數學思考的實施與實現
——以“用數對確定位置”教學為例

浙江省金華師范學校附屬小學 余慶玲

數學是思維的體操，數學思考是判斷學生是否深度學習的一個重要指標。

能引起學生感興趣的不是知識與技能，而是隱含在背后的思考。

思考來源于感想，有所感才會有所想，而感來源于體驗。

這些道理都是深受廣大一線教師認可的，但如何做到是個關鍵問題。本文以“用數對確定位置”一課為例，談談數學思考缺失的原因及課堂教學中關于“數學思考”的實施與把握。

一、分析：“用數對確定位置”的數學思考消失的原因

“用數對確定位置”，北師大版、人教版、蘇教版等教材都是從教室的座位圖出發的，多年以來，教師也已形成一個基本的教學套路——“以教室座位圖為情境，描述某個學生的位置→學生發現描述方法的差異→感受到需要對‘列’和‘行’的認定統一規則→將座位圖抽象為點子圖、格子圖→認識數對→練習”。這樣的教學，表面上看很順暢，但當追問學生“通過這節課的學習，你有什么收獲或感想”時，學生通常只能說出“通過這節課的學習，我知道了什么是數對，如何用數對來確定位置”。如此看來，在這節課的學習中，學生屬于一種表層的記憶學習，而這兩個顯性目標一般用5分鐘左右即可掌握下來，同時知識、技能背后的數學思考是明顯缺失的。筆者不禁反思：這節課的數學思考是怎么消失的？

（一）教學目標的缺失

一節課，完整的教學目標除了從“四基”的角度來思考外，教師還可以從它的“顯性目標”和“隱性目標”兩個層面來思考。“顯性目標”指的是這節課的知識點和技能點，“隱性目標”指的則是這節課的體驗點。“顯性目標”通常指向應試，而“隱性目標”則指向成長。本課的教學目標整理后如下表。

顯性知識知識點 明確數對的意義當下的考試技能點 掌握用數對確定平面上物體的位置隱性知識 體驗點 角色轉換（觀測點：自我→對方） 學生的成長

本節課，學生最大的一個糾結點：學生看到的班級座位方向和教師看到的班級座位方向是相反的，而直角坐標方向相當于以教師為觀測點，即數學知識與學生的經驗產生了沖突。觀測點由“我→老師”的轉換，這個體驗點就是這節課的意義。

“我→老師”角色轉換的價值：我是這樣看的，但別人不是這樣看的，當這個觀念放在腦子里時，他就具有了同理心，實現了換位思考，所謂的理解、交流、溝通都在這里面了，這也就真正達成了學科“育人”的目標。

（二）課堂節奏的失誤

課堂節奏是有輕重緩急的，本課中的顯性知識適合以“演示+告知”的方式進行，它適合輕而快；而“角色轉換”這一隱性知識是無法通過觀察和講解來完成的，必須通過體驗才能實現，因此它適合重而緩。

如果學生沒有經歷過“角色轉換”的活動，教師直接告訴學生：“教室的座位方向是為了方便老師而規定的，因此要以老師為觀測點，此時‘組’的方向就是從左往右，‘號’的方向是從前往后。”這樣教學可以嗎？當然也可以。但這會給學生留下嚴重的后遺癥：“為什么1組1號的座位始終沒動，而我和老師看到的座位方向會不一樣？”學生的困惑點得不到疏通，而教師把一個對于孩子來說并不大認可的結論強塞給他們，長此以往，他們就干脆不思考了，同時也錯失了良好的“育人”機會。

（三）學習材料的偏差

體驗需要經歷活動，活動需要有材料。對于“角色轉換、換位思考”的體驗，教室座位圖并不是最理想的學習材料。因為在教室座位圖中，學生很容易自我代入，把自己作為其中的一員，然后以自己為觀測點來確定位置。那如何才能去“自我”，以對方的角度來觀察呢？

教學中，有些教師會請幾個學生站在講臺上，讓他們進行換位觀察，并把觀察到的結果告訴其他同學；有些教師會用相片的方式，讓學生觀察教師與座位圖之間的方向關系……但當學生回到自己的座位，離開了相片之后，他們便又掉回了原點。

我們發現，把人物換成動物，能較好地實現這一目標。因為沒有學生會把自己當成動物中的一員，讓他給一班動物排座位時，他就自然而然地把自己作為領導者（或教師）的角色，然后便能以教師的角度為觀測點來確定位置。

簡言之，沒有提供充足的時間、空間及合適的學習材料是導致數學思考消失的主要原因。

二、實踐：數學思考如何把握與實現

根據以上思考，重構“用數對確定位置”一課的教學流程如下。

環節一：激活經驗 感悟規律

師：誰能給大家介紹一下你在教室里的座位（多個學生）？

師：大家在介紹自己的座位時有什么共同點？

生1：都要用兩個數來表示。

生2：都是先“組”再“號”；“組”都是從教室門口依次往另一邊數，“號”的方向是從前往后。

師（小結）：看來在教室里確定一位同學的座位需要兩個數據。

環節二：改造經驗 深入思考

1.產生沖突

（教師呈現圖1左側的座位表）

師：你能在這張座位表里找到3組2號嗎？你是怎么想的？

生：通常會出現圖1右側四種不同的想法，用黑點代表“3組2號”，生2的認可度最高。

圖1

師：這四位小朋友的差別在哪里？

生1：他們對“1組1號”規定的位置不同（標準不同）。

生2：“組”和“號”數的方向不同。

師：對于同一個位置卻出現多種不同的結果，你有什么想法？

生：這樣的話，世界會很混亂。

師（小結）：看來確定幾組幾號，我們需要統一“1組1號”這個標準或對“組”和“號”統一方向。

2.經歷體驗

（教師提供操作板，如圖2）

圖2

師：現在每位小朋友手上都有一班小狗，請你給小狗排排座位，并給坐在3組2號的小狗畫上圈。

師：你找到的3組2號小狗在哪里？你是怎么確定的？

生：因為小狗是面朝我們的，所以按照平時習慣，“組”是按從左往右來確定的，“號”是按從前往后確定的。（邊比畫邊說明，如圖3，學生意見很統一）

圖3

師：結合小狗的座位圖，你覺得教室座位的方向是為了滿足誰的需要？

生：老師。

師（小結）：教室的座位圖是為了方便老師而規定的，通常把講臺的位置統一在正下方，再以老師為觀測點，根據觀察習慣，從左往右為“組”，從前往后為“號”。

3.角色轉換

師：現在回頭看圖1中對于“3組2號”的四個不同的結果，你認為哪幅圖的方向順序是符合以老師為觀測點，并且較為合理的？

生：（位于第三象限）生3同學的位置結果最合理，因為要以老師為觀測點，老師從左往右看為“組”，從前往后看為“號”。

師：那圖4中的這兩幅圖有什么不同？

圖4

生：右上角（第一象限）的座位圖是以同學們為觀測點，是同學們看到的方向和結果；左下角（第三象限）的座位圖是以老師為觀測點，是老師所看到的結果。

師：同學們，通過找“3組2號”的小狗和確定“3組2號”的座位，你們有什么感想？

師（小結）：學會站在他人角度思考問題。

環節三：完善經驗 建立模型

動畫展示下列學習材料，如圖5。

圖5

師：這樣的表示方法你能讀懂嗎？讀懂了什么？

生1：“組”表示的是橫軸，“號”表示的是縱軸，幾組幾號代表的是橫軸與縱軸所形成的具體位置。

生2：用一對數就能確定平面上的某個位置。

師：（3，2）是一個數對，由括號、兩個數字加逗號組成，讀作“數對三二”，數對的規則是“先橫再縱”，它可以確定一個具體的位置。

師：如果要表示老師的位置，用數對怎么表示？

生：如果老師站在第一組的前面，就是（1，0），如果老師站在門口就是（0，0）。

師（小結）：剛才我們以老師為確定位置的起點，這個起點也叫原點，用數對（0，0）表示。從原點出發，分別畫一條從左往右的橫軸和一條從下往上的縱軸，在間隔相同的距離處標上相應的數字，這就是數學中的平面直角坐標系。

三、討論：進行數學思考的要素

思考，需要借助問題才能進行。而發現問題、提出問題都需要具備一定的數學眼光才能完成，在分析問題、解決問題中又少不了數學思維和數學語言。因此，數學眼光、數學思維、數學語言是實現數學思考的三要素。

（一）會用數學的眼光觀察現實世界

數學是以真實世界里并不存在的抽象數量關系和空間形式為研究對象的。因此，生活在真實世界里的我們，需要通過創設一個真實的問題情境，再“剝離”或“去掉”真實對象中的“真實”，找到代表“真實”的本質屬性，進而得到數學的研究對象，并尋得對象之間的數量關系或空間形式，而數學眼光就是通過這樣的思維活動逐漸形成的。數學眼光是一種建立聯系的眼光，它搭建起現實與數學之間的橋梁。數學眼光的培養路徑可參見圖6：

圖6

如“用數對確定位置”一課的“環節一”中，“向大家介紹自己的教室座位”，既創設了一個真實的問題情境，又是對真實位置屬性的一種抽象，抽象出與解決問題相關的“組”和“號”兩個元素；“大家在介紹自己的座位時有什么共同點”便是利用直觀與比較、抽象與概括來實現對元素之間“規律”的感悟，建立數對的基本模型。

（二）會用數學的思維思考現實世界

推理是數學思維活動中最能反映數學獨特思維價值的部分，因此，數學思維能力的核心是推理能力。數學推理分為演繹推理和合情推理，課堂教學中的講解法（先講解相關知識、技巧，再練習）就是一種對演繹推理能力的培養。合情推理能力培養通常可以從這三條路徑進行：一是通過對前后知識的對比與分析，從而進行判斷與推理；二是基于學生的生活經驗，利用學生的“活明白”，通過推理、辨析“想明白”，進而“學明白”；三是創設問題情境，在問題解決的過程中，綜合運用所學知識和方法，通過猜想、實驗、驗證、推理等活動發展學生的思維能力。數學思維的培養路徑可參見圖7：

圖7

在“用數對確定位置”一課的“環節二”中，走的是經驗改造的路徑：先是基于學生已有座位經驗產生了認知沖突（對于“3組2號”這個座位產生了四種不同的位置結果，這是學生的“活明白”）；再通過給小狗排座位，跳出自我的角色代入，體驗到“轉換觀測點，觀測到的結果就會發生變化”，利用改造后的經驗來進行由自我到教師角色轉換的推理，這是“想明白”的過程。而“環節三”中從經驗向模型的建構則是學生的“學明白”。

（三）會用數學的語言表達現實世界

語言是思維的載體，是思維的工具，是思維的橋梁。離開了數學語言，數學思考就如同無水之池，而數學建模可以說是數學語言表達的最高層次。在數學思考過程中，學生必須借助數學語言才能使思維外顯和延續，彰顯智慧。加強數學語言能力的培養，可以讓思維更嚴密、更開放、更準確。數學語言的培養路徑可參見圖8：

圖8

文字、符號、圖形三位一體，在直觀語言和抽象語言的相互轉化中，學生的數學語言經歷嚴謹規范→精練準確→簡潔可變的提升過程。在“用數對確定位置”中，“3組2號”是一種數學語言，（3，2）是一種數學語言；實物圖、示意圖、坐標圖等是直角坐標系的不同數學語言，數學語言不斷升級的背后，是學生思維水平的提升。

作為數學課程總目標的“三會”，它是一個整體，三者互為支撐。一方面，數學眼光的觀察和數學語言的表達都離不開數學思維；另一方面，數學思維也肯定要在“眼光”和“語言”拓展出的空間中開展。“眼光” “思維”和“語言”清楚地告訴我們數學課程要學什么，“觀察” “思考”和“表達”清楚地告訴我們應該怎么學。