基于COVID-19傳播特性的傳染病模型的構建與研究

朱懋昌 賓晟 孫更新

摘要： 為了更好地揭示新冠肺炎（COVID-19）的傳播機理，通過分析新冠病毒（2019-nCoV）的傳播特性，考慮隱性潛伏者的自愈以及潛伏者的提前隔離，引入“入院隔離狀態”，“隱性治愈狀態”，考慮防控強度的變化，引入“發病狀態”，提出了SEAIHR動力學模型。利用真實疫情數據，考慮不同階段參數的變化，進行了多模型對比試驗。實驗結果表明，SEAIHR模型擬合和預測精度有明顯提升，較經典模型在疫情前中期降低了34.4%～72.8%擬合誤差，為疫情防控提供了參考與指導。

關鍵詞： SEIR；隱性潛伏者；COVID-19；動力學模型

中圖分類號： O29;TP391文獻標識碼： A

收稿日期： 2022-04-27；修回日期：2022-07-22

基金項目： 山東省自然基金面上項目（ZR2021MG006）；山東省社會科學規劃項目（17CHLJ16）

第一作者： 朱懋昌（1997-），男，山東濟寧人，碩士研究生，主要研究方向為復雜網絡。

通信作者： 孫更新（1978-），男，山東青島人，博士，副教授，主要研究方向為復雜網絡，復雜網絡中傳播動力學及相關傳播模型。

Construction and Research of Infectious Disease Model Based on COVID-19 Transmission Characteristics

ZHU Maochang， BIN Sheng， SUN Gengxin

（School of Computer Science and Technology， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：In order to better reveal the transmission mechanism of COVID-19， this paper proposes the SEAIHR dynamic model by analyzing the transmission characteristics of COVID-19， considering the self-healing of the hidden lurks and the early isolation of the lurks， introducing “h hospitalization isolation”， “recessive cure”， considering the change of prevention and control intensity， and introducing “morbidity status”. Using the real epidemic data and considering the changes of parameters in different stages， a multi model comparative test was conducted. The experimental results showed that the fitting and prediction accuracy of the SEAIHR model was significantly improved， and the fitting error was 34.4%～72.8% lower than that of the classical model in the early and middle stages of the epidemic， providing reference and guidance for epidemic prevention and control.

Key words： SEIR；hidden lurker； COVID-19； dynamic model

0 引言

自新冠肺炎第一例病例出現，幾十天內迅速蔓延至全國各地。截至2021年9月24日，全國累計報告新型冠狀肺炎（COVID-19）確診病例124 403人，且該數據仍在持續增加。研究表明，新型冠狀病毒不僅具有較長的潛伏期而且潛伏期內存在傳染性，同時在其傳播過程中存在隱性潛伏者，即潛伏期后無癥狀且仍具備傳染性的群體。現階段中國的防疫工作取得了巨大的成果，但國內疫情反彈的風險始終存在。因此，結合新冠肺炎的傳播特點和后疫情時代的常態化防控措施，建立一個能準確描述新冠病毒傳播機理的傳播模型十分必要。

自COVID-19爆發以來，研究人員做了大量相關研究，文獻［1］提出了一種SIRU模型，該模型首次提出未報告的有癥狀病例的數量，并且在不同等級的防控措施下預測疾病傳播趨勢；LI Qun等［2］根據最早425例確診病例數據，估計了關鍵流行病學延遲時間分布情況、傳染病倍增時間以及基本再生數；耿輝等［3］建立了包含潛伏期傳染性的SEIR模型，估算了基本再生數；范如國等［4］基于SEIR模型考慮了多種病毒潛伏期情景，分別進行了拐點的預測；文獻［5］考慮了數據滯后性，建立了基于時滯動力學的傳播模型，對疫情的發展進行了預測；Nursanti Anggriani等［6］考慮了有癥狀和無癥狀的狀態以及免疫力下降，建立了一個包含7個倉室的傳播模型。現有傳染病傳播模型大多基于SIR［7］、SEIR［8］等經典模型進行改進：曹力盛等［9］基于SEIR模型充分考慮了隔離措施對于疫情的遏制作用，利用歐拉數值方法對模型進行求解，對疫情進行評估和預測。文獻［10］利用長短期記憶算法（LSTM）提出一種mSEIR模型，采用滑動窗口算法進行參數估計和人口預測。Denis Efimov等［11］在傳統SEIR模型的基礎上分離出治愈者與病死者，考慮模型參數的變化和不確定性，分析了8個不同地區的疫情發展趨勢。林俊峰［12］基于SEIR模型重新定義了潛伏者與感染者，并引入了隱形傳播者。鄧春燕等［13］提出一種D-SEIR模型，考慮了地區間與地區內的人口流動情況。廖影等［14］根據烏魯木齊市的真實疫情數據建立倉室模型，利用非線性最小二乘法擬合參數。除此之外，荊磊等［15］構建了一種基于SEIRD-GEOCA的傳染病時空耦合模型，并在模型中融入了蔓延擴散和隨機遷移擴散策略用來模擬COVID-19疫情的時空擴散規律。He S等［16］采用粒子群優化算法（PSO）對系統參數進行估計，研究發現對于不同的場景，所提出的SEIR模型的參數是不同的。Annas S等［17］建立了以疫苗接種和隔離因子為模型參數的SEIR模型，采用生成矩陣法獲得2019冠狀病毒疾病分布模型的基本繁殖數和全局穩定性。Liu C等［18］使用集合經驗模態分解（EEMD）模型和自回歸-移動平均（ARMA）模型對GPCP的預測結果進行改進，并對GPCP模型無法預測的國家進行直接預測。文獻［19］利用改進的SEIR模型和關鍵驅動協變量（肺炎季節性、流動性、檢測率和人均面罩使用）的預測，評估了社會距離要求和面罩使用水平的情景。

上述研究中模型的參數大多是固定不變的，并且隨著疫情的變化，模型的適用性逐漸變弱。針對現有研究的不足，本文通過控制參數變化來增加模型的魯棒性并且根據實際防控措施細化模型，從3個方面進行模型的改進，以更加準確地分析疫情的演化過程：

1）考慮COVID-19中存在的隱性潛伏者以及其傳染性，建立“隱性治愈者”倉室，便于模擬和分析此類人群在疫情發展過程中的影響；2）考慮疫情防控對潛伏者的提前隔離，針對隱形潛伏者和顯性潛伏者建立“入院隔離”倉室；3）考慮模型參數的時變特性，將治愈率和死亡率設置為日變化參數，感染率等參數考慮階段性變化。

1 面向COVID-19的傳播動力學模型

1.1 SEIR模型

傳統SEIR模型把人群分成4類：易感者、潛伏者、感染者、移出者。其中，易感者（S）表示未被感染的健康人群，接觸感染者可被感染；潛伏者（E）表示未出現癥狀但感染了病毒的人群，此類人群病毒尚未發作，不具有傳染性；感染者（I）表示出現癥狀并且具有傳染性的人群，此類人群可以通過接觸將病毒傳染給易感者；移出者（R）表示被治愈的感染者或者死亡的人群，治愈后的人群具有抗體不會被再次感染。圖1展示了SEIR模型各狀態之間的轉換。圖1中，S，E，I，R分別為易感者、潛伏者、感染者、移出者的人數；λ為感染者每一時刻平均接觸到的人數；ε為易感者占總人數的比例；ρ為每一時刻轉化為感染者的比例；α為感染者轉化為移出者的概率。

1.2 基于COVID-19傳播特性及防控措施的模型構建

本研究基于經典SEIR模型建立更加符合COVID-19實際傳播特性的SEAIHR模型。新冠肺炎傳播特點：1）新型冠狀病毒存在潛伏期，潛伏期內無明顯癥狀且具有傳染性；2）潛伏者中存在一定數量的隱性潛伏者，該人群潛伏期后無癥狀但具備傳染性，經發病周期后自愈;3）隨著疫情防控的進展，潛伏者在發病前可被檢測入院隔離治療。

結合上述疫情傳播特點，建立8個倉室：易感者、顯性潛伏者、隱形潛伏者、發病者、入院隔離者、隱形治愈者、治愈者、病死者。根據疫情實際傳播情況，本文所建立模型基于假設：1）疫情期間封城，不考慮人口流動；2）所有入院治療的感染者被隔離，不具有傳染性；3）忽略病毒傳播期間人口的自然死亡及自然出生。

為了簡化模型，本研究認為發病人群在入院前會進行自我防護，忽略其傳染性。在上述倉室中：易感者（S）是指容易被感染的健康人群；顯性潛伏者（E）是指經過潛伏期后有癥狀且具備傳染性的人群；隱性潛伏者（A）是指感染者經過潛伏期后無癥狀且仍具備傳染性的人群；隱性治愈者（C）是指隱性潛伏者經發病周期后自愈的群體，這部分群體未表現出明顯癥狀，不算在官方公布的治愈病例中；發病者（I）是指潛伏者經過潛伏期后發病暫時未入院的人群；入院隔離者（H）是指被隔離治療不具備傳染性的人群；治愈者（R）是指入院隔離后被治愈的人群；病死者（D）是指入院隔離后病死的人群。基于上述8個倉室，構建不同倉室之間的狀態轉移關系，如圖2所示。

各狀態之間的轉換規則為：1）易感人群（S）以一定概率被潛伏者感染，轉化為顯性潛伏者（E）和隱性潛伏者（A）；2）潛伏者在疫情前期未被及時追蹤隔離，隱性潛伏者（A）轉化為隱形治愈者（C），而顯性潛伏者（E）發病后入院隔離治療;3）疫情中后期，顯性潛伏者（E）和隱性潛伏者（A）被追蹤隔離入院，直接轉化為入院隔離者（H），通過隔離治療轉化為治愈者（R）或病死者（D），當人群處于治愈狀態或病死狀態后，其狀態不再發生改變。基于上述狀態間轉移規則及系統動力學，SEAIHR模型的動力學方程如式（1）所示。

dStdt=-Etλ1+Atλ2dEtdt=1-mEtλ1+Aλ2-Etβ1-EtμdAtdt=mEtλ1+Atλ2-Atβ3-Atβ2dItdt=Eμ-IρdHtdt=Etβ1+Iρ-HPr+PddCtdt=Atβ3dRtdt=HPrdDtdt=HPd（1）

其中，St，Et，At，It，Ht，Ct，Rt，Dt分別為t時刻易感者、顯性潛伏者、隱性潛伏者、發病者、入院隔離者、累計隱形治愈者、累計治愈者、累計病死者的人數。

本文所建動力學模型共包含10個參數，一部分可以通過估算或者官方數據確定，這類參數為直接參數；另一部分無法直接獲取或者估算，這類參數為間接參數，間接參數采用參數反演擬合其最優值。各參數解釋如表1所示。

在已知{β1，β2，β3，μ，m}值的情況下，{λ1，λ2，ρ}的最優值可通過求解式（2）得到，優化目標為實際數據與模擬數據的偏差：

minλ1，λ2，pHλ1，λ2，ρ，t-H數據t2+Rλ1，λ2，ρ，t-R數據t2+Dλ1，λ2，ρ，t-D數據t2（2）

本文將治愈率和死亡率視為日變化的參數，Pr和Pd分別表示日治愈率和日死亡率，其值為當日新增治愈人數和新增死亡人數占前一天入院隔離人數的比例。本文使用非線性最小二乘法進行擬合，即通過求解式（3）的局部最小值進行參數求解，擬合方程使用冪函數。

Fx=12∑y1x-y22（3）

其中，y1x為要擬合的目標函數值，y2為實際數值。找到最優的自變量x，讓每個點y1x-y2的殘差平方之和最小，從而得出擬合曲線。去除2020年2月12日及2月13日兩天波動較大的時間點，擬合結果如表2所示。

武漢市的治愈率和死亡率表現出隨時間變化的趨勢，將其設置為時變參數以更準確地模擬疫情發展的真實情況，擬合結果如圖3和圖4所示。

1.3 模型精度指標

模型計算結果與真實疫情數據比較，以驗證模型的準確性。因此，本文使用擬合數據與入院確診病例人數的均方根誤差（RMSE）和平均相對誤差（MAPE）作為模型精度指標，表達式如式（4）和（5）所示。

RMSE= 1t∑ti=1Ht-Rt2（4）

MAPE=100%t∑ti=1Rt-HtRt（5）

其中，R（t）為真實數據的入院隔離人數，H（t）為模型擬合入院人數，RMSE和MAPE的值越小，說明擬合結果和真實數據越接近，模型的擬合和預測精確度越高，模擬效果越好。

2 實驗結果與分析

2.1 武漢市疫情回溯

本研究根據武漢市衛生健康委員會官網（http：//wjw.wuhan.gov.cn/）公布的武漢市2020年1月22日～2020年4月26日的疫情數據進行實驗。基于SIR模型、SEIR模型與SEAIHR模型進行了仿真對比，以驗證SEAIHR模型的優越性。2020年2月12日武漢市第1次通報疑似病例，說明此時武漢市醫療能力已經可以追蹤到大部分隱性潛伏者，且各地開始出現無癥狀感染者的相關報道。2020年2月26日起新增確診人數顯著下降，治愈病例顯著上升。直至2020年4月27日，現存確診人數清零。綜上所述，本文實驗將分為3個階段：1）2020年1月22日～2月11日，疫情爆發期;2）2020年2月12日～2月26日，疫情有效控制期;3）2020年2月26日～4月27日，疫情衰退期。

2.1.1 武漢市疫情第1階段擬合結果分析

疫情初期官方公布的數據中并未包括潛伏者數量以及發病者人數，本文根據文獻［20］和文獻［21］指出的潛伏期區間與發病到入院時間，迭代反推出潛伏者和發病者初始值，其中隱性潛伏者比例根據其占潛伏者總數的平均比例設置m值。

武漢市2020年1月22日至2月11日的擬合結果如圖5所示。結果顯示：3種模型在疫情初始階段均呈現加速上升趨勢，但SIR模型和SEIR模型的上升趨勢遠超過真實疫情的發展，SEAIHR模型整體擬合趨勢較好。根據表3的評價結果，SEAIHR模型的擬合精度有較為顯著的提升。其中，均方根誤差值（RMSE）比SIR模型縮小了59%，比SEIR模型縮小了53%，平均相對誤差值（MAPE）比SIR模型縮小了37.3%，比SEIR模型縮小了34.4%。

表4所示第1階段各參數值中，兩類潛伏者感染率分別為0.491和0.433，λ1值略高于λ2。這說明由于疫情早期對于病毒的了解和醫療能力有限且收治壓力巨大，使得潛伏者在人群中自由傳播，其中隱性潛伏者的病毒載量低于顯性潛伏者，此時疫情處于迅速爆發期。同時，由于檢測手段和追蹤能力嚴重不足，導致隱性潛伏者自愈未計入官方數據，顯性潛伏者均發病后入院。而因疫情前期的醫療容量有限，發病入院率僅為0.09，說明從發病到入院有較長的一段時間延遲，進一步造成了治愈率較低和死亡率較高的結果。

根據文獻［22］和［23］中給出的關于基本再生數計算方法，分別計算了疫情爆發初期本文模型與實際數據基本再生數的值，表達式如式（6）和（7）。

RSEAIHR=max（λ1，λ2）Pr+Pd+β1+β3（6）

RActually=1+rTL1+rSI-TL（7）

式（7）假定被感染人數呈指數增長，其中，r為指數增長的增長率，TL為被感染者的潛伏期的平均長度，SI為一個感染者與他感染的下一個人的發病時間間隔。根據實際情況估算令TL為7，SI-TL為2，計算得出實際數據的基本再生數為3.215。由于本文假設忽略自然出生率及死亡率，并且將治愈率和死亡率設置為時變參數，根據式（6）計算出本文模型第1階段的基本再生數區間為〈2.889，3.151〉，說明此時疫情處于快速上升期。SEAIHR模型與實際數據計算出的基本再生數誤差為5%左右。

2.1.2 武漢市疫情第2階段擬合結果分析

自2020年2月12日，武漢市開始統計疑似病例，說明此時武漢市已經可以追蹤大部分潛伏者，同時定點醫院由2家增加到48家，新建方艙醫院16家，初步實現了應收盡收，疫情發展趨勢將出現拐點。第2階段的模擬結果如圖6和圖7所示，顯性潛伏者人數減少了70%，隱性潛伏者人數降低到143人，此時的基本再生數區間為〈0.444，0.486〉，說明隨著追蹤隔離強度的增加與民眾自我防護意識的增強有效控制了疫情擴散，同時SEAIHR模型準確地復現了2020年2月12日至2020年2月26日武漢疫情的拐點以及衰退趨勢。

武漢市疫情第2階段參數值如表5所示，顯性潛伏者和隱性潛伏者的感染率較第1階段減小了89.4%、81.1%，潛伏者入院隔離率由0提高到0.111，換算成天數為9 d，同時發病率較第1階段降低了92.5%，發病入院時間比第1階段快了4.1 d，說明政府干預和積極的防控措施對疫情的控制產生了巨大的效果。

表6顯示，SEAIHR模型相比于SIR模型的RMSE值、MAPE值分別縮小了52.6%，52.8%，比SEIR模型的RMSE值、MAPE值分別縮小了73.6%，76.8%，充分體現了SEAIHR模型的合理性和準確性。

2.1.3 武漢市疫情第3階段擬合結果分析

2020年2月18日現存確診病例到達峰值，隨著疫情拐點的到來，疫情逐漸呈現衰退趨勢。觀察表7，隱性潛伏者感染率和發病率接近于0，發病入院速率提升了38.9%。圖8模擬了武漢市疫情的第3階段，可以看出SEAIHR模型與SEIR模型對于真實數據的擬合較為準確，這是因為隨著防控強度的上升和醫療檢測手段的完善，SEAIHR模型可以近似為傳統SEIR模型。根據表8，SEAIHR模型對比經典模型依舊有一定程度的提升。均方根誤差較SIR和SEIR模型分別提升22.6%和29.8%，平均相對誤差較SIR和SEIR模型分別提升22.8%和13.3%。此時的基本再生數區間為〈0.114，0.177〉。

本研究實驗采用階段性擬合方法，結果顯示：SEAIHR模型較經典模型顯著提升了模擬精度，準確復現了疫情爆發到衰退的趨勢以及疫情拐點出現的時間節點。而由于疫情衰退期潛伏者被及時追蹤隔離以及發病入院率的提升，此時本文模型與經典SEIR模型近似。此外，SEAIHR模型挖掘出了官方未統計到的數據，如隱性潛伏者人數、顯性潛伏者人數、隱性治愈者人數等，揭示了影響疫情發展的潛在因素。

2.2 新疆疫情傳播趨勢預測

2.1節利用SEAIHR模型對武漢疫情發展進行了回溯，驗證了模型對于歷史數據的擬合、揭示疫情發展機理的準確性。在本小節中，為了進一步驗證SEAIHR模型對于預測常態化防控下疫情發展的準確性，利用新疆衛健委官網從2020年7月16日至8月27日公布的疫情數據進行實驗，實驗分為模型參數確定及疫情發展預測兩部分。基于SIR模型、SEIR模型與SEAIHR模型進行仿真對比實驗，以驗證本文模型預測疫情發展的性能。

2.2.1 數據擬合與參數確定

由于武漢疫情的防控經驗，新疆疫情伊始即進入了人為強干預的控制狀態，自2020年7月16日出現首個病例至7月29日出現第1例治愈病例，針對新疆疫情實際防控措施進行模型的參數擬合。本研究將治愈率視為時變參數，使用2020年7月16日至8月27日的數據進行擬合并代入模型。治愈率擬合結果如圖9所示。

圖10顯示，SEAIHR模型對于真實數據的擬合更為準確，擬合誤差僅為3.1%。相較于SIR和SEIR模型準確地模擬了疫情發展與現存病例人數的變化。觀察表9，其中λ2值僅為λ1的12.7%，說明政府的干預措施起到了重要作用，使隱性潛伏者的傳染風險大大降低。但由于病毒存在潛伏期，可疑人群的流調溯源存在時滯效應，導致潛伏者在發病之前已經在人群中自由傳播了一段時間，現存確診人數在初始的兩周呈上升趨勢。

2.2.2 疫情預測

上一小節通過使用新疆疫情的實際數據確定了模型參數的取值，接下來結合實際防控措施對未來四周的疫情發展進行預測。實驗預測結果如圖11所示，疫情拐點出現在8月6日左右，現存確診人數在此時達到峰值，峰值在771人左右。這說明，政府的各項防控舉措在較短時間內控制住了局部疫情的爆發，相較于武漢疫情，新疆僅用了20 d左右的時間將疫情控制，入院確診人數不超過800人。從圖11中可以看出，現存確診人數在8月末被控制在150人以內，標志著疫情基本穩定。由圖11可以看出，SEAIHR模型相較于SIER模型更為準確地預測了拐點出現時間以及疫情衰退趨勢。表10列出了模型預測結果與官方實際數據，可以看出實驗預測的峰值出現時間節點和數值與官方統計數據較為吻合。

3 結論

本文結合病毒最新的傳播特點以及不同的防控措施，充分考慮了各個階段狀態轉移參數的變化，提出了一種包含“易感者，隱性潛伏者，顯性潛伏者，入院隔離者”等8類狀態的傳染病傳播模型。利用武漢市與新疆的真實疫情數據進行了擬合和預測實驗。實驗表明：對于COVID-19歷史傳播數據，SEAIHR模型具有更高的擬合精度，對于武漢疫情前中期的擬合誤差較經典模型降低了34.4%～72.8%，更準確地模擬了疫情發展趨勢以及拐點的時間；SEAIHR模型能夠準確地描述在病毒傳播過程中不同的疫情防控強度對于疫情發展的影響，同時可以根據實際防控措施對疫情發展進行預測；SEAIHR模型可以挖掘疫情傳播中難以發現的隱藏數據，更深刻地刻畫了疫情傳播過程中的不同群體與傳播機理。總之，本文研究為COVID-19及類似傳染病的防控提供了參考與指導。

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（責任編輯 李 進）