轉化思維探索奧秘

周娟

摘 要：轉化是一種非常重要的數學思想，也是高效解題的思維方式.將其應用到數學解題教學中，可促進復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化、抽象問題直觀化等，降低了學生的解題難度，顯著提升了學生的數學解題能力.本文就以此切入，結合例題，針對轉化思想在初中數學解題教學中的具體應用，進行了詳細的探究，具備一定的參考價值.

關鍵詞：初中數學；轉化思想；解題教學；應用策略

數學是初中階段一門重要的基礎性學科，旨在培養學生的邏輯思維能力、問題解決能力.同時，鑒于數學學科的特點，初中數學題目靈活多變，學生在解題時常常會遇到一些復雜陌生的問題，給學生的解題增加了極大的難度.面對這一現狀，為了幫助學生順利完成題目的解答，教師在開展解題教學時，應適當融入轉化思想，將復雜的數學問題簡單化、陌生的問題熟悉化、抽象的問題直觀化、實際問題數學化等，以便于學生運用所學的數學知識快速解答.

1 轉化思想在初中數學解題中的應用

經實踐證明，當面臨復雜、難以解決的問題時，合理運用轉化思想，可充分利用數學知識的內在聯系，將所求的問題進行轉化，從不同的視角進行解答.

1.1 換元轉化

換元法在初中數學解題中尤為常見，就是運用單個變量代替含有多個變量的方式，屬于最為簡單、常見的轉化思想.在初中數學解題中，通過換元轉換，可將原本復雜的數學問題進行簡單化，幫助學生迅速理清解題思路，減少運算量，極大地提升了學生的解題效率.

例1 解分式方程2x2+2x2-7x+7x+2=0.

解析：在解答這一題目時，如果按照常規的思路進行解答，就會遇到高次方程，超出了初中生已有的知識范圍.此時，即可借助換元轉化思想，先將題目進行適當變形，使其成為2x-1x2+2-7x-1x+2=0，之后通過觀察即可找到需要換元的式子，設x-1x=t，則原來的方程即可轉化為2t2-7t+6=0，隨之解方程得出兩個解，分別為2、32.當t1=2時，x-1x=2，解方程得出x=1±2.

當t2=32時，x-1x=32，解方程得出x=-12或者x=2.

因此，得出方程共有四個解，即：x1=1+2、x2=1-2、x3=-12、x4=2［1］.

例2 解關于x的一元四次方程：x4+ax3+bx2-ax+1=0.

解析：這一方程中，最高次為4，題目超出了初中生已有的知識范圍.在面對這一類問題時，首要問題就是降次.通過仔細觀察，就會發現本題目具備對稱的特點，因為x=0并非是方程的解，即可將原方程轉化為x2+ax+b-ax+1x2=0.

對其變形之后，就可找到換元的部分，即：x-1x=t，那么原方程就變為t2+at+b+2=0，Δ=a2-4b-8.

當Δ＞0時，對換元之后的方程進行求解，得出t1=-a+a2-4b-82、t2=-a-a2-4b-82，之后將其代回x-1x=t中，得出原來方程的解為：x1、2=t1±t21+42、x3、4=t2±t22+42.

當Δ=0時，解方程得出t1，2=-a2，將其代回x-1x=t中，得出原來方程的解為：x1、3=-a+a2+164、x2、4=-a-a2+164.

當Δ＜0時，方程無解.

由此可見，在一些難度系數比較高的解方程題目中，有的題目甚至已經超出了學生已學知識的范圍，只要借助換元轉化的方法，即可將原本復雜的問題進行簡單化，使得學生能夠運用所學的知識進行解答［2］.

1.2 等式轉化

在初中數學解題中，等式轉化也比較常見，常用于不等式的計算中.通過這一轉化思想的應用，可將繁雜的不等式進行簡化，降低問題的難度，使得學生在短時間內迅速解答該題目.具體來說，在等式轉化思想中，最為常用的有配方法、移項法等，學生在具體解題時，可結合實際情況，有針對性的選擇.

例3 x的值同時滿足不等式6x-2≥3x-4和x4-1＜2-x2，求x的整數值為多少？

解析：這一題目形式比較復雜，旨在引導學生借助復雜的計算，將不等式的解集求出來.鑒于此，在引導學生進行解題時，就可結合題目觀察，結合其對稱性、傳遞性，確定出具體的轉化思路.結合已知條件，可將其整理形成一個一元一次不等式組6x-2≥3x-4①

x4-1＜2-x2②；之后，再結合不等式的基本性質，可將原來的不等式進行轉化，使其成為2x-23≥x-43③

x-4＜8-2x④；對第二次變化之后的不等式組求解，解不等式③得出x≥-23；解不等式④得出x＜4，因此該不等式組的解集為-23≤x＜4；最后，結合題目的要求，要想同時滿足6x-2≥3x-4和x4-1＜2-x2的x整數值，即可得出最終答案x=0、1、2、3.

例4 已知a是方程x2+x-1=0的根，則代數式a3+2a2+2018的值是多少？

解析：很多學生在看到這一題目時，常常沒有任何頭緒，不知道如何進行求解.事實上，這一問題非常簡單，只要學生運用轉化方法，對題目中所給的已知條件進行變形即可.對已知條件進行觀察分析，發現只要采用合理配湊的方法，就可在已知條件和所求問題之間構造起來關系.即：因為a2+a-1=0，所以a2+a=1；又因為a3+2a2+2018=a3+a2+a2+2018=a（a2+a）+a2+2018，所以將a2+a=1代入到原式中，得出：a3+2a2+2018=a（a2+a）+a2+2018=a+a2+2018=1+2018=2019.

可見，在本題目解答中，正是借助了轉化思想，降低了問題的難度，進而使得學生在短時間內完成其求解［3］.

1.3 變更轉化

在初中數學解題教學中，鑒于數學學科的特點，學生解題的時候，無需禁錮在某一個知識點中，可打開思維，立足于數學知識點的內在聯系，引導學生借助變更轉化的思想，將復雜的數學問題進行轉化，使其成為另一個數學知識點，進而完成題目的解答.

例5 方程-x2+2ax+b=0的兩個實數根，在方程-x2+2ax+a-2=0兩個實數根之間，求a、b之間的數學關系？

解析：按照傳統的解題思路，需要將兩個方程的根分別求出來，然后再結合題目給出的條件進行對比，確定出a、b之間的關系.但是這一方法比較復雜，需要進行大量的計算，并且稍不留神就會出現錯誤.鑒于此，就可借助轉化思想，為學生提供新的解題思路，即：立足于方程與函數的關系，將題目中的兩個方程進行轉化，使其成為兩個二次函數：y1=-x2+2ax+b、y2=-x2+2ax+a-2.

之后，結合二次函數的相關知識，即可簡單地判斷出兩個函數圖象的開口均向下，且具備同一條對稱軸.同時，結合算理可明確函數y1=-x2+2ax+b的頂點坐標為（a，b+a2），函數y2=-x2+2ax+a-2的頂點坐標為（a，a2+a-2）.最后，結合題目中所給出的已知條件，即可精準判斷出a、b之間的數學關系為-a2＜b＜a-2.可見，在初中數學解題中，可充分結合數學知識的特點和內在聯系，將某一個數學問題進行變更轉化，運用另一個數學知識點進行解答，旨在降低解題難度，提升解題準確率.

1.4 數形轉化

在初中數學解題中，數形轉化尤為常見.鑒于數學學科的特點，數和形是數學學習中不可或缺的兩大部分，數和形既對立又統一，在絕對值、函數、方程、不等式等數學問題中尤為常見.因此，在開展解題教學時，就必須要結合實際情況，實施滲透數形轉化思想，使得在數形轉化中找到解題的突破口.

例6 如圖1所示，△ABC的三個頂點分別是A、B、C，如果函數y=kx在第一象限內的圖象和△ABC存在交點，那么k的取值范圍是多少？

解析：這一題目難度系數相對比較高，如果學生按照常規的思路進行解答，很快就發現超出了初中生的知識范圍，很難求解.此時，即可借助數形轉化思想，結合題目中已知條件，以及圖象輔助，找到解題的思路.在函數y=kx中，因為其屬于反比例函數，當k＞0時，k值越大，距離y就會越遠；當函數經過A點時，為k左邊的臨界，右邊臨界則要滿足和直線BC相切.由此即可找到解題的關鍵.將點A（1，2）代入到反比例函數y=kx中，得出k=2，此時，結合B、C兩點坐標，即可得出直線BC的解析式y=-x+7.因為y=kx與△ABC在第一象限內存在交點，即y=-x+7與y=kx至少存在一個解.之后，聯立得出x2-7x+k=0，要想使其至少存在一個交點，則Δ≥0，最終得出k≤494，因此k的取值范圍是2≤k≤494.由此可見，針對一些難度系數比較大的問題，尤其是當問題中帶有結合圖象性質的數學問題時，就可融入數形轉化思想，將原本復雜的數量關系轉化為圖形，進而發揮圖形的輔助價值，順利完成該題目的解答［4］.

1.5 模型轉化

在數學學習中，數學模型是對數學事物、數學問題的特征進行抽象概括的一種工程模型.同時，模型轉化也是一種常見的轉化思想，在幾何解題中比較常見.尤其是當學生在解題時，遇到了不常見的幾何模型時，就可利用模型轉化這一思想，降低問題的難度，以便于學生快速找到問題的解決方法.

例7 如圖2所示，在一個圓柱形水杯中，在杯內壁B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁與B 相對的A處，螞蟻要想從A處爬向B處，如何爬行距離最短？

解析：在這一幾何問題中，要想求出螞蟻爬行的最短距離，學生首先想到的是將AB兩點連接起來.但是在本題中卻是行不通的.因為該圖形為一個圓柱，必須要將其展開成為一個平面圖形，再將AB連接起來.此時，就可借助模型轉化的方法，將圓柱展開成長方形，并將A、B兩點確定出來（如圖3所示）.

如此，通過模型轉化之后，上述的題目就變成：在定直線l上尋找一個動點P，使得PA+PB最小？針對這一問題解答，就可連接AB兩點，并與直線l相交于Q點.在△PAB中，因為PA+PB≥AB（當且當PQ重合）.如此一來，通過轉化，即可運用所學的知識，順利解答.可見，當學生在面臨抽象的幾何問題時，就可借助模型轉化思想，將原本復雜的模型轉化為更加直觀、簡單的模型，最大限度降低問題的難度.

2 基于數學轉化解題思想的教學研究

在初中數學解題教學中，轉化思想是一種非常重要的數學思想，也是一種常用的解題工具.同時，數學轉化思想也是一種數學思維訓練方式，可促使學生在數學轉化中形成極強的邏輯思維能力，真正提升學生的數學綜合素養.鑒于此，作為一名初中數學教師，唯有轉變傳統的教學理念和模式，重視數學轉化教學，并將其滲透到日常教學中.

首先，為學生營造問題轉化的學習環境.新課程改革的背景下，要想真正提升學生的數學解題能力，教師在開展解題教學時，就不能局限于傳統的解題教學模式，拒絕“就題論題”的解題教學模式，而是引導學生主動探究問題的本質規律.而要達到這一目標，初中數學教師在開展解題教學時，就必須要尊重學生在學習中的主體地位，不僅僅要立足于初中生已有的知識掌握情況、認知思維發展能力，還應為學生提供一個更加開放的學習環境，以便于學生更好地思考題目、探究題目，最終在探究的過程中，梳理思路、領悟內涵，切實掌握數學轉化的相關路徑和方法.

其次，關注學生解題時的思維過程.在以往的初中數學解題教學中，教師的教學重點，常常集中在解題結果上，僅僅是給出問題，引導學生積極思考，解答出正確答案即可.很少關注學生在解題過程中的思維情況.在這種解題教學模式下，學生的解題基本上都是“死搬硬套”的，一旦題目有所變動，學生就面臨著無法解答的困境.面對這一現狀，在優化數學解題教學，培養學生數學轉化思維時，就必須要轉變傳統過分關注解題結果的現象，而是關注學生的解題過程，在解題中給學生獨立思考的時間和空間，并通過適當的變式訓練強化學生的數學思維，使其在針對性的訓練中，形成系統化的知識體系，靈敏的數學思維，能靈活運用所學的數學知識解答實際問題.

再次，引導學生掌握問題探索的方法.在數學轉化解題中，對學生的數學綜合素養提出了更高的要求.學生需要用到正向、逆向、發散等各種思維方法.其中，正向思維是從已知條件出發，直接推導結論，屬于一種常規性的思維；逆向思維則是從問題著手進行思考；發散性思維則是從題目中的某一個已知條件出發，開展多角度延伸，將當前的問題進行轉化，使其成為新的問題.鑒于此，教師在日常教學中，應全面加強學生探索方法的訓練，使其在日常解題中，逐漸掌握多種思考方法和技能，以便于在解題時靈活應用.

最后，提升教師自身的指導能力.教師在解題教學中，常常扮演著十分重要的角色，教師自身的專業素養、教學指導能力直接決定了解題教學的效果.鑒于此，要想真正提升初中生的數學轉化解題能力，教師必須要具備極強的專業素養，能夠將轉化解題教學滲透到日常教學中，使得學生在日常學習中領悟其內涵.同時，教師還應具備突出的教學能力，能夠結合轉化解題教學的內涵，靈活組織課堂教學，使得學生在多樣化的數學課堂學習中，逐漸掌握這一技能［5］.

3 結束語

綜上所述，鑒于數學學科的特點，解題教學是初中數學教學的重要組成，不僅僅體現了學生的數學基礎知識掌握情況，也是數學思維、知識應用能力的集中反應，直接體現了學生的數學綜合素養.在初中數學解題教學中，鑒于數學學科的特點，學生在解題中常常面臨諸多困難，致使其解題頻頻受阻.面對這一現狀，就可融入轉化思想，引導學生在換元轉化、數形轉化、等式轉化、變更轉化、模型轉化中，促進復雜問題簡單化、抽象問題直觀化，以便于學生在轉化中，打開解題思路，順利找到解題的“突破口”.

參考文獻：

［1］ 劉學琴.轉化思想在初中數學解題中的應用［J］.數理化解題研究，2022（26）：29-31.

［2］ 陳健.巧妙轉化 化繁為簡——轉化思想在初中數學解題教學中的應用［J］.新智慧，2022（13）：16-18.

［3］ 王志萍.轉化思路 探索奧秘——初中數學解題教學中轉化思想的運用策略［J］.數理化解題研究，2022（8）：17-19.

［4］ 丁幫琴.轉化思想在初中數學解題教學中的運用［J］.試題與研究，2021（30）：15-16.

［5］ 黃祖鑾.轉化思想在初中數學解題中的應用與實踐研究［J］.考試周刊，2021（43）：77-78.