反向思考，探尋解題新途徑

張潔

摘?要：逆向思維是數(shù)學(xué)思維的重要組成，屬于一種間接思考的方式，即站在問(wèn)題的對(duì)立面進(jìn)行思考，最終尋求一條全新的解題思路.鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在正向解題思維受限時(shí)，應(yīng)敢于“反其道而行之”，打破傳統(tǒng)解題思維的束縛，站在問(wèn)題的對(duì)立面思考問(wèn)題、解答問(wèn)題.本論文以此為切入點(diǎn)，結(jié)合大量的練習(xí)題目，針對(duì)逆向思維在解題中的應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的探究，具備一定的教學(xué)參考價(jià)值.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；數(shù)學(xué)思維；逆向思維；培養(yǎng)路徑

數(shù)學(xué)是一門思維性的學(xué)科，既抽象，難度又大，尤其是在解題環(huán)節(jié)中，各種各樣的難題層出不窮.無(wú)論是對(duì)于數(shù)學(xué)教師，還是學(xué)生來(lái)說(shuō)，都是嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).初中生在解題時(shí)，常常受到固定思維的束縛，導(dǎo)致其逐漸進(jìn)入到解題“黑洞”中.鑒于此，在日常的解題教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況，大力培養(yǎng)學(xué)生逆向思維，使其在面臨復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能夠反其道而行之，站在問(wèn)題的對(duì)立面進(jìn)行倒推，最終找到一種新的解題思路.經(jīng)過(guò)課堂教學(xué)實(shí)踐證明，通過(guò)一段時(shí)間的逆向思維訓(xùn)練之后，學(xué)生的解題能力、思維能力也隨之提升，極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)，具備極強(qiáng)的教育價(jià)值.

1?逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用

逆向思維又被稱為求異思維，主要是對(duì)已經(jīng)成為定論，或者司空見(jiàn)慣的觀點(diǎn)、事物等，從相反的視角進(jìn)行思考、觀察，最終產(chǎn)生新的思路和想法.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，逆向思維就是從反方向思考和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，并對(duì)其進(jìn)行解釋和解答.鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，逆向思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到了廣泛的應(yīng)用，儼然已經(jīng)成為一種有力的“解題工具”.

1.1?在幾何題目中應(yīng)用

幾何作為初中數(shù)學(xué)的重要組成，在常規(guī)的解題思路中，學(xué)生需要先從題干中尋找已知條件，再依據(jù)已知條件進(jìn)行求解.但在實(shí)際解題中，部分學(xué)生常常面臨著極大的困難，無(wú)法從題目已知條件中得出結(jié)論.鑒于此，可通過(guò)逆向思維，以結(jié)論作為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行逆推，最終形成明確的解題思路.

例1?如圖1所示，在△ABC中，AB⊥AD，AC=AB，BC和AD兩條直線相交，交點(diǎn)為E.BC⊥DC，AD和DC相交，交點(diǎn)為D，求證：AC2=AD·AE.

解析：在這一題目中，憑借求證的要求，即可結(jié)合所學(xué)知識(shí)聯(lián)想到需要運(yùn)用三角形相似的方式進(jìn)行.但按照常規(guī)的思路進(jìn)行解題，學(xué)生結(jié)合已有的條件出發(fā)，單憑題目中所給的兩個(gè)垂直條件，很難找出能夠建立AC2=AD·AE關(guān)系的相似三角形.此時(shí)，即可借助逆向思維的方式，從結(jié)論出發(fā)：要想證明出AC2=AD·AE，則可將其變形為ACAD=AEAC.根據(jù)三角形邊的關(guān)系，只要證明出△ADC∽△ACE即可.如此，即可利用題目中所給的條件進(jìn)行證明.具體步驟如下：∵AB⊥AD、BC⊥DC，且∠AEB=∠CED，∴∠B=∠D.又AC=AB，∴∠B=∠ACB=∠D.

在△ADC和△ACE中，∵∠ACD=∠BCD+∠ACB=90°+∠ACB，∠AEC=∠BAD+∠B=90°+∠B0又∠B=∠ACB=∠D.

∴∠ACD=∠AEC.

且∠DAC為兩個(gè)三角形的公共角.∴△ADC∽△ACE，∴ACAD=AEAC，∴AC2=AD·AE.

例2?如圖2所示，在四邊形ABCD中，AB+BD＜AC+CD，求證：AB＜AC.

解析：如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行證明，學(xué)生要想證明出AB＜AC，需要先證明BD=CD，或者BD＞CD，即要先證明出∠BCD≥∠1.如果按照這一思路進(jìn)行，根據(jù)現(xiàn)有題目中所給出的條件，學(xué)生常常面臨較大的困難.面對(duì)這一現(xiàn)狀，如果采用逆向思維的方式，即可從AB≥AC出發(fā)，對(duì)其證明.如此，按照逆向思維的模式，如果AB≥AC，則有∠2≥∠ABC，∠BCD＞∠2，∠ABC＞∠1，最終由此得出∠BCD＞∠1，BD＞CD，即AB+BD＞AC+CD.顯然這與所給出的條件不相符.因此，假設(shè)不成立.即：AB＜AC［1］.

1.2?在一元一次不等式題目中應(yīng)用

一元一次不等式是初中數(shù)學(xué)中最為重要的知識(shí)點(diǎn)，也是必考的知識(shí)點(diǎn).在解答這一類型題目時(shí)，常規(guī)性的問(wèn)題可按照傳統(tǒng)的思維模式進(jìn)行解答，但是針對(duì)部分特殊的問(wèn)題，按照常規(guī)思路進(jìn)行解題，只會(huì)導(dǎo)致學(xué)生陷入到困境中.鑒于此，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化思維，借助逆向思維的模式，對(duì)一元一次不等式進(jìn)行簡(jiǎn)化，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

例3?解關(guān)于x的不等式組x-m＜0，7-2x≤3.如果其存在4個(gè)整數(shù)解，求m的取值范圍.

解析：如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行求解，由于不等式方程組中含有字母，學(xué)生計(jì)算完之后，只能得到2≤x

1.3?在方程題目中應(yīng)用

方程也是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，在考試中尤為常見(jiàn).在解答方程類型題目時(shí)，由于學(xué)生的思維方式、計(jì)算能力存在差異性，在具體解答問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常常面臨著計(jì)算和方程知識(shí)運(yùn)用等問(wèn)題.鑒于此，在優(yōu)化解題教學(xué)時(shí)，就可適當(dāng)融入逆向思維的模式，拓展學(xué)生的解題思路，提升其計(jì)算能力.

例4?解方程320×40%=（320-x）（1-20%）+20%.

解析：如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行解答，學(xué)生在解該方程時(shí)，需要先將其變形成為320×40%=（320-x）80%+20%，接著通過(guò)移項(xiàng)、變形，成為80%x=320×40%+20%，到此之后，學(xué)生需要面臨比較繁瑣的計(jì)算，不僅浪費(fèi)了時(shí)間，而且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.鑒于此，即可融入逆向思維的模式，先在方程的兩邊同時(shí)除以20%，對(duì)其進(jìn)行變形，得出：4x=320×2+1，最終便可簡(jiǎn)單地求出x=6414［2］.

例5?媽媽購(gòu)買了幾桶牛奶.第一天，全家人喝掉了全部牛奶的一半零半桶；第二天又喝掉了第一天剩下的一半零半桶，第三天把家中剩下的一半零半桶牛奶喝完了.此時(shí)，媽媽購(gòu)買回來(lái)的牛奶已經(jīng)全部喝完，問(wèn)媽媽一共購(gòu)買了多少牛奶？

解析：在這一方程應(yīng)用題中，如果按照常規(guī)的思路進(jìn)行正面求解，學(xué)生將面臨著很大的困難.此時(shí)，就可融入逆向思維進(jìn)行分析：假設(shè)第二天喝完之后家中還剩下x桶牛奶，則根據(jù)題意得出x2-12=1，得出x=1，也是就說(shuō)第二天喝完之后，家中牛奶只剩余1桶.由此進(jìn)行逆推，第二天沒(méi)有喝之前的牛奶為3桶，第一天沒(méi)喝之前為7桶，也就是媽媽買回來(lái)的牛奶.

1.4?在三角形題目中應(yīng)用

三角形作為初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)之一，在考試中尤為常見(jiàn).針對(duì)一些特殊的三角形題目，當(dāng)傳統(tǒng)解題思路碰壁時(shí)，即可融入逆向思維，巧妙運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)、定理，最終高效解答相關(guān)的題目.

例6?在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)角不小于60°.判斷該命題是真命題還是假命題？

解析：在對(duì)這一命題進(jìn)行判斷時(shí)，如果按照常規(guī)的思維，需要考慮很多情況，因?yàn)樵陬}目中給出的是“至少有一個(gè)”，也就是說(shuō)可能是兩個(gè)、也可能是三個(gè).如此一來(lái)，增加了判斷的難度，甚至導(dǎo)致學(xué)生做出錯(cuò)誤的判斷.鑒于此，就可引導(dǎo)學(xué)生借助逆向思維的方式，從命題結(jié)論入手，至少有一個(gè)角不小于60°的對(duì)立面就是“沒(méi)有一個(gè)角小于60°”，如果這一命題正確，原命題就是假命題.在三角形中，因?yàn)槠鋬?nèi)角和是180°，如果“沒(méi)有一個(gè)角小于60°”，則三角形內(nèi)角和就超出了180°，因此該命題屬于假命題.由此得出原命題“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)角不小于60°”屬于真命題.

例7?已知△ABC，三條邊分別是a、b、c，且a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n＞0），求證：△ABC是直角三角形.

解析：要想證明三角形是否屬于直角三角形，按照常規(guī)的思路來(lái)說(shuō)，基本上都是從角出發(fā).而在本題目中，給出的卻是三條邊的關(guān)系.鑒于此，就可借助逆向思維這一途徑，從勾股定理的逆定理出發(fā)，如果三角形三邊關(guān)系滿足a2+b2=c2即可.即：

∵n＞0，

∴2n2+2n+1＞2n2+2n＞2n+1，即：c＞b＞a.

∵a2+b2=（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，c2=（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，

∴a2+b2=c2.

∴△ABC是直角三角形［3］.

1.5?在函數(shù)問(wèn)題中應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)問(wèn)題歷來(lái)是重難點(diǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常面臨很大的困難.鑒于此，在優(yōu)化函數(shù)問(wèn)題解題教學(xué)時(shí)，就可充分發(fā)揮逆向思維的價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生在反向思考中，尋找出新的解題路徑，逐漸消除學(xué)生的畏難情緒等.

例8?當(dāng)m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線y=-x2+（m-2）x+m-5的頂點(diǎn)不在第四象限中？

解析：在這道二次函數(shù)問(wèn)題中，如果按照常規(guī)的解題思路進(jìn)行考慮，要想使得拋物線圖象不在“第四象限”中，則應(yīng)考慮在第一、第二、第三象限以及坐標(biāo)軸上.此時(shí)，學(xué)生需要對(duì)這些情況進(jìn)行討論，最終將所有的結(jié)論進(jìn)行綜合成為答案.但是這一解題思路比較麻煩，學(xué)生需要討論的范圍比較廣，以及精準(zhǔn)無(wú)誤的計(jì)算等.但是如果采用逆向思維的模式，就可將這一題目簡(jiǎn)單化，最終完成其高效解答.即：拋物線y=-x2+（m-2）x+m-5的頂點(diǎn)在第四象限時(shí)，根據(jù)定點(diǎn)公式，即可得出-m-22×（-1）＞0，

4×（-1）（m-5）-（m-2）24×（-1）＜0.

通過(guò)解不等式組，即可得出2＜m＜4，此時(shí)該拋物線頂點(diǎn)正處于第四象限中.反之，當(dāng)m≥4或m≤2時(shí)，拋物線y=-x2+（m-2）x+m-5的頂點(diǎn)不在第四象限中.

例9?如圖3所示，拋物線y=-12x2+7x-452與x軸相交，交點(diǎn)為A、B.將拋物線在x軸上方的圖象記為C1，之后將C1向左平移，并得到C2，且C2與x軸相交于B、D兩點(diǎn)，如果直線y=-12x+m與C1、C2一共存在三個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是（??）.

解析：在這一函數(shù)問(wèn)題解答中，如果按照常規(guī)的思維，學(xué)生將面臨著非常大的困難，難以形成明確的解題思路.而這一題目作為選擇題目形式出現(xiàn)，需要學(xué)生快速、精準(zhǔn)完成解答.鑒于此，就可借助逆向思維的方式，令y=-12x2+7x-452=0，最終通過(guò)解方程得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即：A（9，0）、B（5，0），通過(guò)該圖象平移，因?yàn)镃1、C2存在共同的交點(diǎn)B，據(jù)此得出D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）；同時(shí)，結(jié)合題目中已知條件，得出C2對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為y=-12（x-3）2+2，直線y=-12x+m與C1、C2一共存在三個(gè)不同的交點(diǎn).如果其恰好過(guò)B點(diǎn)時(shí)，則和C1、C2存在兩個(gè)交點(diǎn).于是，將B點(diǎn)坐標(biāo)帶入直線y=-12x+m的解析式中，最終即可得出m=52.隨即，結(jié)合題目含義，得出m＞52，就可以此出發(fā)將B、D兩個(gè)選項(xiàng)排出.之后，對(duì)A、C兩項(xiàng)進(jìn)行觀察，關(guān)鍵在于是否含有m=4，隨即將其帶入到直線解析式中，并與拋物線聯(lián)立方程.如此即可得出最終的答案，即A［4］.

1.6?在綜合性問(wèn)題中的應(yīng)用

在初中綜合性復(fù)習(xí)中，常常會(huì)遇到一些綜合性的問(wèn)題.這些問(wèn)題中常常包含著大量的知識(shí)點(diǎn)，綜合性十分強(qiáng)，學(xué)生不僅僅要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)體系，還應(yīng)具備極強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維能力，能夠結(jié)合題目的實(shí)際情況，靈活運(yùn)用逆向思維進(jìn)行解答.

例10?如果點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足x+y=2a-b-4，x-y=b-4，且點(diǎn)P不在x軸上.若關(guān)于z的不等式y(tǒng)z+x+4＞0的解題為z＜23，則關(guān)于t不等式at＞b的解集是什么？

解析：這是一道綜合性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)非常多，主要包括二元一次方程組、點(diǎn)的坐標(biāo)、不等式等.學(xué)生按照常規(guī)的思維解答時(shí)，常常面臨很大的困難，致使多學(xué)生都選擇了放棄.鑒于此，在優(yōu)化解題教學(xué)時(shí)，就可融入逆向思維的方式，先根據(jù)題意得出x=a-4，y=a-b.∵點(diǎn)P不在x軸上，∴a≠b.又∵yz+x+4＞0，∴（a-b）z+a＞0.

最終解答出z＜23.同時(shí)，結(jié)合不等式知識(shí)得出a-b＜0，得出z＜-aa-b=23，最終得出b=52a，∴a＜52a，a＞0，b＞0，則不等式at＞b，最終得出t＞ba=52，

∴at＞b的解集為t＞52［5］.

2?初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力培養(yǎng)路徑

經(jīng)過(guò)大量的課堂教學(xué)實(shí)踐證明，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，逆向思維的應(yīng)用，可有效拓展學(xué)生的解題思路，使得學(xué)生在“反其道而行之”中，獲得新的解題思路.因此，作為一名優(yōu)秀的初中數(shù)學(xué)教師，在日常教學(xué)中，必須要結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐，培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力.

首先，關(guān)注數(shù)學(xué)概念教學(xué).鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，概念教學(xué)是基礎(chǔ)和關(guān)鍵.鑒于數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，以及新課程標(biāo)準(zhǔn)下數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的要求，教師在優(yōu)化概念教學(xué)時(shí)，要帶領(lǐng)學(xué)生徹底擺脫“死記硬背”的概念學(xué)習(xí)模式，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，引導(dǎo)其采用不同的記憶方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，旨在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活掌握.

其次，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生的解題過(guò)程.解題教學(xué)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成，教師在開(kāi)展解題教學(xué)時(shí)，必須徹底擺脫“就題論題”的模式，不僅要為學(xué)生講解具體的解題思路，還應(yīng)及時(shí)滲透逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.需要說(shuō)明的是，學(xué)生的逆向思維素養(yǎng)的培養(yǎng)是一項(xiàng)長(zhǎng)期的任務(wù)，需要在潛移默化中形成.

最后，依托專項(xiàng)訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，不僅要停留在理論上，還應(yīng)借助大量的實(shí)踐訓(xùn)練，促使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，促進(jìn)逆向思維的進(jìn)一步發(fā)展，最終促使學(xué)生真正掌握這一技能.鑒于此，數(shù)學(xué)教師在完成基本的教學(xué)之后，還應(yīng)及時(shí)開(kāi)展有關(guān)逆向思維的專項(xiàng)訓(xùn)練，使得學(xué)生在針對(duì)性的訓(xùn)練中，逐漸養(yǎng)成運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題的習(xí)慣［6］.

3?結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的思維能力要求比較高.同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)科還承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要任務(wù).逆向思維作為數(shù)學(xué)思維的重要組成，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力，不僅是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合思維的必然選擇，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的關(guān)鍵途徑.鑒于此，教師在日常教學(xué)中，必須精心選擇針對(duì)性的數(shù)學(xué)題目，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維分析問(wèn)題，并將其解答出來(lái).

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