表征時，學生對于同一類型的題目的理解也是完全不同的。這一轉變是經歷了不斷調動舊經驗，從而生成新經驗后獲得的在符號表征上的提升。

由于符號表征能較為簡單明了地表示出題目所反映出的數量關系，符號表征與圖式表征一樣處于多元表征的優勢地位。使用符號表征、培養符號意識可以讓學生在具體問題情境中利用符號描述單個或多個復雜的數學對象，從而提高解決問題的效率。如蘇教版數學六年級上冊第四單元“解決問題的策略”例題：在1個大盒和5個同樣的小盒里裝滿球，正好是80個。每個大盒比每個小盒多裝8個，大盒里裝了多少個球？每個小盒呢？在分析大盒與小盒各裝多少個球時，學生運用的解法一般是延續前一課時的假設替換的思想，其算術思維比較重，而對具有函數思想的代數思維比較輕，很少有人用方程的解法來解決問題。而這類題的變化類型往往讓部分學生分析不清，因此，教師在教學中可以借助加大運用符號表征，使用假設的數學思想來解決問題，讓學生分析題目的等量關系，列方程解決問題，并將列方程和算術方法進行對比，從而感受到利用設未知數，用符號來代替原來未知量的方法的思考簡潔性。

多元表征間的關系不是非此即彼的，教師應重視提升學生多種表征靈活轉換的能力，注重多元表征形式間的轉換，強化與數學思想的聯系，同時強化多元表征與策略背后反映的數學思想與方法二者間的聯系，有助于促成更強的連通性。學生從中能收獲對題目中隱藏的數量關系更為深刻的理解，運用多元表征教學，從“外”而“內”，走向深度理解，解構認知原理。