“兩角差的余弦公式”教學設計

張紫茵

摘 ?要：在單元背景下，“兩角差的余弦公式”一課沿用誘導公式的研究思路，利用單位圓的幾何性質，探究兩角差的余弦公式.

關鍵詞：兩角差的余弦；單位圓；單位圓的旋轉對稱性

一、教學內容解析

1. 教學內容

本節課的主要內容是兩角差的余弦公式的推導及運用.

2. 內容解析

本節課選自人教A版《普通高中教科書·數學》必修第一冊（以下統稱“教材”）第五章“三角函數”的“5.5.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，用時1課時.

從內容來看，“5.5 三角恒等變換”分為三部分：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式；二倍角的正弦、余弦和正切公式；簡單的三角恒等變換. 這一內容展開的順序如下. 首先，在推導公式的過程中，先利用圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦公式，然后導出兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，進而導出二倍角的正弦、余弦和正切公式；其次，在公式變換應用的過程中，通過解答例題，促使學生學會選擇公式，體會換元、逆向思維等數學方法，進一步理解變換思想，提高學生的推理能力和數學運算素養. 這樣，以單位圓的幾何直觀為紐帶，將三角恒等變換與整個三角函數內容融為一體.

“兩角差的余弦公式”是“三角恒等變換”這一單元學習的基礎和出發點. 觀察前面學習的誘導公式，可以發現它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數與這個任意角[α]的三角函數的恒等關系. 由此推理，利用圓的相關性質也一定能推出任意角[α]與[β]之間的三角恒等變換關系. 從特殊到一般，建立誘導公式與兩角差的余弦公式的聯系.

對于兩角差的余弦公式，教材利用單位圓的旋轉對稱性（任意一個圓繞著其圓心旋轉任意角后都與原來的圓重合）進行推導. 首先，設單位圓與x軸的正半軸相交于點A，以單位圓的圓心為頂點、[x]軸的非負半軸為始邊畫出角[α，β]，[α-β]；其次，根據三角函數的定義寫出角[α，β]，[α-β]的始邊和終邊與單位圓的交點[P1，A1，P]的坐標；再次，利用圓的旋轉對稱性，得到等量關系[AP=][A1P1]；最后，根據兩點間的距離公式得到兩角差的余弦公式. 三角恒等變換中的差角公式充分利用了圓的旋轉對稱性，這也是本章利用單位圓的性質研究三角函數性質的通法.

本節課中蘊含著豐富的數學思想方法，突出體現了數形結合、轉化與化歸、特殊與一般的思想，以及利用單位圓的性質研究三角函數性質的方法.

基于以上分析，確定本節課的教學重點是利用圓的旋轉對稱性推導兩角差的余弦公式.

二、教學目標設置

本節課的教學目標設置如下.

（1）回顧誘導公式，觀察誘導公式的結構特征，將特殊角換為任意角，提出一般性問題，引出研究兩角差的余弦公式的必要性. 經歷推導兩角差的余弦公式的過程，知道兩角差的余弦公式的意義，提高發現問題、提出問題的能力.

（2）借助信息技術手段，利用單位圓的旋轉對稱性探究公式，感受數形結合、轉化與化歸、特殊與一般的數學思想，提升思維的有序性，發展邏輯推理、數學運算和直觀想象等素養，培育科學精神.

（3）通過公式應用，初步熟記公式，掌握公式的結構形式和功能，體會正向、逆向使用公式等數學思想方法，進一步理解變換思想，培養程序化思考問題的品質，提高推理能力，發展數學運算素養.

（4）通過單元作業，強化用單位圓研究三角函數問題的意識和習慣，體會數形結合思想，學會用數形結合思想思考和解決問題.

三、學生學情分析

學生在知識結構上已經學習了三角函數的概念、誘導公式、三角函數的性質，知道單位圓是研究三角函數的重要工具，這為學生研究兩角差的余弦公式提供了理論基礎和探究方向.

學生在能力水平上已經具備一定的抽象概括能力、邏輯推理能力及轉化和分析問題的能力，但是如何使學生將已有的知識成功遷移到新知識的學習中，如何利用圓的旋轉對稱性得到兩角差的余弦公式，從而提高學生發現問題、分析問題和解決問題的能力，實現學習方式的轉變，這是本節課需要突破的.

基于以上分析，確定本節課的教學難點為發現兩角差的三角函數與圓的旋轉對稱性之間的聯系.

突破難點的關鍵：問題串引導與應用信息技術教學.

四、教學策略分析

1. 教法分析

（1）啟發式方法、探究式方法和基于問題串的教學方法. 本節課以提升學生的邏輯推理、數學運算和直觀想象素養為目標.

（2）啟發學生從數學角度發現和提出問題. 提出問題的前提往往是要“數學地”發現問題，就是要用數學的眼光觀察. 本節課以“觀察誘導公式，可以發現它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數與這個任意角[α]的三角函數的恒等關系. 如果把特殊角換為任意角[β]，那么任意角[α]與[β]的和（或差）的三角函數與角[α]和[β]的三角函數會有什么關系呢？”為引導語，引出本節課的主題，激發學生解決問題的興趣，體現問題解決的自然規律.

（3）啟發學生主動思考探究. 從觀察誘導公式入手，給出了一條觀察情境、提出問題、分析問題和解決問題的線索，讓學生充分感受公式的初步探索過程，讓學生自主探索兩角差的余弦公式. 整體設計體現了“問題引導學習”的理念，把學生的思維活動逐步引向深入，幫助學生在獲得“四基”的過程中，逐步提高“四能”，發展數學實踐能力和創新意識，培育科學精神，促進學生學會學習.

2. 學法分析

（1）學生采取小組合作探究的學習模式.

（2）在課堂教學中鼓勵學生獨立思考、發現問題，通過小組合作、交流分享突破難點，提升學生的合作探究意識，提高學生分析問題和解決問題的能力.

（3）在課堂教學中始終以學生為核心，教師組織，適時引導，有效提升學生的課堂參與度，使學生經歷完整的知識生成過程.

3. 教學手段

本節課主要應用程序資源，包括PPT、微課視頻、GeoGebra軟件等.

在課前和課堂上，學生通過觀看教師推送的“兩點間的距離公式”的微課視頻自主學習兩點間的距離公式. 微課能夠將教學中抽象的知識點形象化，讓學生更好地理解知識點，激發學生的學習興趣. 學生可以反復觀看微課，有效提高學習效率.

用GeoGebra軟件探究兩角差的余弦公式，感受圓的對稱性與三角函數之間存在的內在聯系，在激發學生的求知欲和學習興趣的同時，提高探究效率，增強學生的動手實踐能力，積累數學活動經驗，幫助學生直觀感受知識的生成過程.

五、教學過程設計

本節課設計了五個教學環節，逐步達成教學目標，完成教學任務，如圖1所示.

教師引言：前期我們學習了誘導公式，利用它們對三角函數式進行恒等變形，可以達到化簡、求值或證明的目的. 這種利用公式對三角函數式進行的恒等變形就是三角恒等變換. 接下來，我們繼續深入學習三角恒等變換.

1. 知識回顧，引入新知

復習回顧： [sinπ+α=-sinα]； [cosπ2+α=-sinα]；

[sinπ2-α=cosα]；[cosπ-α=-cosα].

師生活動：復習回顧誘導公式，教師提問，學生回答.

教師提出：觀察這組誘導公式，我們發現它們都是特殊角與任意角[α]的和（或差）的三角函數與角[α]的三角函數的恒等關系. 現在，我們把公式中的特殊角換為任意角[β]，我們發現它們的共同形式就是兩角和與差的三角函數. 在誘導公式的基礎上，任意角[α]與[β]的和（或差）的三角函數與角[α 和 β]的三角函數會有什么關系？和角、差角的三角函數之間存在著緊密的內在聯系，因此不必孤立地一一推導這些公式，只要推導出一個公式作為基礎，再利用這種聯系性，用邏輯推理的方法就可以得到其他公式. 今天，我們選擇兩角差的余弦公式作為基礎開始研究.

【設計意圖】本環節以單元教學為理念，著眼于學生思維的最近發展區，喚醒學生已學的與所要研究內容相關的認知，將前面學習的誘導公式與兩角和與差的三角函數建立聯系，再提出選擇兩角差的余弦公式作為基礎推導其他公式，引入課題. 學生能夠明確學習目的，帶著目標開展學習活動.

2. 深入分析，探究公式

活動：如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，探究是否能由此推出角[α-β]的余弦.

教師引言：根據誘導公式的研究經驗，我們嘗試提出問題. 如果已知任意角[α，β]的正弦和余弦，能由此推出角[α-β]的余弦嗎？要用到哪些研究方法呢？下面回顧我們以往的研究經驗.

問題1：以誘導公式[cosπ2-α=sinα]為例，你能簡要說明證明過程嗎？

師生活動：教師提問，讓一名學生上講臺陳述證明過程，教師用PPT展示關鍵證明步驟.

預設答案：如圖2，作點[P1]關于直線[y=x]的對稱點[P2]. 以[OP2]為終邊的角是與角[π2-α]終邊相同的角. 根據單位圓的對稱性，點[P1x1，y1與]點[P2x2，y2]的坐標之間有等量關系[x1=y2]，[y1=x2]. 根據三角函數的定義，有[cosπ2-α=sinα.]

問題2：回顧誘導公式的探究思路，我們利用了哪些研究方法？

預設答案：三角函數的定義；單位圓；單位圓的特殊對稱性.

師生活動：教師指出利用單位圓上的點關于原點、坐標軸、直線[y=x]等的對稱性，探究得到了誘導公式.

追問：大家還記得誘導公式的研究思路嗎？

師生活動：學生回答. 教師板書總結誘導公式的研究思路（單位圓的特殊對稱性—角與角之間的關系—坐標之間的關系—等量代換—三角函數的關系）.

【設計意圖】引導學生回顧誘導公式的研究思路，強化用單位圓研究三角函數問題的意識和習慣，為接下來探究角[α-β]的余弦指明思考方向.

探究：[cosα-β]與角[α，β]的正弦和余弦之間的關系.

教師引導：我們借助單位圓定義三角函數，那么角[α，β]的正弦、余弦及[cosα-β]如何表示呢？

師生活動：教師引導學生根據三角函數的定義確定在單位圓中需要作出角[α]、角[β]和角[α-β]. 學生利用直尺、圓規和量角器，通過動手操作，用不同的方法作出角[α-β]. 小組合作探究，教師巡視，深入小組活動，傾聽小組交流，用實物投影將學生的探究結果投影在大屏幕上，讓小組代表陳述本組的探究結果.

【設計意圖】通過畫圖、辨圖，讓學生發現問題. 學生上臺展示不同象限的角[α，β]及相應角[α-β]的不同作法. 有助于不斷積累數學活動經驗，培養學生的直觀想象和邏輯推理等素養.

師生活動：教師用GeoGebra軟件在單位圓中作出更一般的角[α-β]，體現角[α-β]的任意性，與學生共同探究公式. 教師指出先研究角[α]和角[β]的終邊不重合，即[α≠2kπ+β]，[k∈Z]的情況. 設單位圓與[x]軸的正半軸相交于點[A1，0]，以[x]軸的非負半軸為始邊作角[α]、角[β]和角[α-β]，它們的終邊分別與單位圓交于點[P1、點A1和點P]. 教師引導學生根據誘導公式的研究思路探究：第一步，利用三角函數的定義，寫出各點的坐標；第二步，利用圓的旋轉對稱性，得到等量關系[AP=A1P1]. 教師用GeoGebra軟件動態演示，引導學生觀察，從而發現在旋轉的過程中對應的弦和弧的長度都沒有發生變化.

教師總結：這體現了圓的一個重要的幾何性質，即任意一個圓繞著其圓心旋轉任意角后都與原來的圓重合，這一性質叫做圓的旋轉對稱性.

【設計意圖】引導學生沿用誘導公式的研究思路，確定利用等量關系[AP=A1P1]推導[cosα-β]的展開式.

師生活動：教師用GeoGebra軟件演示，改變角[α]和角[β]的終邊的位置，研究其他情形下等量關系[AP=A1P1]是否成立. 學生通過觀察發現在變化的過程中弦[AP]和弦[A1P1]始終是相等的. 教師引導學生理解其根本原因是圓的旋轉對稱性.

【設計意圖】利用GeoGebra軟件進行動態演示，讓學生直觀感受根據圓的旋轉對稱性，無論角[α]和角[β]終邊的位置如何，總有[AP=A1P1]成立，使學生感悟變化過程中的不變性，理解探究過程的一般性. 借助信息技術，可以讓學生直觀感受圓的對稱性與三角函數的內在聯系，有助于學生利用圓的旋轉對稱性觀察得到等量關系，突破難點.

師生活動：利用等量關系[AP=A1P1]，推導[cosα-β]的展開式. 知道對應點的坐標，解決[AP]和[A1P1]的距離要用到兩點間的距離公式. 課堂上，師生共同觀看微課視頻“兩點間的距離公式”.

【設計意圖】微課能夠將教學中抽象的知識點形象化，讓學生更好地理解知識，激發學生的學習興趣. 學生可以反復觀看微課，有效提高學習效率.

問題3：利用等量關系[AP=A1P1]，結合兩點間的距離公式，能否推導出[cosα-β]的展開式？

師生活動：學生獨立思考，在筆記本上自行推導. 教師巡視，投影一名學生的推導過程，由學生陳述探究過程和結論.

問題4：當角[α]和角[β]的終邊重合時，即[α=2kπ+β，][k∈Z]，兩角差的余弦的表達式是否仍然成立？

師生活動：教師提出問題，學生先獨立思考，然后在筆記本上作答. 教師巡視，讓一名學生回答問題.

【設計意圖】完善探究細節，培養學生敢于質疑、嚴謹求實的科學精神，發展學生的邏輯推理素養.

師生活動：師生共同總結，得到兩角差的余弦公式. 對于任意角[α，β]有[cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ]，

這個式子稱為差角的余弦公式，簡記作[Cα-β.]

教師對公式[Cα-β]進行說明：公式中的角[α，β]都是任意角；公式左邊的角是[α-β]，右邊的角是[α]和[β]；公式左邊的符號是“[-]”，右邊的符號是“[+]”；公式的結構特征.

【設計意圖】公式的推導是發展學生邏輯推理素養的載體. 邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證.

3. 學以致用，解決問題

教師引言：下面，讓我們學以致用，解決一道數學問題.

例1 ?利用公式[Cα-β]證明：

（1）[cosπ2-α=sinα]；

（2）[cosπ-α=-cosα].

師生活動：學生獨立思考，在筆記本上作答，教師將學生的答案投影到大屏幕上，學生陳述證明過程.

師生共同小結：前面，我們利用單位圓的特殊對稱性證明了誘導公式. 現在我們學習了更一般化的公式——兩角差的余弦公式，也能通過證明得到誘導公式.

活動：探究利用兩角差的余弦公式還能得到哪些公式或者非特殊角（除30°，45°，60°等特殊角以外的角）的余弦值.

師生活動：學生小組探究，小組代表展示探究結果，如圖3和圖4所示.

【設計意圖】例1是兩角差的余弦公式的應用，說明了誘導公式與兩角差的余弦公式之間的特殊與一般的關系. 設置的探究活動具有一定的開放性，引導學生自主探究，進一步體會兩角差的余弦公式是誘導公式的一般化表達，提升學生發現問題、提出問題和解決問題的能力.

例2 ?已知[sinα=45，α∈π2，π，cosβ=-513]，[β]是第三象限角，求[cosα-β]的值.

師生活動：教師讓一名學生在黑板上作答，其他學生在筆記本上作答. 教師規范學生的解題格式，然后與學生共同總結這類題目的解題步驟.

解題步驟：第一步，確定需要用哪個公式解題；第二步，與公式相比較，觀察題目的形式特點，確定需要求出哪些值；第三步，根據第二步得到的方案先求值，再代入，解決問題.

【設計意圖】通過簡單的應用，使學生初步熟記公式，掌握公式的結構形式和功能. 訓練學生有序的思維習慣，發展學生的數學運算素養，培養學生程序化的思維習慣. 教師規范解題格式，展示數學的嚴謹性.

4. 反饋練習，知識檢測

練習1：利用兩角差的余弦公式求值：[cos72°cos12°+][sin72°sin12°].

師生活動：學生獨立完成求解，在筆記本上作答. 教師巡視，讓一名學生回答問題.

【設計意圖】練習1是簡單的公式反用. 要求學生能夠從正反兩個方向使用公式，對公式要有更全面、深刻的理解，目的在于培養學生的逆向思維及思維的靈活性.

練習2：已知[cosα=-35，α∈π2，π，] 求[cosπ4-α]的值.

練習3：已知[sinθ=1517，θ]是第二象限角，求[cosθ-π3]的值.

師生活動：學生獨立完成，教師巡視.

【設計意圖】通過知識檢測，了解學生對知識的理解和掌握情況，為教學評價提供依據.

5. 小結提升，布置作業

師生共同回顧、梳理、總結本節課所學的數學知識和思想方法.

師生活動：教師提問，學生小組討論、回答，相互補充. 讓學生梳理本節課的知識收獲（兩角差的余弦公式）和原理（利用圓的旋轉對稱性探究公式）；讓學生體會應用的數學思想方法（數形結合、轉化與化歸、特殊與一般）.

【設計意圖】讓學生回味本節課生成的知識和應用的方法，積累數學知識和活動經驗，培養學生歸納總結的能力，強化學生的思維發展.

（1）課時作業.

作業1：已知[sinα=-23，α∈π， 3π2，] [cosβ=34，][β∈3π2，2π]，求[cosβ-α]的值.（教材第217頁練習5.）

作業2：已知[sinα=23，cosβ=-34，α∈π2，π，] [β∈π， 3π2]，求[cosα-β]的值.（教材第228頁習題5.5的第1題.）

作業3：繼續借助公式[Cα-β]推導其他公式或結論.

作業4：查閱資料探究兩角差的余弦公式的其他證明方法.

（2）單元作業.

作業5：以小組為單位，完成一份研究性學習作業. 對比前面學習的誘導公式，體會本節課推導兩角差的余弦公式. 我們不難發現：以單位圓的幾何性質為載體，研究三角函數的性質（即公式）的方法是個大概念. 據此，試利用所給圖形（如圖5），證明下列兩個等式.

（1）[12sinα+sinβ=sinα+β2cosα-β2]；

（2）[12cosα+cosβ=cosα+β2cosα-β2].

【設計意圖】作業分為課時作業和單元作業. 課時作業1和課時作業2落實公式的應用，強化基礎知識和基本技能；課時作業3繼續探究活動，引導學生深入體會兩角差的余弦公式是誘導公式的一般化表達，加深學生對公式的理解，培養學生的邏輯推理素養；課時作業4培養學生從多維角度思考問題，增強創新意識. 單元作業幫助學生體會本節課內容所體現的大概念——以單位圓的幾何性質為載體研究三角函數的性質（即公式）. 強化學生用單位圓研究三角函數問題的意識和習慣，幫助學生體會數形結合思想，使他們學會用數形結合思想思考和解決問題. 優化作業設計，實現“減負提質”“減負增效”，發揮作業的育人功能.

六、板書設計

本節課的板書設計，如圖6所示.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.