明晰主線，破解教學難點

薛紅霞

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》將課程結構劃分為四條主線. 在基本理念中指出，要突出主線；在教材編寫建議中指出，要認真思考內容主線的邏輯結構，關注同一主線內容的邏輯關系，關注不同主線內容之間的邏輯關系；在教學建議中指出，要抓住函數等內容主線. 明晰主線確實是破解教學難點的基礎. 下面以“幾何與代數”主線中向量的應用為例予以說明.

人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）必修第二冊中的“6.4.3 正弦定理、余弦定理”作為平面向量的應用，研究的視角是用向量法研究三角形的性質. 按照向量法的“三步曲”：第一步，給出研究對象的向量表達形式，如三角形回路，a + b + c = 0；第二步，進行向量運算，根據目標，要求三角形的邊角關系，應該選擇數量積運算；第三步，獲得結論. 這個思路是自然的.

對于第二步，具體的操作方法有哪些呢？方法1：對等式a + b + c = 0的兩邊平方. 方法2：將等式a + b + c = 0移項后對等式a + b = -c的兩邊平方. 方法3：在等式a + b + c = 0的兩邊同乘向量c. 繼而啟發學生通過位置關系想到方法4：在等式a + b + c = 0的兩邊同乘與向量c垂直的向量d. 還可以進一步探索，從位置關系分析，方法1、方法2和方法3都可以看作等式兩邊同乘一個具有平行關系的向量，方法4是等式兩邊同乘一個具有垂直關系的向量. 那么，自然地，可以提出問題：等式兩邊同乘一個非特殊位置關系的向量會怎樣？即教材必修第二冊復習參考題6的第19題. 這是從研究視角的進一步拓展.

如果從研究對象自身（三角形）進行分析，方法1、方法2和方法3是三角形中的元素自乘，方法4是乘一個相關元素，即與其一邊垂直的向量，也可以特殊化為三角形一邊上的高，或者高的單位向量. 進一步拓展，可以思考三角形中的相關元素，提出問題：三角形的角平分線、中線的向量表達形式是怎樣的？如果參與運算又會得到哪些性質？三角形的重心、垂心、內心、外心的向量表達式又是怎樣的？如果是三角形內部任意一點又會得到什么性質？在平面內的任意一點呢？……

這里有兩條線索：一條是從研究視角拓展，即向量的運算；另一條是從研究對象拓展，不斷增加元素. 兩條線索交錯前行，就形成了開放式的探究活動，即教材必修第二冊第63頁的“數學探究 ?用向量法研究三角形的性質”.

再往后延續，到空間向量的應用，即教材選擇性必修第一冊的“1.4 空間向量的應用”. 這一節與教材必修第二冊的“6.4.3 正弦定理、余弦定理”一樣，仍然是按照“三步曲”進行. 首要任務是給出研究對象的向量表示，即“1.4.1.1 空間中點、直線和平面的向量表示”，給出空間中的點、直線和平面這些基本元素的向量表達式，而且求這三個元素的向量表達式的思路與解析幾何中求曲線方程的思路是一致的. 之后在解決直線和平面的位置關系、空間中距離和夾角的問題時都按照“三步曲”，先找到各自的“代言人”（即向量表達式），然后求解即可.

進一步，在解析幾何中，研究直線的傾斜角與斜率和點到直線的距離等，與此思路完全一致.

這就是“主線”的威力. 一線貫通，思路自然.