關注整體·科學設計·提升思維

劉莉

摘 ?要：“兩角差的余弦公式”一課是公式教學課. 基于單元整體，發揮單位圓的紐帶作用，以問題和活動為引導，教學設計自然合理，關注學生的基礎和認知規律，促進學生學會學習. 多種方式的融合，為學生提供了豐富的思辨視角，有效輔助課堂教學，發展學生的數學核心素養. 同時，給出了幾點建議.

關鍵詞：兩角差的余弦；公式教學；單元整體

人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）必修第一冊的“5.5.1 兩角差的余弦公式”是高中數學必修課程“函數”主題中“三角函數”單元的核心內容之一.

公式教學課是數學課堂教學的基本課型. 從教學過程來看，公式教學就是引導學生在已有認知水平的基礎上經歷公式的發生發展過程，以及經歷從公式背景中發現和提出猜想，經過嚴格的推理論證獲得公式的過程. 從教學的結果來看，公式教學就是引導學生掌握公式所包含的條件和結論、證明方法，以及與其他公式之間的聯系，并能運用公式解決相關的數學問題. 因此，公式教學課是學生獲得“四基”、提高“四能”的重要途徑.

一、本節課呈現的特點

上好這節課不容易，因為在教學處理上面臨三個難點：一是怎樣想到先研究這個公式，二是怎樣猜想發現這個公式，三是怎樣證明這個公式.

執教教師個人素質較高，教態和藹可親，語言表達能力較強，善于引導和啟發，板書有設計. 學生數學功底好，思維活躍，語言表達及板演嚴謹，看得出來平時訓練有素. 從整體上來看，執教教師以《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）為依據，以教材內容為藍本，努力在理解數學、理解學生、理解技術、理解教學上下功夫，呈現出以下特點.

1. 追溯“圓”主線，發揮單位圓的紐帶作用

從單位圓的對稱性來看，被稱為“圓函數”的三角函數自然與圓有密切的聯系，單位圓正是研究三角函數及其性質一以貫之的直觀模型，在本單元的教學過程中發揮著“腳手架”和紐帶的作用，是“超級工具”. 通常來看，單位圓的對稱性包括軸對稱性、中心對稱性和旋轉對稱性. 學生較為熟悉的是軸對稱性和中心對稱性，誘導公式就是單位圓軸對稱性和中心對稱性的解析表示. 而學生對旋轉對稱性較為陌生，本節課需要重點關注.

從教材編寫來看，“三角函數”章節以單位圓為主線，將相關知識進行了串聯，突出了圓的旋轉對稱性與三角函數之間的內在聯系，如圖1所示.

這也是教材編寫的意圖所在. 基于以上分析，不難看出三角恒等變換公式在本質上是圓的旋轉對稱性的解析表示，是旋轉任意角的誘導公式. 兩角差的余弦公式的推導方法非常多，如為了簡化推導過程引入向量法進行證明，而采取單位圓的旋轉對稱性證明的方法充分體現了知識的連貫性和整體性.

從教學處理上看，執教教師尊重了教材編寫的整體立意，從學生現有的認知出發，借助單位圓的旋轉對稱性，利用兩點間的距離公式進行公式的推導，將三角函數問題轉化為解析幾何問題來處理，緊扣學生思維的最近發展區，尊重學生的認知規律，使新知學習自然發生，同時又與已有知識建立必然聯系.

2. 基于單元整體，發展數學核心素養

在教學中，執教教師以單元教學理念抓住大單元的核心要素，體現新課程的理念，避免知識形成的碎片化. 首先，著眼于學生思維的最近發展區，喚醒學生已學的與所研究內容相關的認知，復習誘導公式，把特殊角換成任意角，將前面學習的誘導公式與兩角和與差的三角函數建立聯系；其次，回憶誘導公式的研究思路，引導學生回顧并強化用單位圓研究三角函數問題的意識和習慣，為接下來探究角[α-β]的余弦的展開式指明思考方向；再次，在學生獲得公式的證明之后，把握時機，用新公式證明之前的誘導公式，進一步說明了誘導公式與兩角差的余弦公式之間的特殊與一般的關系；最后，設置探究活動，提出“運用此公式還能解決哪些問題”，具有一定的開放性，引導學生自主探究，發現了一些結論，也得到了兩角和的余弦公式.

在整個過程中，執教教師通過啟發引導學生通過觀察、比較、尋找聯系，提升發現問題、提出問題和解決問題的能力，凸顯了普遍聯系的整體觀念，也有效發展了學生的邏輯推理和數學運算素養.

3. 問題活動引導，關注學生思維能力提升

本節課中，執教教師通過問題串及穿插其中的活動引導學生自己猜想、發現和解決問題，一步一步得到公式. 同時，在教學過程中采用追問的方式推動學生對公式意義的理解，從而主動獲得尋找、探索公式的方法.

執教教師通過設置問題“觀察這組誘導公式，我們發現它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數與角[α]的三角函數的恒等關系. 現在，我們把公式中的特殊角換為任意角[β]，我們發現它們的共同形式就是兩角和與差的三角函數. 在誘導公式的基礎上，任意角[α]與角[β]的和（或差）的三角函數與角[α]和角[β]的三角函數會有什么關系？”從特殊到一般誘發學生思考，啟發學生思維.

執教教師通過活動“如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，探究是否能由此推出角[α-β]的余弦”給出公式組成元素，給出思維方向.

執教教師通過問題“以誘導公式[cosπ2-α=sinα]為例，你能簡要說明證明過程嗎？”“還記得誘導公式的研究思路嗎？”引導學生回顧誘導公式的研究思路，強化學生用單位圓研究三角函數問題的意識和習慣，師生共同總結利用單位圓上的點關于原點、坐標軸、直線[y=x]等的對稱性探究得到了誘導公式，為接下來探究角[α-β]的余弦公式指明思考方向，從而得到解決此類問題的研究思路：單位圓的對稱性—角與角之間的關系—坐標之間的關系—等量代換—三角函數的關系. 這個過程思維主線清晰，學生的思維能力得到了進一步提升.

教師組織活動“用GeoGebra軟件動態演示圓的旋轉對稱性”，并引導學生觀察，從而發現在旋轉的過程中對應的弦和弧都沒有發生變化，引出了圓的一個重要的幾何性質——任意一個圓繞著其圓心旋轉任意角度后都與原來的圓重合，這一性質叫做圓的旋轉對稱性. 學生利用圓的旋轉對稱性證明了兩角差的余弦公式，建立了思維的連續性.

執教教師利用問題“當角[α]與[β]的終邊重合時，即[α=2kπ+β，k∈Z]，兩角差的余弦的表達式是否仍然成立？”完善探究細節，培養學生思維的嚴謹性. 并組織活動“探究利用兩角差的余弦公式還能得到哪些公式或者非特殊角（除30°，45°，60°等特殊角以外的角）的余弦值”引導學生積極思考，得到了一系列結論，使學生的思維得到提升.

整個過程，通過問題和活動驅動，促進學生進行連續的、有序的思維活動，并且在學生表達時，執教教師給予充足的時間，讓學生不斷調整和完善自己的發現，加深對數學公式的理解，使得學生在掌握“四基”、發展“四能”的過程中有效發展了數學核心素養.

4. 教學設計清晰，促進學生學會學習

本節課教學設計的邏輯路線比較清晰，研究路徑也很清楚. 本節課設計了五個教學環節，逐步達成教學目標，完成教學任務，如圖2所示.

五個環節層層遞進，一氣呵成，知識建構過程合理，符合學生的認知心理，充分關注了學生解決數學問題的思維過程.

第一環節，執教教師將誘導公式作為學生的認知起點，將特殊角換成一般角，按照特殊與一般的辯證思想，一步一步設計了與學生思維最近發展區相適應的學習任務. 學生通過積極思考、動手參與、熱烈討論都能夠完成，始終保持較高的學習熱情. 同時，執教教師給學生留有足夠的思維空間進行自主探究，獲得了很好的教學效果.

第二環節，回憶誘導公式的證明方法，通過一系列問題串引導學生思考和分析問題，經歷公式的推導和證明過程. 學生在此過程中獲得了研究數學問題的經驗，提升了提出問題、分析問題和解決問題的能力，有效提高了邏輯推理素養.

第三環節，通過公式運用，注重促進新、舊知識的有效融合. 執教教師對例題的選擇與設置遵循教材. 例1是用兩角差的余弦公式證明誘導公式，說明了誘導公式與兩角差的余弦公式之間的特殊與一般的關系. 設置的探究活動具有一定的開放性，引導學生自主探究，進一步體會兩角差的余弦公式是誘導公式的一般化表達，提升學生發現問題、提出問題和解決問題的能力. 例2通過簡單的應用，使學生初步熟記公式，掌握公式的結構形式和功能，訓練學生有序的思維習慣，發展學生的數學運算素養，培養學生程序化的思維習慣.

第四環節，共設置三道題目，緊扣本節課的核心和重點內容，由學生獨立完成，全班只有一名學生做錯，教學效果明顯.

第五環節，讓學生梳理本節課的知識收獲，體會數學思想方法的應用. 作業布置分為課時作業和單元作業，強化基礎知識和基本技能，加深學生對公式的理解，培養學生的邏輯推理素養，培養學生從多維角度思考問題，增強學生的創新意識. 強化學生用單位圓研究三角函數問題的意識和習慣，幫助學生體會數形結合思想，使學生學會用數形結合思想思考和解決問題.

5. 多種方式融合，有效輔助課堂教學

本節課利用GeoGebra軟件，在恰當的時機直觀呈現，讓學生直觀看到圓的旋轉對稱性，“形”與“數”自然轉換，抽象與具象的思考完美結合. 使用微課視頻呈現兩點間的距離公式. 使用交互平臺，充分展現學生的思維過程. 多種方式融合，為學生提供了豐富的思辨視角，有效輔助教學.

美國著名教育學家杜威說過，教學不僅僅是一種簡單的告訴，教學應該是一種經歷、一種體驗、一種感悟. 執教教師的教學設計既尊重知識本身的特點，又符合學生對事物的認知規律，通過對問題串的精心設計，引導學生從特殊到一般，運用所學方法進行證明，逐級抽象概括出兩角差的余弦公式，讓學生在公式的推導過程中體驗數學的思想方法和思維方式，如歸納概括、類比推理、數形結合等，從中獲得知識、提升能力，達到數學的育人目標.

二、幾點建議

1. 進一步加強知識體系的構建

我們知道，軸對稱是旋轉對稱的特殊情形，旋轉對稱是軸對稱的一般推廣. 因此，誘導公式既可以利用單位圓的軸對稱性進行推導，也可以利用單位圓的旋轉對稱性進行推導. 而且相比之下，后者可以更好地體現單元內容在數學思想方法層面的內在一致性和普適性.

通過教學要讓學生體會到兩角差的余弦公式的本質是圓的旋轉對稱性的解析表示. 旋轉對稱性是圓的最重要的特性，三角恒等變換公式是圓的旋轉對稱性的解析表示，是旋轉任意角的誘導公式，兩者是特殊與一般的關系. 教學后，可以利用作業等方式，讓學生明確各種三角公式本質上都是圓的基本性質的解析表示，這些公式都可以用旋轉變換的方法統一起來. 例如，將角[α]的終邊旋轉整數周，得[2kπ±α]的三角公式；將角[α]的終邊旋轉半周的整數倍，得[kπ±α]的誘導公式，而且它們都可以借助單位圓給出幾何解釋. 經過這樣的過程，可以讓學生深切體會到數形結合是研究三角函數的基本方法，借助單位圓的直觀，讓學生進行觀察、分析、比較、綜合，有利于學生直觀想象、邏輯推理和數學抽象等素養的發展. 正如章建躍博士所說，通過這種發揮“一般觀念”對數學學習活動的引導作用，可以讓學生實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把數學基本思想、基本活動經驗落實在基礎知識和基本技能的學習過程中，使數學核心素養真正落地.

2. 注意再放手，給予學生更大的思維空間

本節課，可以把問題設置得再開放些. 由于前面已經利用單位圓的對稱性（幾何性質）推導出了誘導公式，學生對單位圓的工具作用已經有所體悟，可以留給學生更多的思考時間和小組交流展示的機會，讓學生深入思考，經歷“提出問題—初步猜想—反例反駁—再次猜想—取角驗證—邏輯證明—得到公式”的過程，通過學生多視角、多途徑的探究提煉出具有普適意義的方法，提升學生的數學核心素養. 例如，學生作角α - β時，可以先觀察對稱性，這樣為后續一般角的對稱性作鋪墊；研究兩個角終邊重合的情況時，可以考慮讓學生提出來，以訓練學生思維的嚴謹性，同時要注重討論分類.

教授本節課時，有學生很自然地提出：起始公式為什么是兩角差的余弦公式而不是兩角和的余弦公式或兩角和與差的正弦公式？我們在進行教學設計的時候，應該對課堂適當地留白，讓學生多一分發展，這樣的課堂才能出現“不期而遇”的精彩.

執教教師似乎在刻意引導學生用教材上給出的方法進行證明. 實際上，公式的證明方法有很多，學生肯定不會只想到這一種思路. 這里完全可以放手讓學生去思考、探究和提出方案，并且針對其中一種方案展開深入研究，其他方案讓學生在課后小論文中嘗試解決. 這樣的教學處理，學生的收獲會更大. 公式證明得出之后，可以考慮引導學生對公式進行觀察，從結構、作用等方面進行歸納總結，而不是教師進行總結，然后直接進入例題研究.

小組討論的前提是個人獨立思考，這節課中幾次安排的小組討論都缺少個人獨立思考，所以討論中出現一言堂的情況，有的學生只能聽，參與少. 還有小結的處理，同樣缺少個人的思考.

對于例2的處理，執教教師先提示解題思路及注意事項，然后學生完成. 如果讓學生先做，嘗試錯誤，再加以解決，效果可能會更好.

練習1明確要求學生利用兩角差的余弦公式解決，限制了學生的思維.

總之，本節課教學目標準確具體，符合《標準》要求，教學設計自然合理，關注學生的基礎及認知規律，師生合作愉快，學生在愉悅中獲得新知，教學效果良好.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.